dv dt a 1 positiv ger acc riktad nedåt. m/s a 3 negativ ger acc riktad uppåt

Transkript

1 Tentamen FY58 Mekanik HI -6- En hissreparatör under utbildning har lagat en hiss i ett höghus För att prva den nyreparerade hissen åker han ned med hissen Deras fart sm funktin av tid är plttad i figuren För bekväm hissåkning bör acceleratinen ej överstiga m/s a) Beräkna den till strleken största acceleratin reparatören är utsatt för under hissturen b) Bestäm längden på hela hissturen c) Beräkna största kraft, sm hissglvet utövade på reparatören, massa 75 kg (4p) Lösning: a) Beräkna reparatörens maimala acceleratin under hissturen Psitiv riktning i diagrammet är att hissen åker nedåt Acceleratinen är lutningen av kurvan i v-tdiagrammet Knstant lutning ger knstant acceleratin ger a dv dt v t v 5 5 m/s - Vid starten a m/s a psitiv ger acc riktad nedåt t 5 s v 5 5 m/s Vid inbrmsningen, a m/s a 3 negativ ger acc riktad uppåt t 4 s Acceleratin är en vektr, strleken av av vektr är belppet av vektrn Störst strlek har a 3, 375 m/s Svar: Ma-acceleratinen hade strleken 375 m/s b) Bestäm längden på hela åkturen Tillryggalagd sträcka är arean i v-t-diagrammet Arean är två trianglar ch en rektangel - b h v ma t 5 5 ms 5 s Yta, triangel 3 75 m - Yta, rektangel b h v t 5 5 ms 5 s 7 5 m - b h v ma t 5 5 ms 4 s Yta 3, triangel m Ttalt: 55 m Svar: Åkturens längd var 55 m

2 c) maimal kraft av hissglvet på reparatören Summan av krafterna verkande på reparatören kan beräknas ur Newtns andra lag F ma På reparatören verkar nrmalkraft av glvet N ch tyngdkraft mg N II ger N mg ma N II i vertikal riktning med psitiv riktning nedåt: - N mg ma vilket ger mg ma N alltså N mg ma När acceleratinens vertikala kmpnent är psitiv är N mindre än mg, dvs då hissen ch reparatören accelererar nedåt är N mindre än mg När acceleratinens vertikala kmpnent är negativ är N större än mg, dvs då deras acceleratin är riktad uppåt är N större än mg, alltså när hissen brmsar in N mg - ma 375m/s m m/s m 85 3 m 98 m/s - m m/s N m 85 m/s 75kg 85 m/s kg m/s 839N Nrmalkraften av glvet har alltså strleken 839 N, riktad i minusriktningen dvs uppåt Svar: Maimal kraft av hissglvet på reparatören är 839 N riktad uppåt

3 Snöklumpar har glidit nedför ett tak, sm lutar 4 º mt hrisntalplanet Farten vid kanten var 7 m/s Snön har landat 5 meter från huset Snöklumparna kan betraktas sm mycket små (trts figuren), så luftmtståndet är försumbart a) Beräkna takkantens höjd h över marken! b) En man har ställt sig 4 m från huset Han är 9 m lång Kmmer han att träffas av den lilla snöklump sm är på väg att glida över kanten? Om inte, hur högt över hans huvud passerar snöklumpen? (4) Lösning: Luftmtstånd försummas Detta ger att endast tyngdkraft verkar på snöklumpen, rörelsen blir alltså en kastbana Orig för krdinatsystemet vid marken, y-aeln vertikal psitiv uppåt, -aeln hrisntell psitiv åt höger i figuren Antag att takkantens höjd är h De första snöklumparna har lämnat taket i punkten =, y =h ch har landat i =5 m, y = m Acceleratin a y = -g, a = Hastigheten i -led är knstant eftersm acceleratin i -led är = v v cs Vid takkanten är rörelseriktningen 4 º under hrisntalplanet dvs v v cs v cs 4 v cs4 Detta ger att läget i -led är v cs4 t 4 Beräkna tiden för flygturen sm slutade i = 5 m! Lös ut tid t ur uttrycket för -krdinaten, ger t 5 m 7 m/s cs4 v cs4 Denna tid t ska sättas in i uttrycket för läget i y-led för att berökna h 9343 s Begynnelsehastighet i y-led v y v sin v sin v sin där y v 4 v sin4 4 Knstant acceleratin i y-led a y = -g ger v v sin4 gt y Läget vid tiden t = var y = h ger läge i y-led y h v sin4 gt Sätt in tiden för flygturen i uttrycket för y-krdinaten, utnyttja att snön landat i y = m Använd den nggrannaste värdet på tiden, s, avrunda sedan värdet! (Jag använder g = 98 m/s Man kan använda g = 98 m/s eller g = 98 m/s ) y h 7 m/s sin s 98 m/s ( s ) h 8 46 m Men y = m ger att h=846 m Svar: Takkantens höjd över marken var 846 m

4 b) En man har ställt sig 4 m från huset Han är 9 m lång Kmmer han att träffas av den lilla snöklump sm är på väg att glida över kanten? Om inte, hur högt över hans huvud passerar snöklumpen? Beräkna y-krdinaten för snöklumpen då den passerar = 4m ch jämför med med y- krdinaten för översta punkten på mannen y m = 9 m Beräkna tiden för snöklumpen att passera = 4 m Lös ut tid t ur uttrycket för -krdinaten, 4 m ger t s v cs4 7 m/s cs4 Sätt in denna tid t i uttrycket för läget i y-led för att berökna hur långt nedanför takkanten marken ligger y h v sin4 t gt s 98 m/s ( s ) 3743 m y 8 46m 7 m/s sin Höjd över mannens huvud: y -y m = 3743 m 9 m = 4543 m = 45 m Svar: Snöklumpen passerar 45 m över mannens huvud

5 3 En liten vagn kan rulla på en fi balk varvid den dras av en hrisntell vajer Balken har vinkeln =7 mt hrisntalplanet Just nu glider vagnen nedför balken med knstant fart 4 m/s Den brmsas av de låsta hjulen ch av vajern, sm utövar kraft T = 79 N Vagnens massa är 35 kg a) Beräkna den effekt vajern utvecklar på vagnen b) Beräkna friktinskefficienten för hjulen mt balken (de antas ha samma) (4p) Lösning: a) Beräkna den effekt vajern utvecklar på vagnen Effekt P av en kraft F sm verkar på en krpp sm rör sig med hastighet v är P F v Fv cs där är vinkeln mellan kraften ch rörelseriktningen Vajern utövar en hrisntell kraft T = 79 N riktad åt höger i figuren Vagnen rör sig längs balken snett nedåt vänster i figuren Vinkeln mellan vagnens hastighet v ch kraften T är =8 - =8-7 =53 Utvecklad effekt av kraften T: P 79 N 4 m/s cs Nm/s 8558 J/s - 8 W Vajern uvecklar en negativ effekt, dvs gör ett negativt arbete på vagnen, dvs minskar den kinetiska energi sm vagnen skulle få m inte vajern verkade på vagnen, dvs brmsar vagnen, Svar: Vajern utvecklar effekten 8 W på vagnen B) Beräkna friktinskefficienten för vagnens hjul mt balken Hjulen har samma friktinskefficient Nrmalkrafterna av balken på hjulen, N ch N, kan summeras till en sammanlagd nrmalkraft N Friktinskrafterna av balken på hjulen, f ch f, kan summeras till en sammanlagd friktinskraft f Vagnshjulen glider på balken, då gäller f =N ch f =N Då gäller f + f =N + N = (N + N ) Dvs f=n Oavsett antalet hjul kan nrmalkrafterna på dem adderas till en ttal nrmakraft N, ch friktinskrafterna till ab sammanlagd friktinskraft f Om de har samma friktinskefficient kan den f beräknas ur Om de har lika friktinskefficient blir detta deras medelvärde N Beräkna först f ch N! Använd Newtns andra lag! F ma T mg N f ma

6 T mg N f ma Vagnen rör sig med knstant fart i knstant riktning, acceleratinen är alltså m/s Sätt rikningen längs balken snett nedåt vänster i figuren sm -led, ch riktning vinkelrätt mt balken, snett uppåt vänster sm y-led Acceleratinen är a = ch a y = Newtns andra lag i -led ch i y-led : mg sin - T cs f ma ger f mg sin - T cs sin7-79 cs7 f N y: N - mgcs - T sin ma y ger N mgcs T sin cs 7 79 sin N f N mgsin mg cs Tcs Tsin N N 5 5 Svar: friktinskefficienten är 5

7 4 En cylinder kunde rtera med försumbar friktin kring sin hrisntella symmetriael Cylindern hade radien mm ch massan 9 kg En mindre trissa är mnterad på cylindern Dess radie är 75 mm, dess massa är försumbar På trissan är en lätt tråd upplindad, i trådens andra ände hänger en vikt med massan 5 kgvikten släpps från vila a) Beräkna cylinderns vinkelacceleratin b) Beräkna kraften av snöret (4p) Lösning: Kraften av tråden på remskivan tvingar remskivan ch den stra skivan att vrida sig kring den ldräta aeln Anta att denna krafts strlek är S Mmentlagen : M I där är vinkelacceleratinen Med den ldräta aeln sm mmentpunkt, mturs är psitiv rtatinsriktning rs I (ekv ) där tröghetsmment I map mmentpunkten är I mr 9 kg ( m) 648 kg m Kraften S ch vinkelacceleratinen är ännu kända Betrakta snörets andra ände Tråden drar uppåt i den hängande tyngden Eftersm tråden ch trissan har försumbar massa så utövar tråden lika str kraft i båda ändarna Tråden drar alltså uppåt med kraft S NII för tyngden m, nedåt psitiv riktning: - S mg ma (ekv ) Trådens acceleratin är ckså a Tråden rullas av remskivan, med radie r Samband mellan vinkelacceleratinen ch trådens acceleratin a, rullvillkr: a r (ekv 3) I Lös ut trådkraften S ur ekv : S r Lös ut a ur ekv 3: sätt in i ekv : a I Ia I ch sätt i vanstående : S a, r r r r r - I I I S mg ma ger - a mg ma ger mg ma a ma( ) r r mr mg a I m( mr ) g I mr 98 m/s 648 kg m 5 kg ( 75m) 98 m/s m/s

8 Eller g a I mr g MR mr g M m R r 98 m/s 9 kg m 5 kg 75m 969 m/s Vinkelacceleratin beräknas ur rullvillkret: a r 969 m/s 75 m s s - Kraften av tråden på tyngden beräknas ur NII: - S mg ma Sm ger S mg - ma mg - a m/s kg m/s 3 44N 3 4 N S 5 kg Kntrll: beräkna S ur mmentlagen: Detta ger rs I - I 648 kg m s - S 3 44 kg m s 3 4 N OK! r 75m Svar: a) Cylinderns vinkelacceleratin är 396 s -, b)kraften i tråden är 34 N

9 5 En krpp A med massan m= 5 kg släpps från vila ch glider ned längs en hal lutande stång ch träffar en lätt fjäder Fjäderknstanten k= N/m a) Beräkna krppens fart då den träffar fjädern b) Beräkna fjäderns maimala hptryckning (4p) Lösning: a) Beräkna krppens fart då den träffar fjädern Arbete-Energi-satsen : ttalt utför arbete är lika med ändringen av kinetisk energi W tt mv mv När krppen A glider längs stången innan den träffat fjädern verkar endast tyngdkraften mg ch nrmalkraften N på A Nrmalkraften är vinkelrät mt rörelseriktningen ch gör alltså inget arbete Tyngdkraften uppdelas i två kmpnenter, mgcs sm är vinkelrät mt stången ch alltså vinkelrät mt rörelseriktningen ch gör nll arbete, ch mgsin sm är riktad i rörelseriktningen ch gör arbetet mgsin L,, L = 6 m Ttalt utfört arbete: mgsin L mv m m v gsin L 98sin6 6 m 3 93 m/s 3 m/s s b) Beräkna fjäderns maimala hptryckning Fjädern är maimalt hptryckt där krppen A:s fart är nll Lägg -aeln i riktning snedd nedåt höger, i riktning mt mer hptryckt fjäder Låt vara nll för icke-hptryckt fjädern! Räkna från att krppen släpps från vila till dess att den fjädern är maimalt hptryckt, då farten är nll igen! Krppen rör sig sträckan L + ttalt Tyngdkraftskmpnenten mgsin utför arbete under hela sträckan L +, fjäderkraften utför arbete bara under sträckan Arbete-Energi-satsen : ttalt utför arbete är lika med ändringen av kinetisk energi Från att krppen släpps från vila till dess att den fjädern är maimalt hptryckt, då farten är nll igen: Wtt mv mv där v ch v båda är nll mg( sin L sin ) mgsin ( L ) W mg Fjäderkraften varierar, F k =-k Den varierande kraftens arbete beräknas med integratin:

10 W fjäder F k d - k d - k - k W tt W fjäder W mg - k mgsin ( L ) - k mgsin mgsin L mgsin mgsin L k k mgsin 5 9 8sin 6 kg m/s för in C k N/m C C L L 6 m m C C C L C C C L 696 m 3744 m =4786 m nedre vändläge fjädern ar maimalt hptryckt =-66 övre vändläge OM krppen A fastnar i fjädern Efter nedre vändläget trycker fjädern krppen så den accelererar uppåt När A passerat = börjar fjädern brmsa krppen till dess att den vänder i ett övre vändläge är alltså ett övre vändläge m A fastnat i fjädern Svar: Fjäderns maimala hptryckning är 48 m

11 6 Ett mätinstrument, massa 85 kg, ska stå på ett underlag sm vibrerar harmniskt upp ch ned med vinkelfrekvens 9 rad/sek ch amplitud 5 mm Man försöker minska amplituden för instrumentets vertikala svängningrörelse, genm att mntera instrumentet på en skiva, massa 5 kg, sm placeras på fyra fjädrar, var ch en med fjäderknstanten k=36 N/m Dessutm bör dämpningcylindrar mnteras (ej utsatta i figuren) Beräkna mätinstrumentets svängningsamplitud i frtvarighetstillståndet a) innan dämpcylindrarna mnterats ch svängningen är dämpad b) när dämpningscylindrar är mnterade så att svängningen är kritiskt dämpad (4p) Beräkna mätinstrumentets svängningsamplitud i frtvarighetstillståndet Mätinstrumentet ch plattan kmmer att svänga vertikalt Deras rörelse i frtvarighetstillståndet blir = C sin(t-) där C är deras svängningsamplitud i frtvarighetstillståndet C= Den eciterade rörelsen amplitud är =5 mm Förstringsfaktrn Dämpningskefficienten är vid dämpad svängning = Vid kritisk dämpning är = Den påtvingade vinkelfrekvensen ges i uppgiften 9 rad/sek k tt Vinkelfrekvens ges av k tt 4k 4 36 N/m 44 N/m m Massan sm svänger är m=85 kg+ 5 kg = kg k tt m 44 N/m kg 44 s - s -

12 Beräkna mätinstrumentets svängningsamplitud i frtvarighetstillståndet a) innan dämpcylindrarna mnterats ch svängningen är dämpad Förstärkningsfaktr Ingen dämpande kraft ger att dämpningskefficienten =, vilket ger där tecknet väljes så att blir psitiv C= = 8 5 mm = 4 mm Svar: Amplituden blir 4 mm b) Beräkna mätinstrumentets svängningsamplitud i frtvarighetstillståndet när dämpningscylindrar är mnterade så att svängningen är kritiskt dämpad Kritiskt dämpad ger att dämpningskefficienten =, vilket ger Amplitud C= = 64 5 mm = 3 mm Svar Amplituden blir 3 mm