Mekanik KF, Moment 2. o Ingenting händer: T! = T! o Den blir kortare: T! =!! o Den blir längre: T! = 2T!

Transkript

1 Mekanik KF, Moment 2 Datum: , 8-13 Författare: Jan-Erik Rubensson Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina svar) Varje fråga kan ge maximalt 1 p. Inget svar eller fel svar ger 0 p. Du behöver inte motivera dina svar i del 1. Flera alternativ kan vara rätt. 1. En homogen stav med massan m och längden l är friktionsfritt upphängd i en raket och pendlar i små svängningar med periodtiden T 1, medan raketen står kvar på jordytan. När raketen lyfter accelererar den med g rakt uppåt, där g=9.82 m/s 2, precis som tyngdaccelerationen vid jordytan. Periodtiden blir då T 2. Vad gäller för den? o Ingenting händer: T = T o Den blir kortare: T = o Den blir kortare: T = o Den blir längre: T = 2T o Den blir längre: T = 2T 2. Den stela kroppen till höger ligger i vila på ett friktionsfritt underlag när plötsligt kraften F börjar verka rakt åt höger som i figuren (CM=masscentrum). I vilken riktning accelererar kroppens masscentrum i denna stund? o Uppåt. o Nedåt. o CM s acceleration har störst komponent i kraftens riktning, men också en komponent uppåt på grund av rotationen. o CM s acceleration har störst komponent i kraftens riktning, men också en komponent nedåt på grund av rotationen o CM s acceleration är riktad rakt åt höger. (höger-vänster-uppåt-nedåt refererar till riktningar i papperets plan) 3. En stående våg i ett rör som är öppet i ena änden och slutet vid den andra ger som första överton frekvensen 300 Hz. Om man nu öppna den slutna änden, blir frekvensen hos grundtonen o 100 Hz. o 150 Hz. o 200 Hz. o 300 Hz. o 600 Hz.

2 4. En toarulle med massan m är anbringad med en enkel anordning bestående av en lätt pinne som med snören sitter fast i väggen. Kinetiska friktionskoefficienten mellan rulle och vägg är 0.2. Radien är 5 cm och för vardera snöret är avståndet mellan fästpunkten och rullens centrum 13 cm. Du drar i papperet rakt nedåt med kraften mg/4. Hur ändrar sig spännkraften i snöret jämfört med situationen när rullen bara hänger? o Den ökar med exakt 25%, förutsatt att gängse approximationer gäller. o Den ökar med mer än 25% o Den ökar med mer än mindre än 25% o Den minskar med mindre än 25% o Den minskar med mer än 25% o Den ändrar sig inte alls. 5. En jojo har massa m, tröghetsmoment I, ytterradie R, och innerradie r. Snöret är lindat på den inre cylindern med radien r och fäst i ett tak. Bestäm jojons kinetiska energi när dess masscentrum rört sig sträckan x neråt efter att den har släppts från vila. Antag att vi befinner oss nära jordytan, och att snöret är masslöst, otöjbart och lindas av utan glidning medan jojon rör sig. o m( " ( )) o m( " ( o o "# )) ( "# ) ( ) o mgx 6. I en enkel harmonisk svängning är hastigheten störst i den punkt i rörelsen där o den kinetiska energin är minimum. o beloppet av accelerationen är maximum. o den potentiella energin är maximum o beloppet av accelerationen är minimum o utslaget är maximalt.

3 7. En metallstång hänger i en krok i taket när den träffas av liten boll av häftmassa. Bollen fastnar vid stången. Vad kan man säga om rörelsen just efter träffen? o Rörelsemängden hos systemet (boll och stång) är samma som precis innan träffen. o Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment hos systemet (boll och stång) med avseende på upphängningspunkten är samma som precis innan träffen. o Rörelsemängdsmoment hos systemet (boll och stång) med avseende på träffpunkten är samma som precis innan träffen. o Rörelsemängdsmomentet hos systemet (boll och stång) med avseende på upphängningspunkten är samma som precis innan träffen. o Den kinetiska energin och rörelsemängdsmomentet hos systemet (boll och stång) med avseende på upphängningspunkten är samma som precis innan träffen. o Den sammanlagda vinkelhastigheten för systemet (boll och stång) är samma som precis innan träffen. 8. I vilken riktning går en propagerande våg beskrivs av ekvationen y x, t = Acos(kx + ωt)? o positiv y-riktning o negativ y-riktning o positiv x-riktning o negativ x-riktning

4 9. Första dagen på ditt nya jobb på mejeriet får du i uppgift att sätta upp tröghetstensorn för en ost, som man måste känna när man ska konstruera ostvändningsmaskiner. Du letar frenetiskt efter passande formler in din gamla Physics Handbook och det verkar som om du måste räkna fram en massa tröghetsprodukter, som du inte har gjort sedan du tentapluggade mekanikkursen. Du går till chefsmejeristen för att diskutera din arbetssituation. Hon skrattar och säger: du ser väl att osten nästan är symmetrisk Tänk på symmetriaxlarna så går det lättare Vad kan hon mena? Vilket eller vilka av följande påståenden är sant/sanna? o Om man väljer symmetriaxlarna som principalaxlar när man beräknar elementen i tröghetstensorn försvinner alla tröghetsprodukter och det blir bara diagonalelement kvar. o Om man väljer symmetriaxlarna som principalaxlar när man beräknar elementen i tröghetstensorn så försvinner alla diagonalelement. o Ostvändning innebär i huvudsak en plan rotation runt en symmetriaxel, och för att beskriva en sådan rörelse räcker det med att veta en enda av tröghetstensorns tröghetprodukter. o Ostvändning innebär i huvudsak en plan rotation runt en symmetriaxel, och för att beskriva den räcker det därför med att veta en enda av tröghetstensorns diagonalelement. 10. Om summan av alla kraftmoment som verkar på en stel kropp är noll, så o är kroppen i vila. o är summan av alla krafter på kroppen också noll. o kan kroppen accelerera men inte ändra rotationshastighet. o kan kroppen inte snurra. o kan kroppen både ändra sin rotationshastighet och accelerera. 11. Hookes lag beskriver ett samband mellan töjning och normalspänning: σ = εe. Hur kan vi använda dragprovkurvan i figuren för att bestämma Youngs modul (E)? o Genom att mäta längden på den icke-linjära delen av kurvan från A till C. o Genom att mäta lutningen på kurvan mellan 0 och A. o Genom att läsa av koordinaterna vid punkten B. o Genom att beräkna arean under kurvan från 0 till C.

5 12. I figuren beskrivs en oscillator av en viss typ. Vilken av alternativen beskriver denna svängning? Delfigurerna visar uppifrån och ner: homogen lösning, partikulärlösning och summan av de båda lösningarna. o x + ω x = 0 o x + 2γx + ω x = 0, (γ < ω) o x + 2γx + ω x = F(t), (γ < ω) o x + 2γx + ω x = F(t), (γ = ω) o x + 2γx + ω x = F(t), (γ > ω) 13. En teori om hur man får lyftkraft på flygplansvingar går ut på att luft som strömmar förbi på ovansida och undersida tar olika lång väg. Standardargumentet är att detta direkt ger olika strömningshastighet eftersom luften som går över och under vingen måste mötas efter att den passerat. I Young-Friedman visas en simulering som tyder detta inte riktigt stämmer: luften från ovan- och undersida möts inte: den luft som strömmar på ovansidan hinner förbi vingen först. Vad innebär detta för lyftkraften? o Den blir ännu större. o Den blir något mindre. o Det spelar ingen roll för lyftkraften.

6 Del 2 (Lös varje uppgift på separata blad) För att få full poäng måste du motivera dina svar och antaganden, definiera variabler, sätta ut rätt enheter osv. Skriv hellre en mening för mycket än för lite. 5p per uppgift. 1. Ett homogent sfäriskt skal som väger 1,75 kg och har radien 40,0 cm rullar utan att glida upp för en ramp med lutningen 30,0. Hastigheten hos kulan vid botten av rampen är 2,63 m/s. I rörelsen upp för rampen, beräkna a) accelerationen (storlek och riktning) av skalets tyngdpunkt och b) friktionskraften (storlek och riktning) som verkar på det från underlaget. c) hur långt kulan kommer uppför rampen innan den vänder. 2a. Du tycker att det är behagligt att lyssna till musik när ljudnivån är 70 db i medeltal, vilket stämmer precis när du sitter i soffan 4m från er fina bashögtalare. Din sambo, å andra sidan, vill gärna att det ska kännas i hela kroppen och fördubblar svängningsamplituden (förskjutningsamplituden) i ljudvågorna. Vilken ljudnivå mätt i db leder detta till? 2b.Du blir irriterad och flyttar dig demonstrativt längre bort från högtalaren så att du får dina önskade 70 db. Hur långt bör du flytta (om du antar att vågorna utbreder sig isotropt, och försummar att vågorna reflekteras mot väggar, golv och tak)? 2c. När detta upprepas kväll efter kväll ökar irritationen och du bestämmer dig för mera radikala grepp. Du förseglar rummet och ansluter en vakuumpump, så att du kan variera lufttrycket tills du får dina önskade 70 db på din ursprungliga plats i soffan också sedan din vän fördubblat svängningsamplituden. Vilket tryck bör du ställa in? 3. I figuren ser vi en plan skiva med massan M=10kg som ligger på två cylindrar vardera med massan m=4kg. Skivan är fäst i väggen med en fjäder som har fjäderkonstanten k=130n/m. Cylindrarna glider inte, vare sig mot golvet eller skivan. Rullning gäller. Om man rubbar systemet från jämvikt så kommer det att svänga runt jämviktsläget. Med vilken frekvens?

7 4. Två stänger av samma längd L = 0.5m är upphängda i varsin friktionsfri led i samma punkt I taket. I änden på den ena stången (massa m=0.3 kg) sitter en klump också den med massan m. Den andra stången har massan 2m. Stängerna lyfts åt rakt motsatt håll så att klumpen kommer L/3 över lägsta läge och den andra stångens nedre ände L/4 över lägsta läge. De släpps från vila vid något olika tidpunkter så att de slår ihop i vertikalt läge. Efter stöten rör de sig som en stel kropp. Bestäm energiförlusten vid stöten. m m 2m