Lösningar till problemtentamen

Transkript

1 KTH Meani Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, , l Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står på ett glatt sluttande plan, med lutningsvinel 30 = π/6. En horisontell tråd är i sin ena ände D fäst i planet och i sin andra ände i triangelns övre hörn. Den hindrar trianglen från att glida ner. Vad är spänningen i tråden? D S N B G a mg C Figur : Systemet i Uppgift Lösning : Totala raften i horisontell respetive vertial led blir, ( ) S + N sin(π/6) = 0, () ( ) mg + N cos(π/6) = 0. (2) Då, cos(π/6) = 3/2, och, sin(π/6) = /2, får man att, S = N/2, ur den första av dessa evationer. Den andra ger, N = mg2/ 3.Således får man att Spänningen i tråden är S = mg 3.

2 Uppgift 2: En fjäder med styvhet ges en hoptrycning δ och släpps så att den slungar iväg en partiel med massan m. Partiel rör sig sedan från lägsta punten i en glatt vertial halvcirulär bana med radien. Bestäm normalraften från spåret på partieln som funtion av vineln θ. N v v 0 mg Figur 2: Systemet i Uppgift 2 Lösning 2: Fjädern ger partieln en inetis energi som alltså är, 2 mv2 0 = 2 δ2, ilägsta punten. Farten är då, v 0 = /mδ. Därefter gäller att endast tyngdraften uträttar arbete och att energins bevarande ger, 2 mv2 = 2 mv2 0 mg( cos θ). Kraftevationens (ma = F ) normalomponent (naturliga omponenter) ger, m v2 = N mg cos θ. Sätter man ihop dessa resultat får man att, N = δ2 +3mg cos θ 2mg, för normalraften som funtion av θ. Notera att normalraften måste vara positiv. För den vinel där detta uttryc blir noll upphör ontaten med spåret.

3 Uppgift 3: I ett glatt vertialt rör sitter en lätt fjäder med styvhet och naturliga längden 2h/3 fast i botten. Ovanpå den är en tunn lätt platta fäst. Från höjden h släpps, från vila, en lerlump med massan m rat ner på plattan och fastnar. Beräna fjäderns maximala hoptrycning. m h Figur 3: Lerlumpen innan den släpps och röret med lätt platta ovanpå lätt fjäder. Lösning 3: Notera att när lerlumpen fastnar i plattan har man ett stötförlopp med studstalet e =0. Normalt är alltså energin inte bevarad. Då plattan (och fjädern) har försumbar massa jämfört med lerlumpen ger doc rörelsemängdens bevarande att, mv före = mv efter, och alltså ändras inte hastigheten och därmed heller inte inetisa energin. När fjädern når sin maximala hoptrycning, δ, vänder lerlumpen första gången i den efterföljande svängningsrörelsen. Vid vändlägen är hastigheten noll och alltså inetisa energin noll (T =0). Då inetisa energi ocså är noll i startläget fås ur lagen om inetisa energin att totala arbete är noll. Då arbetet är positivt för tyngdraften och negativt för fjäderraften fås, ( ) h T 2 T =0 0=mg 3 + δ 2 δ2. Man måste alltsålösa följande andragradsevation för δ: 2 δ2 mgδ h mg =0. 3 Den negativa roten måste uteslutas. Detta ger följande maximala hoptrycning för fjädern: δ = mg + Svaret an ocså srivas på formen, δ = mg och flera andra algebraist evivalenta former. (mg ) mgh 3. ( ) h, 3 mg

4 Uppgift 4: En rymdfarost retsar ring jorden längs en cirulär bana med radien 2, där är jordradien. ymdfarostens fart öas under en ort tid, i punten, utan att ritningen ändras. Detta leder till att banan ändras till en ellips enligt figuren. Största avståndet till jordens centrum blir i den nya banan 3. Bestäm vilet energitillsott E farosten har fått. 2 B O O Lösning 4: För cirelbanehastigheten gäller att, Figur 4: Bild till Uppgift 4 m v2 C 2 = GmM (2) 2. Detta medför att För ellipsbana gäller allmänt att, v 2 C = GM 2. 2 mv2 GmM = GmM r 2a, där 2a är ellipsens storaxel. (lternativt an man använda rörelsemängdsmomentets bevarande, i punterna och B,istället för denna formel.) I punten fås nu att, 2 v2 GM 2 = GM 5, eftersom massan m an förortas bort. Detta ger, v 2 = 3 GM 5. Energiändringen blir således, E = 2 m(v2 v2 C ). lltså fås E = GmM 20 = mg 20.

5 Teoritentamen Uppgift 5: En raft F = (2e x +6e z ) N angriper i en punt P med artesisa oordinater P :(3, 2, 0) m. Beräna raftens moment M med avseende på punten med oordinaterna :(, 2, 3) m. M = P F =(2e x 3 e z ) (2 e x +6e z )Nm = 8 e y Nm. Uppgift 6: Härled uttrycet för accelerationen i planpolära oordinater. a =( r r θ 2 ) e r +(r θ +2ṙ θ) e θ Uppgift 7: Visa att rörelsemängdsmomentvetorn H O är onstant om en centralraft verar och momentpunten ligger i raftcentrum O. Vila slutsatser om rörelsen an man dra av detta? Då ḢO = r F och F är parallell med r fås att Ḣ O = 0 så H O = onstant. Detta visar i att rörelsen är plan och att setorhastigheten är onstant (när H O = mr 2 θ ez uttrycs i polära oordinater). Uppgift 8: Beräna perioden för små svängningar i ett vertialplan för en partiel upphängd i en tråd av längd l. Perioden ges av T =2π l/g. HE