NFYA02: Svar och lösningar till tentamen Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

Transkript

1 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså massa/volymsenhet. Svar: C = 3M/l 3, dimension massa/volymsenhet. b) Vi har nu fullständiga uttrycket för densiteten: Vi integrerar: 3M l 3 l/ ρ(x) = 3M l 3 x Den andra delen får alltså massan 7M/8. Svar: M 8 och 7M 8 = 3M l 3 (l/)3 /3 = M 8 Uppgift a) Vi gör en taylorutveckling: E p(x) = E a sin x a och E p (x) = E a cos x a Eftersom E p() = och E p () = 1/a blir taylorutvecklingen: E p = E + 1 E a x +... Om vi jämför med uttrycket för ideal fjäder, E p = 1 kx så ser vi att: Svar: E a k = E a

2 b) För harmonisk svängning gäller att: f = 1 k π m = 1 π Svar: 1 E πa M E Ma = 1 πa E M Uppgift 3 a) 1 M T / K 1 b) Svar: Domäner med likriktade dipoler som sinsemellan är oordnade så att nettomagnetiseringen blir noll. Uppgift 4 a) Ögonsumman kan kallas ett makrotillstånd. Makrotillståndet är en beskrivning av systemet som helhet. Ett mikrotillstånd är däremot en fullständig beskrivning av systemet, dvs av varje tärnings värde. Varje makrotillstånd kan åstadkommas på ett antal olika sätt. Vi säger att till ett makrotillstånd hör ett antal mikrotillstånd. Varje mikrotillstånd är lika sannolikt. Sannolikheten för ett makrotillstånd är direkt proportionellt mot antalet tillhörande mikrotillstånd. T ex ögonsumman kan endast åstadkommas på 1 sätt, men ögonsumman 7 kan åstadkommas på 6 olika sätt. Inget annat makrotillstånd har fler mikrotillstånd. Därför får vi oftast ögonsumman 7. Friday, January 17, 14

3 b) Svar: C 3

4 4 Uppgift 5 a) Ett kvantmekaniskt uttryck övergår till ett motsvarande klassiskt uttryck då h. Först gör vi ett variabelbyte, x = hf/(k B T ), som gör att funktionen får följande utseende: ε(x) = x e x 1 k BT Nu Taylorutvecklar vi nämnaren med hjälp av standardutvecklingen för e x. Vi får nu: e x x + x 1 = x + x ε(x) x x + x / k BT = Nu ser vi enkelt att då x får vi ε = k B T. Svar: k B T x/ k BT b) Svar: Den energi som strålas ut varje sekund och genom varje kvadratmeter får man genom att integrera produkten av antalet möjliga svängningar och medelenergin per svängning, som funktion av frekvens. Antalet möjliga svängningar per frekvens- och volymsenhet (se punkt 6 på formelbladet) växer som ν. Om man integrerar ε ν med det klassiska (konstanta!) ε så får man något oändligt. Varje kropp skulle utstråla oändligt effekt (ultraviolettkatastrofen)! Plancks antagande att energin är kvantiserad leder till att medelenergin per svängning blir lägre vid höga frekvenser, istället för att vara konstant. Om man använder Plancks ε blir integralen ändlig.

5 5 Del B Till dessa uppgifter fordras fullständiga lösningar. Uppgift 6 a) R CM = i m ir i i m i Vi kallar Jordens massa M och månens massa m. Avståndet mellan Jorden och månen kallar vi R (= m). Vi får då: R CM = + R m M + m = R M/m Numeriskt får vi att M/m = (5, )/(7,35 1 ) = 81, vilket vi kan uttrycka i jordradien (6, m) som: Svar:,73 jordradier R CM = , 6, =,733 b) W = R G mm r dr = G mm R Detta motsvarar kinetiska energin mv /, dvs: mv = G mm R vilket innebär att GM v = (1) R 6, , v = m/s =,8 1 3 m/s Svar:,8 km/s Alternativ lösning: Man kan även utgå ifrån den i Physics Handbook givna formeln för flykthastighet: v = gr, där g är tyngdaccelerationen vid planetens yta. Tyngdaccelerationen beräknas med: mg = G mm R

6 6 vilket förenklas till: g = G M R Om vi sätter in ovanstådende i den givna formeln får vi: v = G M R R = G M R dvs uttryck (1) ovan.

7 7 Uppgift 7 a) Stefan-Boltzmanns lag för utstrålad effekt per areaenhet: Solen strålar ut effekten: P A = σt 4 P = 4πR σt 4 Denna effekt sprids ut på en yta som motsvarar en sfär med Solen i centrum och radie lika med avståndet till rymdfarkosten. Effekten per areanhet vad farkosten är: P s A = 4πR 4πR σt 4 = R R σt 4 Om seglets area är A s så kommer den mottagna effekten att vara: ( ) R P s = A σt 4 R Numeriskt får vi: ( ) 6, P s = 1, , = W = 7 kw Svar: 7 kw b) Varje sekund träffar N fotoner varje kvadratmeter av seglets yta: N = P s E där E är fotonernas medelenergi. Eftersom P s = 7 W och enligt våglängdsfördelningen är medelenergin i storleksordningen 1 19 J så rör det sig om ett mycket stort antal fotoner. Vi tänker oss därför att kraften är konstant och under 1 sekund ändras de N fotonernas rörelsemängd enligt: F = N p = N(p ( p)) = Np. Eftersom varje fotons rörelsemängd är p = E/c så får vi: F = N E c = P s E E c = P s c Med P s från a)-uppgiften och c =, m/s får vi: F =,18 mn Svar:,18 mn

8 8 Uppgift 8 a) Klassiskt förväntar vi oss att sannolikheten per längdenhet att hitta partikeln är konstant i hela lådan. Men kvantmekaniskt varierar denna i lådan. b) Vågfunktionen i kvadrat ger sannolikheten per längdenhet att hitta partikeln. Den sökta sannolikheten får vi genom att integrera: Vi löser integralen: a/3 a/3 ψ 1 (x) dx = a/3 a sin π a x dx π a sin a x dx = a [ π a π a x sin π a x cos π ] a/3 a x = 1 [ π π a x 1 sin π ] a/3 a x = 1 ( π π 3 1 sin π ) 3 Eftersom: sin π 3 = 3 så får vi: a/3 Svar:, π a sin a x dx = π,.