Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!

Transkript

1 Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik som figurerar i spexet, så att man lättare hänger med, alternativt kan skratta lite i efterhand... Och, förstås, för att det är så förbaskat roligt med matte! 1 Plancks konstant Plancks konstant, h, är en fysikalisk konstant som kan sägas koppla samman den atomära energiskalan med den makroskopiska vi vant oss vid genom SI-systemet. Det är idag välkänt att energin i en foton är lika med ɛ = hν, men på Plancks tid var detta påstående något revolutionerande. För att nå fram till detta uttryck var Planck nämligen tvungen att postulera att energin hos ljus var kvantiserad. Då man på den tiden såg ljus som en vågrörelse (eftersom det beter sig som mekanisk våg som helst i de flesta experiment), var det oerhört att plötsligt se på ljus som beståend av ett antal diskreta element fotoner. Värdet på Plancks konstant är h = J s 1. Detta extremt låga tal speglar att 1 joule är en extremt stor energienhet på atomär nivå. Det är många gånger bekvämare att jobba med Plancks reducerade konstant, h = h/2π. Strecket på h:et ska inte alls peka ner i graven. 2 Heisenbergs osäkerhetsprincip x p x h 2 Heisenbergs osäkerhetsprincip talar om för oss att produkten av osäkerheterna i en mätning av positionen (x) och rörelsemängden (p x ) i ett system som beskrivs av vågfunktionen ψ, alltid måste vara större än eller lika med h/2. Ju säkrare man kan bestämma den ena storheten (säg x, alltså mindre x), desto större blir osäkerheten i den andra variabeln (större p x ). Detta beror på att storheterna position och rörelsemängd inte kommuterar i kvantmekaniken. Enligt 1

2 Köpenhamnstolkningen, som Heisenberg själv bidrog stort till, kan aldrig två storheter som inte kommuterar mätas samtidigt och precist. Heisenbergs osäkerhetsprincip är alltså generaliserbar och kan gälla fler par av storheter än position och rörelsemängd. Det kan dock poängteras att eftersom osäkerhetsrelationen innehåller h är det bara kvantmekaniska system den gör sig påmind. 3 Sc hrödingerekvationen och den endimensionella lådan Den uppmärksamme åskådaren noterade kanske att det faktiskt var fel på Schrödingerekvationen i föreställningen, vilket Werner Heisenberg avslöjar. Det är alltså massan som saknas, och det korrekta uttrycket för den tidsberoende Schrödingerekvationen är som följer: i h Ψ t = h2 2m 2 Ψ + V (r)ψ. (1) Ψ = Ψ(r, t) är vågfunktionen, 2 den så kallade Laplaceoperatorn som beskriver rörelseenergi och V (r) är en extern potential där uttrycket beror av det aktuella systemet. Genom så kallad variabelseparation kan man separera tidsberoendet från rumsberoendet och anlända till den tidsoberoende Schrödingerekvationen, Ĥψ = Eψ, (2) vilket känns igen som ett egenvärdesproblem. Operatorn Ĥ kallas energioperatorn eller Hamiltonoperatorn av tradition. Ĥ = h2 2m 2 + V (r) = ˆT + ˆV. (3) ψ är den nu tidsoberoende vågfunktionen och E är energin för det system som beskrivs av ψ. Genom att lösa ekvation 2 får man fram alla n egenfunktioner ψ n med tillhörande egenvärden E n. Det är detta resultat som leder till den berömda slutsatsen att även energin för materia (elektroner, protoner, osv), måste vara kvantifierad i diskreta nivåer. Beloppet på ψ 2 som funktion av rumsvariabeln kan lite löst sägas beskriva var partikeln uppehåller sig. Ju högre belopp i en punkt, desto större sannolikhet att hitta partikeln i (och kring) den punkten. Det matematiska utseendet på Schrödingerekvationen varierar starkt beroende på system. Faktum är att den inte går att lösa exakt utom i några få specialfall, som till exempel väteatomen och den endimensionella lådan. Det sistnämnda är ett rent tankeexperiment (nej, det går inte att bli förpassad till en sådan), men det fungerar väldigt bra för att illustrera en rad kvantmekaniska fenomen. Med detta något paradoxala begrepp menar man att man har en partikel, t.ex. en elektron, som rör sig längs en x-axel. I det enklaste fallet är partikeln instängt mellan två punkter, säg a och a. Med instängd menar man att den potentiella energin som måste övervinnas för att passera dessa punkter är oändlig. Inuti lådan är potentialen noll. Nu får Schrödingerekvationen ett kraftigt förenklat utseende, nämligen h 2 2m d 2 ψ + Eψ = 0, x < a, (4) dx2 ψ(x) = 0, x > a. (5) Detta är en andra ordningens differentialekvation, vars lösningar är välkända. ψ = A cos kx + B sin kx, (6) 2

3 Figur 1: (a) Relativa energinivåer för de första lösningarna på vågfunktionen i den endimensionella lådan. Ett urval av egentillstånd för vågfunktionen (här; u(x) istället för ψ(x)) samt (c) kvadraten av densamma. där k = (2mE/ h 2 ) 1/2. Eftersom ψ = 0 utanför a och a måste också ψ(a) = 0 (ψ måste vara kontinuerlig). Vågfunktionen är alltså en sinusvåg (härav namnet) som är bunden mellan a och a. En intressant sak som händer för energinivåer högre än den första är då att det finns en eller flera noder i lådan, dvs punkter där funktionsvärdet är noll (se figur 1). Detta innebär i princip att en elektron på denna energinivå kan uppehålla sig till höger och vänster om, men inte på noden! Den tar sig uppenbarligen emellan noderna men aldrig igenom. Detta är ett typiskt kvantmekaniskt fenomen, som kan sätta griller i huvudet på de flesta. Men sådan är kvantmekaniken! 4 Om tunneleffekten Kvantmekanisk tunnling är ett fenomen som kan uppstå när ett objekt är bundet av en ändlig potential, t.ex. en endimensionell låda med väggar med höjden V 0 istället för oändligheten. Inuti 3

4 lådan är Schrödingerekvationen identisk med det förra fallet (ekvation 4) och den allmänna lösningen ser likadan ut. Dock är randvillkoren annorlunda. För x > a modifieras Schrödingerekvationen till vars allmänna lösning är h 2 d 2 ψ 2m dx 2 (V 0 E)ψ = 0, x > a, (7) ψ(x) = Ce κx, x < a (8) ψ(x) = De κx, x > a. (9) Här är κ = [2m(V 0 E)/ h 2 ] 1/2. Alla lösningar måste vara kontinuerliga funktioner, vilket gör att man iterativt får beräkna värdet på konstanterna och därmed energinivåerna. Det intressanta är att även för bundna tillstånd (E < V 0 ) så är ψ skild från noll i regioner där x > a (figur 4). Vad innebär det då? Jo, att det finns en liten men existerande sannolikhet att partikeln befinner sig utanför lådan även om den inte har energi nog att övervinna energibarriären! Detta är ett enkelt exempel på det fenomen som kallas kvantmekanisk tunnling, eller tunneleffekten. Man kan notera att sannolikheten att partikeln är utanför lådan går upp när dess energi närmar sig V 0, vilket känns logiskt. I verkliga system har också barriären en ändlig bredd, vilken starkt påverkar sannolikheten att tunnla. Man ska ha klart för sig att tunnefekten inte på något sätt är ett vardagligt fenomen. Tvärtom. Att en hel människa skulle kunna tunnla är helt absurt. Bara ett pucko skulle komma på något sådant... 5 Referens Figurerna och en del av argumenten är hämtade ur Rae, A. I. M., Quantum Mechanics, 4 th ed., IOP Publishing, London,

5 Figur 2: (a) De 4 första energinivåerna i en endimensionelll låda med barriären V 0 = 25 h 2 /2ma 2. Dessa är de enda bundna tillstånden. (b) Vågfunktionen (här u(x)) och (c) den kvadrerade vågfunktionen för dessa. 5