Re(A 0. λ K=2π/λ FONONER

Transkript

1 FONONER Atomerna sitter inte fastfrusna på det regelbundna sätt som kristallmodellerna visar. De rubbas ur sina jämviktslägen av tillförd värme, ljus, ljud, mekaniska stötar mm. Atomerna i kristallen vibrerar runt sina jämviktslägen på samma sätt som atomerna i en molekyl men med ett annat frekvens-spektrum. Atomernas vibrationer kallas gittervibrationer. y Re(A 0 e ikpa ) x Figur 1 a λ K=2π/λ Man har funnit att gittervibrationerna kan beskrivas med en uppsättning s. k. normalmoder, svängningsmoder som breder ut sig som vågor genom kristallen. Figur 1 visar detta för en atomkedja (en-dimension kristall). Figuren visar realdelen, i ett visst ögonblick av den planvåg som beskriver en svängningsmod med en viss frekvens (vinkelfrekvens). Med både tids och rumsdelen blir vågfunktionen för p:te jonen i kedjan y p = A 0 e ikpa it A 0 är vågens amplitud och K dess vågvektor. Gittervibrationerna vågvektorer bestäms av de periodiska randvillkoren: y(x = L) = y( x = 0) gäller i varje ögonblick, L=Na är atomkedjans längd, N totala antalet atomer i kedjan. 1

2 A 0 e ikl it = A 0 e it e ikl =1 K = 2π L m där p är ett heltal. Eftersom våglängden λ = 2π/K så kommer möjliga våglängder att vara: λ = L m. Det finns en kortaste våglängd och den är λ =2a. Figur 2 åskådliggör en våg med den våglängden och en med ännu kortare våglängd. En våg med kortare våglängd än 2a beskriver inte atomförflyttningarna mer än vad λ 2a gör. y Re(A 0 e ikpa ) x λ min =2a => K max =π/a Figur 2 Svängningsmodernas K-värden begränsas därmed till intervallet [-π/a, π/a]. Detta intervall kallas Brillouinzon. Totala antalet egentillstånd blir: 2π a K = 2π a 2π = L a = Na a = N L 2

3 2π/a är längden på Brillouinzonen och K är längden per K-värde. L, kristallens längd kan uttryckas som Na där a är gitterkonstanten och N är antalet gitterpunkter i atomkedjan. Det innebär att antalet svängningsmoder (egentillstånd) är detsamma som antalet atomer. Debye-modellen I analogi med elektromagnetiska vågor beskrivs sambandet mellan frekvens och vågvektor med en linjär dispersionsmodell. Elektromagnetiska vågor i vakuum har dispersionsrelatonen =ck, c ärljushastigheten och K vågtalet. Modellen tillämpad på materievågor (gittervibrationer) i en kristall kallas Debye-modellen: = v l K (1) där v l är ljudhastigheten. Figur visar Debyes linjära modell och även den modell som mer realistiskt återger dispersionsrelationen (K). De båda modellerna överensstämmer för låga frekvenser och går därför bra att använda i sammanhang där svängningsmoder med låg frekvens dominerar i kristallen. I Debye-modellen införs också en högsta frekvens, vilken för en-dimensionella kristaller är: = v l K D = v l π a Debye-modellen: =ck K=2π/L vågvektor K K D

4 Figur I tre dimensioner måste man beakta ett K är en vektor och att alla punkter som för ett visst belopp K uppfyller att: K = K x 2 + K y 2 + K z 2 har samma energiegenvärde. Alla punkter som ligger på ytan till en sfär med radien K har samma energiegenvärde. Även i tre dimensioner är antalet svängningsmoder (=antalet egentillstånd) lika med antalet gitterpunkter, N. Det innebär att K D är radien i en sfär i vilken alla N K-värden till egentillstånden finns, se figur 4. (Kristallen är en kub med sidan L.) Debye-sfären k z K D k y k x K z =2π/L Figur 4 K x =2π/L K y =2π/L 4

5 N bestämmer Debye-sfärens storlek: 4πK D 4πK D N = = K x K y K z 2π = VK D 6π 2 L (2) n = N V K D = ( 6π 2 n) 1/ () V är kristallens volym och n är antalet gitterpunkter per volymsenhet. Tillståndstätheten Tillståndstätheten (svängningsmodstätheten) kan bestämmas på samma sätt som för elektrontillstånden enligt FEM (se nätanteckningar Frielektronmodellen ) men här för frekvens istället för energi. dn() d K < K D N(K) < N N(K) är antal svängningsmoder i sfären med radien K. N är totala antalet svängningsmoder, dvs antalet gitterpunkter. 4πK N(K) = (2π) V = VK 6π 2 Från ekv. (1) har vi att: K = v l N() = V v l 6π 2 5

6 Modtätheten: dn() d = V 2 v l 2π 2 Icke volymsspecifik modtäthet erhålls om man dividerar med volymen V: g( ) = 2 v l 2π 2 (4) Figur 5 nedan visar modtätheten per frekvensenhet för fononer. Modtätheten per frekvensenhet enligt Debye-modellen g( ) Figur 5 Fononer Materievågens energi bestäms av dess amplitud och frekvens, analogt med elektromagnetisk vågor. Ytterligare en parallell finns till elektromagnetiska vågor: de beskrivs men energikvanta. Elektromagnetisk strålning är kvantiserad i fotoner med energin h per foton. Denna kvantisering blev Planck tvungen att införa i härledningen av svartkropps-kurvan. Utan kvantisering inträffar den s. k. ultravioletta katastrofen ( Tipler kap. -2). Även materievågor i kristaller måste vara kvantiserade för att teori och experiment skall överensstämma. Svängningsmoderna som beskriver materievågorna i en kristall uttrycks i energikvanta som kallas fononer. Energin i en våg av en viss frekvens och en viss amplitud uttrycks som: 6

7 E = h(m ) m är ett heltal och anger antalet fononer och m är proportionell mot vågens amplituden i kvadrat. Vid T= 0 K finns inga fononer men en nollpunktsrörelse: E = 1 2 h per svängningsmod. Fotoner och fononer är bosoner. Bose-Einsteins fördelningsfunktion (Plancks fördelningsfunktion) Fononer skapas och förintas och som nämnts tidigare så finns det inga fononer vid T=0 K. Antalet fononer vid en viss temperatur T i en svängningsmod med frekvens bestäms av Bose-Einsteinfördelningen (analogt med fotoner enligt Tipler kap -2): 1 f B E (,T) = h k e T B 1 (5) Bose-Einsteinfördelningen beskriver att det totala antalet fononer i en mod ökar med temperaturen och minskar med modens frekvens för konstant temperatur. Detta illustreras i figur 6 nedan för tre olika temperaturer. Bose-Einsteinfördelningen vid tre olika temperaturer. f(,t) T Figur 6 7

8 I I figur 7 har Bose-Einsteinfördelningen multiplicerats med modtätheten vilket ger antalet fononer per frekvensenhet. Totala antalet fononer vid en viss temperatur: 0 g() f B E (,T)d ökar med temperaturen. antal fononer per energienhet vid tre olika temperaturer g () * f B-E (,T) T Figur 7 8

9 Mål för momentet fononer Att förstå att jonernas rörelse runt sina jämviktslägen i kristallen kan beskrivas som kollektiva planvågor, materievågor. Veta att det finns tre varianter (kallas grenar) av vågutbredning i kristaller Veta antalet svängningsmoder per gren Att förstå betydelsen av vågtal ( endimensionella kristaller, vågvektor i tredim.) och varför det finns ett största möjlig vågtal (motsvarar den kortast möjliga våglängden) Veta vad Brillouinzon avser Veta sambandet mellan energi och vågvektor i Debyemodellen Veta vad begreppen Debyetemperatur och Debyefrekvens innebär och hur man beräknar dess utgående från data i Physics Handbook Kunna beräkna ljudhastigheten i olika kristaller utgående från Debyemodellen och data i Physics Handbook Att förstå vad en fonon är Att förstå innebörden av begrepper tillståndstäthet för fononer enligt Debyemodellen 9