Föreläsning 1. Elektronen som partikel (kap 2)

Transkript

1 Föreläsning 1 Elektronen som partikel (kap 2) valenselektroner i metaller som ideal gas ström från elektriskt fält mikroskopisk syn på resistans, Ohms lag diffusionsström Vår första modell valenselektroner som ideal gas Atomkärna + inre elektroner Na + valenselektron Figur 2.1 1

2 Föreläsning 2 Elektronen som partikel (kap2) forts. Diffusionsström Halleffekt Värmekapacitet Slutsatser Repetition Na + Valenselektroner som ideal gas: ½ kt per frihetsgrad ger E kin =3/2 kt i medel Vi inkkluderar spridning (-> resistans) för att få stationär ström drifthastighet E v y Ström, konduktivitet inom Drudemodellen v x 2

3 Drudemodellen: vilka av storheterna varierar med pålagd spänning? A. resistiviteten B. drifthastigheten C. mobiliteten D. elektronernas energi E. strömtätheten F. spridningstiden Atomslag med en valenselektron per atom. Vad blir C V för 1 mol (N A st atomer) inom vår modell? Tre dimensioner! 3kTN A: 2 D: 3kN B: 3kN 2 E: 5kN 2 C: 9kN 2 F: 3kTN 3

4 Värmekapacitet hos fasta ämnen Figur 1.39 Föreläsning 3 Frielektronmodellen (kap 4) Slutsatser kapitel 2 Modell för elektroner i metall: kvantbrunn Tillståndstäthet Fermienergi 4

5 Repetition/sammanfattning Na + Valenselektroner: ideal gas av laddade partiklar. Energin ges av T via ekvipartitionsteoremet. Drift- och diffusionsström Vi inför spridning och spridningstiden Halleffekt - positiva laddningsbärare?? Repetition/sammanfattning Värmekapacitet Vibrerande atomer: C v atom = 3kN A per mol; C v el t ex 3/2 kn A per mol C V el ~0 experimentellt?? Idé om konstant fri medelväg återskapar inte (T) för metaller?? 5

6 Metall som oändlig kvantbrunn 3s 3s 3s valenselektroner Na 2p 2s 1s 2p 2s 1s 2p 2s 1s Figur 4.1 Vågpaket Figur 4.4 Figur 4.5 6

7 Föreläsning 4 Frielektronmodellen (kap4) forts. Temperatur >0; Fermi-Dirac fördelning Värmekapacitet Fri elektrongas klassisk vs kvantmek beskrivning Repetition (1) Na 2p 2s 3s 1s 3s 1s 2p 2s 3s 1s 2p 2s valenselektroner E Frielektronmodellen; V x, y, z 0 φ x, y, z e E ħ k 2m ; k k,k,k k z k Tillåtna vågtal k n Tillstånd def. av k,k,k, spinn k k y k x 7

8 Repetition (2) Tillståndstäthet Z E : Antal tillstånd inom ett intervall de vid energin E. Pauliprincipen Fermienergi (3D) 3D: Z E E Alla valenselektroner ligger under E F vid T = 0 K Z(E) k F k z N k y E F E k x E F i metaller >> kt Frielektronparabeln Fermisfär E E F 0 ω Intensitet Na E F ω Figur

9 Figuren visar produkten av tillståndstäthet och Fermifördelning. Vilken är den rimligaste tolkningen av den röda arean? A. Antalet elektroner med energi kt. B. Antalet elektroner som har lämnat metallen. C. Antalet termiskt exciterade elektroner. D. Antalet valenselektroner i metallen Betrakta en liten metallbit med Fermienergi E F = 6 ev och volymen 1 mm 3 vid 300 K. Beräkna sannolikheten att ett tillstånd med energi E = 5,9 ev är besatt. Uppskatta antalet elektroner med energier inom ett litet energiintervall E =1 mev runt E = 5,9 ev. Tänk på att E<<kT, vilket gör beräkningen enklare. 9

10 Ferminivån i metaller konstant och lika med Fermienergin för rimliga T inteheltsant Flyttas Ferminivån uppåt eller neråt då T ökar? Tänk på att totala antalet elektroner måste vara detsamma oavsett temperatur! Sannolikheten att 11e en elektrontillståndet är besatt: 10

11 sannolikhet En-elektrontillståndens energi / Tillstånd 11 Föreläsning 5 Frielektronmodellen (kap 4) forts. Bandstruktur (kap 5)? Värmekapacitet Kvantmek. vs klassisk modell Ledningsförmåga inom FEM Elektroner i periodiska potentialer (kap 5) 11

12 Betrakta tillstånden i skalet (k, k+dk) vid en temperatur T. Vilka påståenden stämmer? ky A: Tillstånden har samma energi. k x B: Antalet tillstånd beror på T. C: Antalet elektroner i skalet beror på T. D: Energin för tillstånden bestäms av k. E: Energierna för tillstånden bestäms av T. F: Om T sänks finns det färre elektroner i skalet. k z k k+dk Repetition Fermi-Dirac fördelningsfunktion: E E T F E vid Ferminivån 1 2 Ferminivån konstant för metaller 0 1 F E 12

13 Figur 4.18 E F (T) Figur

14 k z k F k y k x Kap 2 Kap 4 14

15 Föreläsning 6 Bandstruktur (kap 5) forts. Kap 4: sammanfattning Periodisk potential Ny Hamiltonian -> band/bandgap Repetition (1) Fria elektroner bara kinetisk energi Metaller: Fermienergi >> kt Metaller präglade av Pauliprincipen metall 15

16 Repetition (2) Ledningsförmåga inom FEM Asymmetri -> ström Spridning sker vid E F Repetition (3) Spridning sker inte mot de statiska, regelbundet placerade, atomerna/jonerna Spridning sker pga 1. Atomära vibrationer 2. Defekter i kristallstrukturen 16

17 Bandstruktur (kapitel 5) Fig

18 Bild: intel Bild: azonano Braggreflektion Figur 5.3 Konstr. interferens: 2a sin θ nλ 18

19 Figur 5.4 Föreläsning 7 Bandstruktur (kap 5) fortsättning Bandstruktur i 3D Ström i bandstrukturen (yttre fält) Metall vs isolator/halvledare 19

20 Repetition (1) Svag periodisk potential V x Braggspridning som första idé V x kopplar ihop/mixar/blandar FEM-tillstånd e till nya tillstånd Repetition(2) Vi hittar nya tillstånd φ x c e c e k k och nya energier Kinetisk och potentiell energi! För vissa tillstånd (vid BZkanter) är E tydligt skild från fri-elektronenergin. För många tillstånd är E nära fri-elektronenergin. Tillstånden är FE-lika. 20

21 Figur 5.13 Bandstruktur i 3D Energi (ev) k 21

22 Kristallstruktur i 3D Finns många olika kristallstrukturer Här: Zinc-blende, diamant-struktur Ex: (ZB): GaAs, InP, GaP,.. (diamant): Si, Ge Figur 5.15 Figur

23 Figur 5.16 Figur 5.17 Endimensionell kristall: E, n, där n är elektronkoncentrationen (antal/längdenhet). ħ Antag atomavstånd a=0,25 nm; 3 valenselektroner/atom. Beräkna de två lägsta energierna runt vilka bandgap kan uppstå. Vad är energiskillnaden mellan ett tillstånd vid EF och tillståndet vid samma k i energibandet strax under? Antag att energierna för bandtillstånd beskrivs väl av frielektronenergierna. 23

24 Bandstruktur för koppar Föreläsning 8 Bandstruktur (kap 5) Börja på Halvledare (kap 6) Ström i bandstrukturen (yttre fält) Metall vs isolator/halvledare Elektroner i bandstrukturen: effektiv massa Hål 24

25 Repetition Tillstånd i bandstrukturen: approximerar med linjärkombinationer av FE tillstånd. Bandgap skillnad i potentiell energi mellan tillstånd. Ingen spridning från den statiska potentialen Atomära orbitaler > bandtillstånd (tight binding) 25

26 Modeller för bandstruktur Figur 5.30 Vågpaket Figur 4.4 Figur

27 Figur 3.8 Hur snabbt rör sig modulationen? För t ex en topp är B konstant. Grupphastighet Hur snabbt rör sig modulationen? För t ex en topp i modulationen är B konstant. s (75-80) 27

28 Figur 5.20 Halvledare (kapitel 6) Figur

29 Vad är E(k) nära bandens extrempunkter? k 29