Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Transkript

1 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, Sammanfattning av kursen FTF4 Termodynamik för F3 (utdelat), Chalmersgodkänd räknare. Jourhavande lärare: Göran Wahnström, tel , Bedömning: Varje uppgift ger maximalt poäng. Till detta adderas eventuella duggapoäng. För godkänt krävs poäng (4:a minst 3 poäng, 5:a minst 4 poäng). Lösningar: Anslås på kurshemsidan. Rättningsgranskning: Tisdag 4 sep, kl :5-3. i S33, 3:e våningen i byggnad Soliden.. En behållare innehåller luft, som från början har samma temperatur som omgivningen. Med hjälp av en rörlig kolv komprimeras luften till halva volymen. Processen sker så långsamt att den kan betraktas som isotermisk, och det arbete som uträttas på gasen vid kompressionen blir då W. Därefter låter man gasen expandera tillbaks till sin ursprungliga volym, men denna gång sker processen så snabbt att den kan betraktas som adiabatisk. Processen är dock fortfarande tillräckligt långsam för att kunna anses ske kvasistatiskt. Det arbete som gasen uträttar på kolven blir då W. Ange de två processerna schematiskt i ett PV-diagram samt beräkna kvoten W /W! Luften får behandlas som en idealgas med konstant värmekapacitet (3 translationsfrihetsgrader och rotationsfrihetsgrader, dvs f =5).. Emilia vill ordna med varmvatten till sitt fritidshus och använder då en eldriven värmepump. I närheten ligger en sjö och hon utnyttjar bottenvattnet med temperaturen +4 C som lågtemperaturreservoar. Hon önskar varmvatten med temperaturen +5 C. Antag att värmepumpen arbetar helt idealt. Hur mycket värmeenergi kan hon tillföra husets varmvatten per förbrukad Joule elektrisk energi? Du ska härleda ditt svar utgående från första och andra huvudsatserna och du ska illustrera energiflöderna i en figur! 3. Temperaturen i nedre delen av solens kromosfär är 5 K. Bestäm sannolikheten för att en vätemolekyl ska befinna sig i det första respektive andra vibrationsexciterade tillståndet vid denna temperatur. Nödvändiga numeriska data får tas från Physics Handbook.

2 4. Betrakta ett gitter av lokaliserade väteatomer vid temperaturen T. Antag att varje väteatom kan befinna sig i fyra olika tillstånd: tillstånd antal elektroner energi neutral - ɛ positiv - ɛ negativ ɛ exciterad ɛ (a) Vilket värde ska kemiska potentialen för elektronerna ha för att medelantalet elektroner per väteatom ska vara? (b) Givet detta värde på kemiska potentialen, bestäm sannolikheten för att en väteatom befinner sig i ett tillstånd med precis en elektron! 5. Standardmodellen för en Fermigas är en uppsättning av fermioner som rör sig i en lådpotential, där energinivåerna ges av uttrycket ɛ nxnyn z = ( ) h (n x + n y + n m L z) ; n x, n y, n z {,, 3,...} och där V = L 3 är lådans volym och m fermionens massa. Man kan också anta att fermionerna rör sig under inverkan av en tredimensionell isotrop harmonisk oscillator potential. Motsvarande uttryck för energinivåerna är då ɛ nxn yn z = ( 3 + n x + n y + n z )hf ; n x, n y, n z {,,,...} eller ɛ n = ( 3 + n)hf ; n {,,,...} med degenerationsgraden g n = (n + )(n + ) Betrakta N fermioner med spinn / som rör sig i en tre-dimensionell isotrop harmonisk potential. Bestäm tillståndstätheten g(ɛ) och härled sedan ett uttryck för fermienergin ɛ F! Antag att antalet fermioner är stort och att energispektrat kan betraktas som kontinuerligt. Hur ska frekvensen f väljas om man ska få samma fermienergi som för fermioner i en låda med volymen V?

3 Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug. W = P dv Isoterm: P V = NkT P = NkT V W = Adiabatisk process: V / P = P V V. V P V V dv = P V log =,69P V P V γ = konst. P V γ = P (V /) γ P = P γ V γ V γ, där γ = c P cv = f+ f =,4. W = V V / P γ V γ V γ = P V γ W W =,87. ( γ ) =,6P V.

4 . Andra huvudsatsen: S tot. I denna process kommer sjöns entropi minska enligt S S = Q in /T S och varmvattnets öka enligt S V V = Q ut /T V V. Vi har alltså S tot = S S + S V V = Q ut /T V V Q in /T S. Enligt lagen om energins bevarande (första huvudsatsen) måste vi ha att Q ut = Q in + W. Vi använder detta samband för att eliminera Q in ur olikheten ovan, och löser för Q ut : Q ut W T V V T V V T S = W 33K 46K = 7 W. Om pumpen arbetar helt idealt så blir entropiökningen och ersätts av =. Vi får alltså 7 J värme för J elektrisk energi. 3. Physics handbook, sektion 5.7: Vibrational energy hν e = mev. Låt oss för enkelhetens skull definiera grundtillståndets energi till : E =. De första två exciterade tillstånden får då energierna E = hν e respektive E = hν e. Sannolikheten att hitta en molekyl i tillståndet n ges av p n = /Z exp( βe n ), där β = /(kt ). Z = exp( βe n ) = n= Vi får alltså exp( βnhν e ) = n= p = exp( βhν e )( exp( βhν e )) =., exp( βhν e ). p = exp( βhν e )( exp( βhν e )) =.6.

5 4. Sannolikheten för att vara i tillstånd i med energin E i och N i elektroner ges av där p i = Z e β(e i µn i ), Z = i e β(e i µn i ). (a) Medelantalet kommer vara om sannolikheten för att hitta elektroner är lika stor som sannolikheten för att hitta elektroner, d.v.s. om p positiv = p negativ Z eβɛ = Z e β(ɛ µ) e βɛ = e βµ µ = ɛ. (b) Om µ = ɛ ges sannolikheten för att en atom befinner sig i ett tillstånd med precis elektron av p( elektron) = p neutral + p exciterad = = cosh(βɛ ) cosh(βɛ ) + e β(ɛ +ɛ ) + e β( ɛ +ɛ ) e β(ɛ +ɛ ) + e βɛ + e βɛ + e β( ɛ +ɛ ) 5. Låt oss börja med att förenkla uttrycken för energinivåerna och degenerationsgraden, under det givna antagandet N : ɛ n = nhf g n = n. Antalet tillstånd mellan n och n + dn (där dn n) är g n dn, där tvåan kommer sig av att det finns två möjliga spinn för varje tillstånd i potentialen. Om vi byter variabel till ɛ måste samma antal tillstånd ges av g(ɛ)dɛ = g(ɛ) dɛ dn g(ɛ) = g n dɛ dn Fermienergin ɛ F ges av N = ɛf dn. Om vi likställer dessa uttryck får vi g(ɛ)dɛ = = n hf = ( ɛ hf hf ) = ɛ (hf) 3. ɛ3 F 3(hf) 3 ɛ F = hf 3 3N. Fermienergin för en gas i en låda ges av ( ) ɛ F = h 3N /3. 8m πv Om vi likställer dessa båda uttryck för ɛ F och löser för f får vi f = h ( ) 3N /3 8m π V. 3