Kvantfysikens grunder. Mikael Ehn Period III, 2017

Transkript

1 Kvantfysikens grunder Mikael Ehn Period III,

2 Kvantfysikens grunder, Introduktion Kapitel 1. Introduktion 2

3 Kvantfysikens grunder, Introduktion Överblick Överblick av kursinnehållet Behovet av kvantmekanik Newtons mekanik kan inte förklara alla observationer Energins kvantisering, fotonen Atomen Atomens struktur Kvantisering Bohrs atommodell Materievågor, Våg-partikel-dualitet Heisenbergs osäkerhetsprincip Kvantmekaniken och dess formulering Schrödingerekvationen och lösningar för förenklade system Rörelsemängdsmomentets kvantisering Atomer med en elektron Atomer och molekyler 3

4 Kvantfysikens grunder, Introduktion Överblick Överblick Fram till 2014 var Kvantfysikens grunder (KG) och Atomer och molekyler (AM) delar av en enda kurs (dåvarande Materiens struktur I). Kurserna KG och AM har en fortsättning i kursen Materiens struktur (tidigare Materiens struktur II), som behandlar det fasta tillståndets fysik samt kärn- och partikelfysik. Kursen bygger på material från kursböckerna John J. Brehm & William J. Mullin: Introduction to the Structure of Matter (framöver BM ), samt Peter W. Atkins & Julio de Paula: Physical Chemistry, Part 2: Structure. Ursprungliga föreläsningsanteckningarna gjorda av Björn Fant (år 2000). Digitalisering och kompletteringar: Krister Henriksson (2000), Miklos Långvik (2004, 2006). Uppdateringar och kompletteringar: Mikael Ehn ( ). Från Latex till ppt

5 Kursen i praktiken Bedömningen kommer att vara som följer Tenten = 60% Övningar = 30% Kursarbeten = 10% Kursens hemsida: Ska också göra några test med enkelt online-hjälpmedel Presemo under föreläsningarna 5

6 Presemo röstningsresultat 2017 (10 deltagare) Vetenskapshistoria verkar vara ganska bra under kontroll 6

7 Kvantfysikens grunder, Introduktion Historia Historia 400-talet f. Kr.: Demokritos fastslog att atomen är materiens minsta beståndsdel. 300-talet f.kr.: Aristoteles ansåg att materiens beståndsdelar är jord, vatten, luft och eld (och eter) 1600-talet: Den naturvetenskapliga metoden som bygger på planerade experiment startade med Galileis experiment. De grundläggande mekaniklagarna publicerades av Isaac Newton i Principia Mathematica : Boyles gaslag (pv = konstant) talet: Charles lag (V/T = konstant). 1811: Avogadros lag (V/n = konstant). 1834: pv = nrt (Clapeyron) talet: Kemiska revolutionen. A. Lavoisier: materien är oförstörbar. 1808: Dalton lanserar sin atomteori: materien bestar av atomer. 1869: Periodiska systemet ställs upp av D. Mendelejev och L. Meyer, oberoende av varandra 1896: Henri Becquerel upptäcker radioaktiv strålning 1897: Thomson upptäcker elektronen. Något år senare bestämmer Millikan förhållandet dess laddning/massa. 1900: Max Planck beskriver svartkroppsstrålningens spektrum med antagandet att strålningsenergin är kvantiserad. Planck förstod inte till fullo vidden av sitt antagande. 7

8 Kvantfysikens grunder, Introduktion Historia 1905: Einstein ger en utförligare förklaring av energins kvantisering i.o.m. Den fotoelektriska effekten. 1905: Einsteins relativitetsteori 1910: Ernest Rutherford inledde en serie experiment som ledde fram till upptäckten av atomkärnan och 1911 presenterade han sin atommodell enligt vilken elektronerna kretsar kring en positivt laddad kärna. 1913: Dansken Niels Bohr presenterar en modell för atomen, enligt vilken energitillstånden i en-elektronsatomer kan beräknas. 1932: J. Chadwick upptäckte neutronen och senare under 1930-talet upptäcktes andra kärnpartiklar. I takt med att acceleratorerna har utvecklats har man hittat nya partiklar och en ny gren av fysiken, nämligen partikelfysiken, började utvecklas. Så sent som 2013 upptäcktes den förutspådda Higgs-bosonen. Den centrala delen av denna kurs behandlar uppkomsten av kvantmekaniken, som är den teori med vilken vi kan beskriva alla dessa partiklar och de system som de bygger upp. 8

9 Kvantfysikens grunder, Introduktion Allmänt Vi kommer att gå igenom kursmaterialet kronologiskt, vilket kanske inte alltid är det enklaste sättet Betoningen ligger på att presentera olika fenomen mer än detaljerade härledningar av enstaka formler Om notationer Anteckningarna kommer så långt som möjligt att följa en färgkod, där röd innebär en ekvation som i princip kunde härledas, men här ges den utan härledning. Blå innebär ett antagande som senare bekräftas, t.ex. med experiment. 9

10 Kvantfysikens grunder, Fotonen Kapitel 2. Fotonen 10

11 Kvantfysikens grunder, Fotonen Fotonen I slutet av 1800-talet var det redan klart att både materia och laddning var kvantiserade, men detta var inte i strid med tidigare teorier eller den klassiska mekaniken. Då man började få indikationer av att också energin var kvantiserad, blev man tvungen att börja tanka i nya banor. Vi kommer i detta kapitel att behandla den allra tidigaste bakgrunden till kvantfysiken nämligen svartkroppsstrålning och energins kvantisering, samt egenskaper hos dessa energikvanta 11

12 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning 2-1. Svartkroppsstrålning En svartkropp absorberar all strålning som faller på den, utan att reflektera något. Den enda strålning som kommer frän en svartkropp är dess värmestrålning, som endast beror av temperaturen och därför har en universell matematisk form. Ett typiskt exempel på en reell svartkropp är en låda med ett litet hål. Hålet tillåter strålning att komma in i lådan, men förhindrar effektivt (men inte helt och hållet) att strålningen lacker tillbaka ut. Av denna anledning kallas också svartkroppsstrålningen för hålrumsstrålning. Många andra objekt kan också antas vara svartkroppar, och värmestrålning är ett mycket vanligt fenomen också i vardagen! 12

13 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Figur 2-1. Exempel på svartkroppsstrålning vid olika temperaturer. Jorden är ca 300 K, solen ca 6000 K. Båda emitterar strålning som gott kan antas vara svartkroppsstrålning. 13

14 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Definitioner Strålningsemittans, = = Spektralemissiviteten, = Enligt Stefan-Boltzmanns lag från 1884 gäller för alla svartkroppar att = =, där = 5,67 10 svartkroppen (blackbody). och indexet b betecknar Empiriskt observerade också W. Wien att våglängden för den maximala strålningen följde beroendet (Wiens förskjutningslag ) = 2,898 10, där är våglängden där är maximal 14

15 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Härledning av Planck s lag Vi summerar de viktiga stegen här, men utan detaljerade härledningar av alla steg I vilken form förekommer energi i en svartkropp som vi antar vara ett hålrum (en volym innesluten av ett skal). Energi kan lagras i stående elektromagnetiska vågor i ett hålrum. Energidensiteten kan skrivas u =, där är antalet stående vågor (moder) med frekvensen, med medelenergin per mod, i volymen = u enligt BM 2-8 och ruta på s. 80. Exempelrutan på s. 80 är lite svårtolkad. Nedan lite (hoppeligen) klargörande text. Tanken är att vi har en energidensitet och att varje energipaket där rör sig med ljusets hastighet. Om vi antar att är homogen så kan vi utföra rutans beräkning i vilken punkt i hålrummet som helst. Vi valde mitten men resultatet är samma (men beräkningen svårare) om vi valt punkten vid hålrummets öppning Till skillnad från vad det står i BM så tycker jag det är lättare att tänka sig flödet i mittpunkten pga strålningen som kommer från vänstra hemisfären, för det är endast dom som kommer att ha positiva -komponenter (i mittpunkten). Men slutresultatet blir samma som i BM. Då vi integrerar enligt bokens ruta får vi medeltalet av alla c med positiv vilka är de enda som kan ta sig ut ur hålrummet. Faktorn ½ som motiveras i rutan har att göra med och inte. Inget ur denna ruta kommer i tenten. Figur 2-2. Olika moder för en stående våg. Den lägsta moden kallas grundfrekvensen och de övriga är det första sex övertonerna. 15

16 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Härledning av Planck s lag För att beräkna antalet moder,, behöver vi ta hjälp av vågekvationen och randvillkor för vågorna T.ex. måste vågornas (elektromagnetiska strålningens) amplitud vara noll vid ytan om vi antar en perfekt ledare. Möjliga frekvenser som kan producer stående vågor i ett hålrum (en kub med sidan L i det här fallet) fås som = En stående våg måste reflekteras tillbaka till sin startpunkt, och därmed kan man tänka sig att det för varje dimension skilt gäller att det måste vara ett jämnt antal halva våglängder per L för varje dimension. Men ovanstående formel härleds m.h.a. vågekvationen och vissa randvillkor i BM. 16

17 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Härledning av Planck s lag Varje punkt (,, ) i det abstrakta n-rummet svarar nu mot en mod i hålrummet, och vi kan använda detta för att beräkna. Varje 1x1x1 kub (dvs enhetskuben) kommer att innehålla exakt en punkt. Detta innebär att i en volym X återfinns också X stycken punkter. -axlarna går från 0 till, dvs de fyller en å ondel av e tredimensionellt koordinatsystem. Se BM figur 2-7, jmfr också figur 2-3 för motsvarande tvådimensionella situation. Om vi definierar + + = som avståndet från origo får vi att volymen av ett oktantskal med tjockleken är 4 = 4 = = där vi använt =. Sista steget kommer från vår ursprungliga definition av och texten ovan (volymen = antalet punkter). Att vi måste dividera med 2 i sista uttrycket beror på att antalet moder fördubblas då varje mod har två möjliga polarisationsriktningar. Figur 2-3. Det två-dimensionella n- rummet. Möjliga heltalskombinationer av (n1, n2) är märkta med blåa punkter. I bilden kan man beräkna antalet punkter mellan r = 7 och 7,2. 17

18 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Härledning av Planck s lag Kvar är nu att lista ut. Om vi antar att varje mod kan ses som en frihetsgrad för strålningen kan vi för varje mod använda =. Detta enligt ekvipartitionsteoremet som torde vara bekant för dem som gått termofysik-kurserna. Detta är dock inget som vi återkommer till, och behöver inte funderas desto mer på. Vi får nu slutligen spektralemissiviteten som = = = = Detta är Rayleigh-Jeans lag som var ett av de fundamentala problemen med klassisk fysik i början på 1900-talet. Den säger nämligen att då vilket inte stämde överens med observationer. Detta kallas för den ultravioletta katastrofen. Rayleigh-Jeans lag för svartkroppens spektrala energidensitet gäller bara för låga frekvenser. Figur 2-4. Rayleigh-Jeans lag i jämförelse med Plancks lag (som överensstämmer med observationer). Wiens lag har inte gåtts igenom i den här formen. 18 (Wikimedia Commons)

19 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Härledning av Plancks lag: Kvanthypotesen Max Planck insåg att om hade ett frekvensberoende kunde också sannolikheten för höga frekvenser minska. Han märkte att observationerna kunde reproduceras ifall man antog att = För att konstruera denna formel var Plancks grundläggande antagande att energin för strålning med frekvensen i hålrummet består av multipler av ett fundamentalt energielement enligt = h. h kom att kallas Plancks konstant och har värdet 6, Se nästa sida för stegen från detta antagande till formeln ovan 19

20 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Stegen från = h till = går via dessa steg 20

21 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-1. Svartkroppsstrålning Plancks lag Slutliga formen för Plancks lag blir M = Denna kan tillämpas på svartkroppsstrålningen och överensstämmer med observationerna. Vi kan nu också härleda Wiens och Stefans- Boltzmanns lagar med tillhjälp av Plancks lag. Många var trots detta skeptiska gällande energins kvantisering, också Planck själv. Plancks lag härleddes för ett mycket komplicerat system, och Einstein sökte efter enklare system där man kunde påvisa liknande beteende. Han fann det i den fotoelektriska effekten. 21

22 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-2. Fotoelektriska effekten 2-2. Den fotoelektriska effekten När ljus med en frekvens som ligger över ett visst tröskelvärde träffar en metallyta, frigörs elektroner från ytan. Detta fenomen kallas för den fotoelektriska effekten och upptäcktes 1887 av bland andra Heinrich Hertz. Många aspekter av fotoelektriska effekten var oförståbara från ett klassiskt perspektiv, men Einstein gav den teoretiska förklaringen till fenomenet Enligt Einstein uppträder ljuset vid den fotoelektriska effekten som en ström av partiklar. Dessa partiklar döptes till fotoner. Fotonernas energi överförs till materialets elektroner, vilka frigörs om den tillförda energin är större än utträdesarbetet, dvs den minsta energimängd som behovs för att frigöra en elektron ur materialet i fråga. Energibalansen då en foton träffar metallytan kan skrivas som h = + = + är den största möjliga kinetiska energi som elektronen kan få i denna process. 22

23 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-2. Fotoelektriska effekten Figur 2-5. Experimentell koppling för att testa fotoelektriska effekten. Om den belysta metallplattan finns inne i ett evakuerat rör som man pålagt en spänning, kan bestämmas ur =. Spänningen (spärrspänningen) motsvarar minsta spänningen som krävs för att stanna upp alla elektroner förrän dom når anoden. Om ljusintensiteten ökar, ökar också antalet fotoelektroner, men t.ex. spärrspänningen ändras inte. (BM figur 2-13) 23

24 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-3. Röntgenstrålning 2-3. Röntgenstrålning Röntgenstrålning kommer i mera detalj senare i kursen, men här ges en liten introduktion till ämnet. Röntgenstrålningen upptäcktes första gången 1895 av W. K. Röntgen, men att det var frågan om elektromagnetisk strålning klarnade först Laddningar i accelererad rörelse avger strålning. I ett röntgenrör avges elektroner från katoden och accelereras mot anoden med en spänning. Inne i anodmaterialet bromsas elektronerna gradvis upp och energin avges i form av brehmsschtralung, vilken bildar ett kontinuerligt spektrum. Då elektronen avger hela sin kinetiska energi till en foton, ses strålning med frekvensen och våglängden enligt sambandet = =h = h Figur 2-6. Strålning uppmätt från ett röntgenrör med Rhodium-anod. Den kontinuerliga delen är brehmsstrahlung och pikarna är karakterisk strålning förklaras senare. (Wikimedia Commons) 24

25 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-4. Compton-effekten 2-4. Compton-effekten 1905 beskrev Einstein fotoner som partiklar med energi postulerade han att de också borde kunna förknippas med en rörelsemängd gjorde slutligen Arthur Holly Compton ett experiment där han kunde verifiera detta. 25

26 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-4. Compton-effekten Vi tänker oss spridning av ljus från en partikel, i det här fallet en elektron. Detta kan också beskrivas helt klassiskt, men då måste ljusets våglängd hållas konstant vid spridningen. Noggranna observationer visade dock att så inte alltid var fallet. 26

27 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-4. Compton-effekten 27

28 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-4. Compton-effekten 28

29 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-4. Compton-effekten Detta är Comptons formel för spridning av en foton från en elektron. är våglängden för den inkommande fotonen och våglängden för den spridda. Precis som experimenten visade är förändringen i våglängd enbart en funktion av spridningsvinkeln. Uttrycket h = 0,00243 nm kallas Comptonvåglängden och anger en storleksordning för våglängdsförändringen. Som jämförelse kan nämnas att röntgenstrålning faller ungefär inom intervallet nm. 29

30 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-5. Parbildning 2-5. Parbildning 30

31 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-5. Parbildning 31

32 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-5. Parbildning 32

33 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-5. Parbildning 33

34 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-6. Växelverkning med materie 2-6. Strålningens växelverkning med materien 34

35 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-6. Växelverkning med materie 35

36 Kvantfysikens grunder, Fotonen 2-6. Växelverkning med materie Figur 2-7. Olika typer av absorption av fotoner i järn.vid låga (röntgen) energier är fotoelektriska effekten viktigast, sen tar spridning över, och vid höga fotonenergier är parbildning den viktigaste växelverkningsformen, fast även den är rätt osannolik. (Wikimedia Commons) 36