F3: Schrödingers ekvationer

Transkript

1 F3: Schrödingers ekvationer

2 Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så är energin kvantiserade Inkorporera våg-partikel dualiteten Att för stationära tillstånd att icke-linjär rörelse inte är en del av beskrivningen (bromsstrålning, bremsstrahlung)

3 Bohrs atommodel Elekronerna befinner sig i stationära banor kring den positivt laddade kärnan.

4 Bremsstrahlung Om en partikel rör sig ickelinjärt kommer den att utstråla ljus och förlora kinetisk energi motsvarande energin i strålningen. Den nya fysiken kan inte inkludera att elekroner i bundna tillstånd i atomer beskrivs med något som motsvara en rörelse i banor detta hade lett till att dom deaccelererar med konstant ljusutstrålning tills dom kollapsar på kärna när den kinetiska energin har tagit slut. X-ray Free-Electron Laser (XFEL)

5 Schröderings Ekvationer Erwin Schödinger, som var specialist på klassisk vågrörelse, presenterade 196 en helt ny fysik som tar hand om de problem som den klassiska mekaniken har. Den nya teorin kallas kvantmekanik och har som central del vågfunktionen, Ψ.

6 Schrödingers Tidsberoende Ekvation Ψ(R, t) ^ i = H (R,t )Ψ (R,t ) t ^, Hamilton operatorn, är definierad som där H ^ H ( R, t)= +V (R, t) m och Ψ (R, t ) är den så kallade vågfunktionen

7 Schrödingers Tidsberoende Ekvation Låt oss titta på Hamilton operatorns olika delar ^ H= +V ( R,t ) där vi har m kinetiska energi operatorn : = ( + + ) m m x y z potentiella energi operatorn :V (R, t) Låt oss inte övertolka namnen bara för de har namn som vi känner till från den klassiska mekaniken. ETotal = EKinetiska + EPotentiella.

8 Schrödingers Tidsberoende Ekvation För att gå vidare gör vi tillsvidare två förenklingar 1: V (R, t )=V (R), en tidsoberoende potential : Ψ (R, t)=f ( t) Ψ ( R) detta ger f (t ) ^ (R) Ψ (R) i Ψ ( R) =f (t) H t och f ( t) i H^ (R) Ψ( R) t = =E f (t) Ψ (R)

9 Schrödingers Tidsoberoende Ekvation H^ ( R) Ψ(R) Slutligen =E ger Ψ (R) ^ (R) Ψ (R)=E Ψ(R) H den tidsoberoende Schrödinger ekvationen. För en potential som är tidsoberoende och där vågfunktionen går att faktorisera, i en tids- och en rums-beroende funktion, är vågfunktionen en egenfunktion till Hamilton-operatorn med ett egenvärde som är energin för vågfunktionen.

10 Är där någon rim och reson med detta? Låt oss titta på ett enkelt exempel, de Broglies relation för en fri partikel i linjär rörelse. h en fri partikels (V =0) rörelsemoment är ( enligt db) p= λ ger att Schrödingers tidsoberoende ekvation är d Ψ =E Ψ med lösningen Ψ (x )=cos( kx )=cos ( π x / λ) m d x k m p där k = E, eller också E= = m m π h h p=k =[k = π/ λ ]= λ =λ π

11 Är där någon rim och reson med detta? Beräkningar med Schrödingers ekvationer och den efterföljande Dirac ekvationen har till dags datum inte falsifierats av ett enda experiment! Teorin har idag inkorporerats i kvantfältsteorin (Quantum Field Theory, QFT).

12 Den tidsberoende faktorn, f(t) Vi hade att f (t) i = E f (t) vilket ger att f (t)=e t ie t och slutligen, för ett bundet tillstånd i en tidoberoende potential Ψ(R, t)=e ie t Et Et Ψ (R)=(cos ( ) isin ( )) Ψ ( R)

13 Vågfunktionen Vågfunktionen för ett stationärt (bundet)system och V =konst är Et Et Ψ (R, t)=(cos ( ) isin ( ))Ψ (R) Ψ (R) kallas för vågfunktions( sannolikhets)amplituden Et Et (cos ( ) i sin( )) bestriver hur vågfuntionens amplitud roterar i det komplexa rummet.

14 Klassiska stående vågor

15 Kvantmekaniska stående vågor Hopprep är en bra liknelse. Ψ(R, t)=e ie t Et Et Ψ ( R)=(cos ( ) isin ( ))Ψ (R)

16 Schrödingers Tidsberoende och Tidsoberoende Ekvationer Ψ ( R, t ) ^ i = H (R, t )Ψ (R, t) t ^ (R)Ψ (R)=E Ψ (R) H den första ger tidsutvecklingen av en vågfunktion den andra ger lösningar som är egenfunktioner till Hamilton- operatorn.

17 Born tolkning av vågfunktionen Om en vågfunktion för ett objekt har värdet Ψ(x) vid någon position x, då är sannolikheten att finna objektet mellan x och x+dx proportionellt mot Ψ dx. Ψ är vågfunktionstätheten ( sannolikhetstätheten).

18 Borns tolkning av vågfunktionen

19 Borns tolkning av vågfunktionen ^ ( Ψ)=E( Ψ) ger H ^ Ψ= E Ψ är lika med H ^ Ψ=E Ψ H fasfaktorn spelar ingen roll

20 Normalisering Vågfunktionen är bestämd av Schrödingers tidsoberoende ekvation så när som på en godtycklig konstant. ^ (N Ψ)=E(N Ψ) ger N H ^ Ψ=N E Ψ är lika med H ^ Ψ=E Ψ H Vi låter denna konstant, N, väljas (så när som på fasfaktorn) så att N V Ψ Ψ d τ=1 Fortsättningsvis utgår vi ifrån att vågfunktionen är normaliserad, om inte annat sägs.

21 Normalisering N V Ψ( τ) Ψ ( τ)d τ=1 är ett kompakt sätt att uttrycka normaliseringen av vågfunktionen. Från detta följer 1/ N=1/( V Ψ ( τ) Ψ (τ )d τ ) För normaliserade vågfunktioner följer 1D: Ψ (x ) Ψ (x)dx =1 3 D(cartesiska koordinater, r=(x, y, z )): Ψ (r ) Ψ (r)dxdydz=1 3 D (sfäriskt polära koordinater, r =(r, θ, ϕ)): π π Ψ (r ) Ψ (r )r sin (θ) dr d θ d ϕ=1

22 Begränsningar på vågfunktionen Får inte vara oändlig över ett icke-finit område (normaliserbar) Får bara ha ett värde i varje punkt (Borns tolkning) Måste vara kontinuerlig (kinetiska energi operatorn) Måste ha en kontinuerlig lutning (kinetiska energi operatorn) Dessa begränsningar leder, generellt till, att energin för vågfunktionen är kvantiserad!

23

24 Sannolikstätheten, ett exempel Låt oss studera sannolikhetstätheten för en fri partikel, som rör sig längs x - axeln i en konstant potential (V ( x )=0) Schrödinger tidsoberoende ekvationen är då d Ψ (x) =E Ψ( x) m d x (ikx) med ansatsen Ψ (x )= A e ( ikx ) +B e får vi (ikx) ( ikx) ( A (ik) e + B( ik ) e )= m k (ikx ) ( ikx) ( A e +B e )=E Ψ(x ) m

25 Sannolikstätheten, ett exempel Exempel 1: B=0 (propagerande våg) (ikx) Ψ( x)= A e = A (cos (kx )+i sin( kx)) Vad är sannolikhetstätheten? Notera jag undrar inte var partikeln är! * * ( ikx) (ikx) A e )= A Ψ ( x ) =Ψ (x ) Ψ (x )=( A e Sannolikhetstätheten är konstant! Exempel : A=B (stående våg) ikx ikx Ψ ( x)= A(e + e )= A cos (kx ) Ψ( x) =4 A cos ( kx)

26

27 Sannolikhetstäthet i ett område Sannolikhetstätheten, P, för ett område beräknas genom att, viintegerar sannolikhetstätheten, Ψ över det området som vi är intresserade av x P= x Ψ( x) dx 1

28 Sammanfattning Schrödingers tidberoende ekvation Schrödingers tidoberoende ekvation Borns tolkning av vågfunktionen sannolikhetsamplitud och sannolikhetstäthet Normalisering av vågfunktionen Begränsningar på vågfunktionen Kvantisering av energin Beräkning av sannolikhetstätheten