s 1 och s 2 är icke kvantmekaniska partiklar? e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln = /2?

Transkript

1 FK003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 7e mars 018, kl 17:00 - :00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du klarar bäst! Förklara tydligt ditt resonemang och ge rätt enhet när det behövs. Hela tentan omfattar 7 frågor. Frågor 1 och 4 ger 5 poäng, de övriga 6 poäng (max 40 poäng). Betygsgänser: F apple 18, Fx: 18.5, E: 0, D: 4, C: 8, B: 3, A: 36. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare (ej grafisk) och bifogat formelsamling. Lycka till! Eddy Ardonne 1. Korta frågor. a. (1p) Ge ett exempel på en partikel som är en boson samt ett exempel på en partikel som är en fermion. b. (1p) Varför kräver man att en vågfunktion är normerad? c. (1p) Vad är ett snärjt (eller sammanflätat) tillstånd? d. (p) Vi har en oändlig potentialgrop, d.v.s. V (x) =0för 0 <x<loch V (x) =1 annars. Skissa kvalitativt vågfunktionerna av de två bundna tillstånden med lägst och näst lägst energi. Vad är kvoten av de här energierna?. Vi gör ett dubbelspaltexperiment med elektroner, som skickas från en källa s till en första vägg med två spalter 1 och. Det finns ytterligare en vägg med två spalter a och b. Till sist detekteras elektronerna på en skärm där x betecknar positionen där elektronen trä ar skärmen. s 1 b a a. (p) Vad är sannolikheten att en elektron som skickas från källan detekteras i x? Använd Diracnotation, d.v.s. amplituden att en elektron från källan åker genom spalt 1 är h1 si, osv. b. (p) Nu stänger vi hål, och placerar en lampa samt detektorer vid spalterna a och b. Lampans ljus har en våglängd som är mycket längre än avståndet mellan spalterna a och b. Vad blir sannolikheten att en elektron detekteras i x? c. (p) Nu ändrar vi successivt våglängden av ljuset i uppgift b. så att den blir kortare och kortare. Beskriv vad som händer. 3. Vi skickar spinn s =1partiklargenomtreStern-Gerlachapparater,somär orienterade i tre olika riktningar, S, T och R. Den första apparaten släpper genom partiklar i tillståndet Si. Den andra apparaten släpper genom partiklar i tillstånden 0T i och + T i. Den tredje apparaten släpper genom partiklar i tillståndet Ri. a. (p) Beskriv apparaterna i Feynmans notation, och ge amplituden för händelsen att en partikel som har kommit genom den första apparaten kommer ut ur den tredje. b. (p) Besvara samma fråga som i a. med skillnaden att den andra apparaten släpper genom alla partiklar. Motivera ditt svar! c. (p) Besvara samma fråga som i a., men nu med skillnaden att den andra apparaten är i samma riktning som den första (så nu släpper den genom partiklar i tillstånden 0Si och + Si). x

2 4. Två partiklar som skickas från källor s 1 och s sprids mot varandra. Amplituden att spridningen sker med vinkel är f( ). Vid vinkel finns en detektor, som registrerar partiklar (oberoende av vilken typ av partiklar det handlar om), se figuren. s1 detektor θ s a. (1p) Rita de möjliga processerna där en partikel hamnar i detektorn vid vinkel. b. (1p) Vad är sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna från s 1 och s är identiska fermioner? c. (1p) Vad är sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna från s 1 och s är samma typ av bosoner, men med olika s z värden? d. (1p) Vad är sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna från s 1 och s är icke kvantmekaniska partiklar? e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln = /? 5. Vi har en stor uppsättning s = 1 partiklar, som alla är i tillståndet som beskrivs (i s z basen) av i = A( p i i). A är en positiv, reell konstant och en mätning av s z ger för tillståndet +i värdet s z =+~/, och för i värdet s z = ~/. a. (p) Bestäm A, så att tillståndet i är normerat. b. (p) Bestäm medelvärdet av s z (d.v.s. hs z i)för de här partiklarna. c. (p) Beräkna sannolikheten att en partikel i tillstånd q i kommer genom en Stern- Gerlach apparat som släpper genom i = p 1 3 +i + i i Vi betraktar en NH 3 molekyl, och gör tre stycken mätningar på den, direkt efter varandra (så det är ingen tidsutveckling mellan mätningarna). I den första mätningen, mäter vi positionen av kväveatomen, och får att den är nere, eller i. I den andra mätningen, mäter vi kväveatomens energi, och får resultatet E = E II = E 0 A. I den tredje mätningen mäter vi igen positionen av kväveatomen. a. (3p) Vad kan vi säga om resultatet av den tredje mätningen? b. (3p) Förklara om molekylen befinner sig i ett stationärt tillstånd eller ej efter den tredje mätningen. 7. Vi betraktar en partikel med massa m i en kvadratsik potential V (x) = m! x, med! en konstant. Partikeln beskrivs av den tidsoberoende vågfunktionen (x) =A 0 e m!x /(~), med A 0 en normeringskonstant, som inte ska beräknas. a. (3p) Visa att (x) uppfyllerdentidsoberoendeschrödingerekvationen och bestäm den motsvarande energin E. b. (p) För den här potentialen ges de möjliga energierna av E n =(n + 1 )~!, med n =0, 1,,... De tidsoberoende vågfunktionerna för tillstånden ni skrivs som n (x). Vad blir den tidsberoende vågfunktionen (x, t) för en partikel som vid t = 0 befinner sig i tillståndet i = p 1 1 1i p 3i? Gedittsvaritermeravenellerflera n (x). c. (1p). Är tillståndet i uppgift b ett stationärt tillstånd? Förklara ditt svar.

3 Partiklar vågor E = h! p = hk x p x h/ Kvantformalism hi ji = ij Liten Formelsamling! = k = i = X iihi i = X i i X c i =1 i h i = h i X iihi =1(eller ) i c i ii h A i = X h iihi A jihj i i,j Spinn 1/ +i z = 1 p ( +i x + i x ) i z = 1 p ( +i x + i x ) där +i z betecknar spinn upp tillståndet m a p z-axeln, etc. Tidsutveckling i h dc i(t) dt = X j H ij c j (t) Specialfall: Två bastillstånd, H 11 = H = E 0 och H 1 = H 1 = i t = c 1 (t) 1i + c (t) i A c 1 (t) = a e ī h (E 0 A)t + b e ī h (E 0+A)t c (t) = a e ī h (E 0 A)t b e ī h (E 0+A)t Energitillstånden: Ii = p 1 ( 1i i ) energi E 0 + A IIi = 1 p ( 1i + i ) energi E 0 A

4 Vågfunktionen och Schrödingerekvationen i = Z 1 1 xihx idx (x, t) =hx i Z 1 (x, t) dx =1 " 1 h d # m dx + V (x) d (x, t) (x, t) =i h dt E(x, t) =e ī h Et (x) " h d # m dx + V (x) (x) =E (x) Oändlig potentialgrop ( 0 för 0 apple x apple L V (x) = 1 annars s n x n(x) = L sin L E n = h n ml Några naturkonstanter h = h =1, Js, m elektron =9, kg m proton =1, kg m neutron =1, kg e =1, C Trigonometriska funktioner sin( + )=sin cos +cos sin sin( )=sin cos cos sin cos( + )=cos cos sin sin cos( )=cos cos +sin sin cos ( ) = 1(1+cos( )), sin ( ) = 1 (1 cos( ))

5

6

7

8

9

10