Formelsamling, Kvantmekanik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Formelsamling, Kvantmekanik"

Transkript

1 Formesaming Kvantmekanik Matematik Linjär operator:  är injär om Â[aψ (x+bψ (x] = aâψ (x+bâψ (x för aa kompexa ta a b och aa kompexvärda tiståndsfunktioner ψ (x ψ (x Kommutator: [ ˆB] =  ˆB ˆB där  och ˆB är injära operatorer Kompext ta: z = x + iy; poärform z = re iθ där r = x + y och tan θ = y/x Kompexkonjugering: z = x iy Absoutvärde: z = zz = r Användbara trigonometriska former: sin x = ( cos x cos x = ( + cos x sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x cos x = eix + e ix sin x = eix e ix i Användbara integraer: x cos(bxdx = cos(bx 0 b x cos(bxdx = x b cos(bx + x n e ax dx = Γ[n + ] x n e ax dx = a n+ Γ[n + ] a n+ + x sin(bx b ( x b b sin(bx där Γ[z + ] = zγ[z] för z > 0 Γ[] = och Γ[ ] = π a b > 0 och n = 0 Tayorutvecking: B A x e ax dx = [e ax ( x a x a + a ]B A V (x = V (x 0 + V (x 0 (x x 0 + V (x 0 (x x 0 +

2 Fundamentaa aspekter Tistånd: kompexvärd funktion ψ(x Sannoikhetstokningen (D Sannoikhetstätheten ψ(x ; sannoikheten att finna systemet på intervaet [x 0 x ] P (x 0 x x ψ(x = x Medevärdet av observaben A ges av förväntansvärdet: x 0 x  = ψ (xâψ(xdx x 0 ψ(x dx där operatorn  representerar A Ett spridningsmått är dispersionen: A =   Heisenbergs osäkerhetsreation: A B [ ˆB] Speciet: x p x I tre dimensioner byt x och dx mot kartesiska koordinater (x y z och voymseementet dxdydz eer sfäriskt poära koordinater (r θ ϕ och voymseementet r dr sin θdθdϕ Positionsoperatorn i en-dim: ˆx = x Röresemängdsoperatorn: ˆp = i d/dx där = h/(π = Js Positionsoperatorn i -dim: ˆr = r Röresemängdsoperatorn i -dim: ˆp = i där = ( x y z = h/(π = Js Dynamik Tidsberoende Schrödingerekvationen: där i ψ(x t = Ĥψ(x t t Ĥ = m x + V (x är Hamitonoperatorn (också benämnd Hamitonianen Tidsoberoende Schrödingerekvationen: Ĥφ(x = Eφ(x där φ(x är energiegenfunktion och E energiegenvärde

3 I tre dimensioner byt x och / x mot kartesiska koordinater (x y z och Lapaceoperatorn = / x + / y + / z eer sfäriskt poära koordinater (r θ ϕ och Lapaceoperatorn = ( r r r r ˆL r ( r r r ˆL r där ˆL är kvadraten på impusmomentoperatorn (se under separat rubrik nedan Fotonreationer E = hc/λ λν = c E är fotonenergin c = 0 8 m/s är jushastigheten i vakuum λ är fotonens vågängd ν är fotonens frekvens h = Js Användbar omvandingsfaktor: ev = J Partike i åda Potentia: Energier: { 0 0 x a V (x = + för övrigt E n = n π n = ma Normaiserade energiegenfunktioner: { φ n (x = a sin ( nπx a 0 x a 0 för övrigt Harmonisk osciator Potentia: V (x = mω x där m är osciatorns massa och ω dess vinkefrekvens Längdskaa: Energier: E n = /α = mω ( n + ω n = 0

4 Energiegenfunktioner: Normeringskonstanter: φ n (x = A n H n (αxe α x α A n = π n n! Några Hermitepoynom: H 0 (αx = H (αx = αx H (αx = 4(αx H (αx = 8(αx αx H 4 (αx = 6(αx 4 48(αx + Impusmoment Kommutatorer: [ˆL x ˆL y ] = i ˆL z ; [ˆL y ˆL z ] = i ˆL x ; [ˆL z ˆL x ] = i ˆL y ; [ˆL x ˆL ] = [ˆL y ˆL ] = [ˆL z ˆL ] = 0 Sfäriskt poära koordinater: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ och z = r cos θ Banimpusmoment: L = r p = i r Egenvärdesprobemet för ˆL z och ˆL : ˆL z Y m (θ ϕ = m Y m (θ ϕ ˆL Y m (θ ϕ = ( + Y m (θ ϕ där = 0 och m = + Kotytefunktioner (eng: spherica harmonics: Y m (θ ϕ = N m e imϕ P m (cos θ där P m är associerade Legendrefunktioner Normeringskonstanter: N m = ( + ( m! 4π( + m! Några normerade kotytefunktioner: Y 00 (θ ϕ = 4π Y 0 (θ ϕ = 4π cos θ = z 4π r Y ± (θ ϕ = 8π sin x ± iy θe±iϕ = 8π r 5 ( Y 0 (θ ϕ = cos θ 5 = ( z 6π 6π r 5 5 Y ± (θ ϕ = 8π cos θ sin (x ± iyz θe±iϕ = 8π r ( 5 5 x Y ± (θ ϕ = π sin θe ±iϕ = π r y r ± ixy r 4

5 Eektronspinn: Kommutatorer: [Ŝx Ŝy] = i Ŝz; [Ŝy Ŝz] = i Ŝx; [Ŝz Ŝx] = i Ŝy; [Ŝx Ŝ ] = [Ŝy Ŝ ] = [Ŝz Ŝ ] = 0 Egenvärdesprobemet för Ŝz och Ŝ : Väteika atomer Potentia: Ŝ z α = α Ŝ β = 4 β Ŝ z β = β Ŝ α = 4 α V (r = Ze 4πɛ 0 r där Z är kärnaddningstaet e = C (eementaraddningen ɛ 0 = C/(Vm (eektriska konstanten och r är eektron-kärnavståndet Hamitonoperator för en väteik atom i sfäriskt poära koordinater ( µ r r r + ˆL µr + V (r Reducerade massan: µ = m em p m e + m p Längdskaa: = 4πɛ 0 m e e = 05Å (Bohrs radie a µ = 4πɛ 0 µe Atomära enheter m e = e = 4πɛ 0 = = = Energi i atomära enheter: au (energi Hartree = Rydberg = 7 ev Energinivåer: E n = Z µe 4 8h ɛ 0 Energiegenfunktioner: n Z e 6 = Z 8πɛ 0 n n ev = Z au n = n φ nm (r θ ϕ = N n e ρ/ ρ L + n (ρy m (θ ϕ = R n (ρy m (θ ϕ där ρ = r/(n Normeringskonstanter: N n = 4(n! n 4 [(n +!] a 0 5

6 Några radiea vågfunktioner: R 0 (ρ = / e ρ/ ρ = Zr R 0 (ρ = 8 / ( ρe ρ/ R (ρ = R 0 (ρ = R (ρ = R (ρ = 4 / ρe ρ/ ρ = Zr ρ = Zr 4 / ( 6 6ρ + ρ e ρ/ 486 / (4 ρ ρe ρ/ 40 / ρ e ρ/ ρ = Zr ρ = Zr ρ = Zr Atomorbitaer: ns = R n0 Y 00 np x = R n (Y + Y np y = ir n (Y Y np z = R n Y 0 nd z = R n Y 0 nd xy = ir n (Y Y nd xz = R n (Y + Y nd yz = ir n (Y Y nd x y = R n (Y + Y Approximationsmetoder Energikorrektionen i första ordningens störningsteori: E ( n = + φ n(x ˆV φ n (xdx där ˆV är en störning ti den exakt ösbara Schrödingerekvationen svarande mot Hamitonianen Ĥ0 och Ĥ0φ n (x = E (0 n φ n (x Energin ti Hamitonianen Ĥ0 + ˆV : E n = E (0 n + E ( n + Variationsmetoden: Minimering av + E(λ = ψ λ (xĥψ λ(xdx + ψ λ (xψ λ(xdx map variationsparameter λ ger en övre begränsning ti grundtiståndsenergin svarande mot Hamitonianen Ĥ 6

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp

Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.

Läs mer

Kvantmekanik II - Föreläsning 10

Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Degenererad störningsteori (tidsoberoende) Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 10 Joakim Edsjö 1/26 Degenererad störningsteori Innehåll 1 Allmänt

Läs mer

2.4. Bohrs modell för väteatomen

2.4. Bohrs modell för väteatomen 2.4. Bohrs modell för väteatomen [Understanding Physics: 19.4-19.7] Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan

Läs mer

Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3

Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!

Läs mer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

F3: Schrödingers ekvationer

F3: Schrödingers ekvationer F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så

Läs mer

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!

1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter! KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel

Läs mer

UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter hur svåra de är.

UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter hur svåra de är. GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för Fysik och teknisk fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FYP34 TILLÄMPAD FOURIERANALYS Tid: Lördag 9 apri 8, k 8 3 3 3 Pats: V Ansvarig ärare: Uf Torkesson, te. 3-77 336

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012 Räkneövning 9 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK00 9 januari 0 Problem 4.3 En elektron i vila accelereras av en potentialskillnad U = 0 V. Vad blir dess de Broglie-våglängd? Elektronen tillförs den kinetiska

Läs mer

3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron

3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron 3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron [Understanding Physics: 19.5-19.8] Bohrs teori lyckas väl förklara energinivåerna för en atom med en elektron, och således också spektrallinjerna,

Läs mer

Kvantmekanik II - Föreläsning 7

Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44 Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar

Läs mer

19.4 Bohrs modell för väteatomen.

19.4 Bohrs modell för väteatomen. Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 42 9.4 Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så

Läs mer

TENTAMEN I FYSIKALISK KEMI KURS: KEM040 Institutionen för kemi Göteborgs Universitet Datum: LÄS DETTA FÖRST!

TENTAMEN I FYSIKALISK KEMI KURS: KEM040 Institutionen för kemi Göteborgs Universitet Datum: LÄS DETTA FÖRST! TENTAMEN I FYSIKALISK KEMI KURS: KEM040 Institutionen för kemi Del: QSM Göteborgs Universitet Datum: 111206 Tid: 8.30 14.30 Ansvariga: Gunnar Nyman tel: 786 9035 Jens Poulsen tel: 786 9089 Magnus Gustafsson

Läs mer

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella

4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.

Läs mer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.

Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik. Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!

Läs mer

Kvantkemi. - M. W. Hanna, Quantum Mechanics in Chemistry, Benjamin, Menlo Park, CA, 1969.

Kvantkemi. - M. W. Hanna, Quantum Mechanics in Chemistry, Benjamin, Menlo Park, CA, 1969. III. Kvantkemi Kvantkemi III-1 Källor: - M. W. Hanna, Quantum Mechanics in Chemistry, Benjamin, Menlo Park, CA, 1969. - M. Karplus och R. N. Porter, Atoms & Molecules. An Introduction for Students in Physical

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Torsdag 1 november 2012, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7

Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012,

Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012, Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012, 9.00-14.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum

Läs mer

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) = 1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Milstolpar i tidig kvantmekanik

Milstolpar i tidig kvantmekanik Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Några utvalda lösningar till. Kvantvärldens fenomen. -teori och begrepp. Del 2: Formalism och runda system. Magnus Ögren

Några utvalda lösningar till. Kvantvärldens fenomen. -teori och begrepp. Del 2: Formalism och runda system. Magnus Ögren Några utvalda lösningar till Kvantvärldens fenomen -teori och begrepp Del : Formalism och runda system Magnus Ögren Här följer ett urval av lösningar till några problem från del av boken Kvantvärldens

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2

Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2 MATEMATISKA VETENSKAPER Datum: 24-3-4 Chamers Skrivtid: 8.3-3.3 Teefon: Matteo Moteni 73-8834 Tentamen i Fourieranays MVE3 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE29 för TM2 Hjäpmede: Godkänd räknedosa, BETA

Läs mer

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare 2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att Er) = ρr) ε 0 2.1) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger

Läs mer

Svar till Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). med V=0 ges lösningen av (efter lite räknande) ψ n (x) = 2

Svar till Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). med V=0 ges lösningen av (efter lite räknande) ψ n (x) = 2 UEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Hans Weber, Tillämpad fysik, 14 Svar till Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF57). 1. a) S.E. : h m x ψ + V (x)ψ = Eψ lösningen utanför V= är ψ =, i området med

Läs mer

Väteatomen. Matti Hotokka

Väteatomen. Matti Hotokka Väteatomen Matti Hotokka Väteatomen Atom nummer 1 i det periodiska systemet Därför har den En proton En elektron Isotoper är möjliga Protium har en proton i atomkärnan Deuterium har en proton och en neutron

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik

Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik Formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik Elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Februari FORMELSAMLING I KRETSTEORI, ELLÄRA OCH ELEKTRONIK Kretsteori Komplexvärden Realdelskonvention:

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00

FK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 FK2003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 21 december 2016, kl 17:00-22:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 016-10-17 kl. 08.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn

2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn 2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn [Understanding Physics: 13.16-13.17] Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och fjäderkonstanten (kraftkonstanten)

Läs mer

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget

Läs mer

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

21 Flödesintegraler och Gauss sats

21 Flödesintegraler och Gauss sats Nr 2, maj -5, Amelia 2 2 Flödesintegraler och Gauss sats 2. DivergensochGausssats 2.. Flöden genom slutna ytor I detta avsnitt beräknar vi flödesintgraler på slutna ytor. Låt oss tänka oss en vind, som

Läs mer

3. Analytiska funktioner.

3. Analytiska funktioner. 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-I

Mat Grundkurs i matematik 3-I Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)

Läs mer

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

Några utvalda lösningar till. Kvantvärldens fenomen. -teori och begrepp. Del 1: Partiklar och vågor. Magnus Ögren

Några utvalda lösningar till. Kvantvärldens fenomen. -teori och begrepp. Del 1: Partiklar och vågor. Magnus Ögren Några utvalda lösningar till vantvärldens fenomen -teori och begrepp Del : Partiklar och vågor Magnus Ögren Här följer ett urval av lösningar till några problem från del av boken vantvärldens fenomen -

Läs mer

Parbildning. Om fotonens energi är mer än dubbelt så stor som elektronens vileoenergi (m e. c 2 ):

Parbildning. Om fotonens energi är mer än dubbelt så stor som elektronens vileoenergi (m e. c 2 ): Parbildning Vi ar studerat två sätt med vilket elektromagnetisk strålning kan växelverka med materia. För ögre energier ar vi även en tredje: Parbildning E mc Innebär att omvandling mellan energi oc massa

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

P L P N P L P N L π(p) Kartprojektioner Ett bonusproblem: longitudproblemet Lätt att på öppet hav bestämma latitud (nord-sydlig position). Lösning: mät solens höjd över horisonten med sextant. Tabell

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012 Räkneövning 8 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 9 januari 2012 Problem 40.1 Vad är våglängden för emissionsmaximum λ max, hos en svartkropps-strålare med temperatur a) T 3 K (typ kosmiska mikrovågsbakgrunden)

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Föreläsning 2. Att uppbygga en bild av atomen. Rutherfords experiment. Linjespektra och Bohrs modell. Vågpartikel-dualism. Korrespondensprincipen

Föreläsning 2. Att uppbygga en bild av atomen. Rutherfords experiment. Linjespektra och Bohrs modell. Vågpartikel-dualism. Korrespondensprincipen Föreläsning Att uppbygga en bild av atomen Rutherfords experiment Linjespektra och Bohrs modell Vågpartikel-dualism Korrespondensprincipen Fyu0- Kvantfysik Atomens struktur Atomen hade ingen elektrisk

Läs mer

Vågrörelselära och optik

Vågrörelselära och optik Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Materiens Struktur Räkneövning 4 Lösningar 1. Sök på internet efter information om det senast upptäckta grundämnet. Vilket masstal och ordningsnummer har det och vilka är de angivna egenskaperna? Hur har

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström

Andra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den

Läs mer

1 Speciell relativitetsteori

1 Speciell relativitetsteori TFFY17 Modern fysik Y: Lektion 1 1 1 Speciell relativitetsteori 1.1 Einsteins postulat 1. Fysikens lagar är desamma i alla inertialramar. 2. Ljusets hastighet är densamma (c 3 10 8 m/s) i alla inertialramar.

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare 2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att E(r) = ρ(r) ε 0 (2.1) E(r) = ϕ(r) (2.2) Detta

Läs mer

10. Kretsar med långsamt varierande ström

10. Kretsar med långsamt varierande ström 1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Repetition Mekanik, grundkurs

Repetition Mekanik, grundkurs Repetition Mekanik, grundkurs Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt F= Fe + F e + Fe x x y y z z Kraften kan flytta längs sin verkninglinje Addera krafter Moment i planet

Läs mer

1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen

1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen 1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen [Understanding Physics: 13.12-13.14] Den tidsberoende Schrödinger ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering

Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner En orientering Nikodemus Karlsson Februari 00 . Bohrs Postulat Niels Bohr (885-96) ställde utifrån iakttagelser upp fyra postulat gällande väteatomen ¹:. Elektronen

Läs mer

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk

Läs mer

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i. KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer

Läs mer

TFEI02/TEN1: Va gfysik teori och tilla mpningar. Tentamen Va gfysik. O vningstenta 2014

TFEI02/TEN1: Va gfysik teori och tilla mpningar. Tentamen Va gfysik. O vningstenta 2014 Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFEI02/TEN1: Va gfysik teori och tilla mpningar Tentamen Va gfysik O vningstenta 2014 Tentamen besta r av 6 uppgifter som

Läs mer

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner Bevarandelagar i reaktioner MP 13-3 Elementarpartiklarnas periodiska system Standard Modellen och kraftförening MP 13-4 Vad härnäst? MP 13-5

Läs mer

Exempelsamling i kvantummekanik. Tommy Ohlsson

Exempelsamling i kvantummekanik. Tommy Ohlsson Exempelsamling i kvantummekanik Tommy Ohlsson Institutionen för teoretisk fysik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm 999 Typsatt i L A TEX Sammanställd av Tommy Ohlsson, 998-999 c Teoretisk Fysik, KTH,

Läs mer

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner

Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner Föreläsning 8 Elementarpartiklar, bara kvarkar och leptoner Bevarandelagar i reaktioner MP 13-3 Elementarpartiklarnas periodiska system Standard Modellen och kraftförening MP 13-4 Vad härnäst? MP 13-5

Läs mer

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven

Läs mer

c = λ ν Vågrörelse Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Kvantmekanik 1.1 Elektromagnetisk strålning

c = λ ν Vågrörelse Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Kvantmekanik 1.1 Elektromagnetisk strålning Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Modern teori för atomer/molekyler kan förklara atomers/molekylers egenskaper: Kvantmekanik I detta och nästa kapitel: atomers egenskaper och periodiska

Läs mer

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten

Läs mer