Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F Tid: kl (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift anges poängantal. För godkänt krävs minst 15 poäng. Logiskt uppställda, renskrivna och väl motiverade lösningar med tydligt markerade svar krävs. 1. Ett kvantmekaniskt endimensionellt system beskrivs av vågfunktionen x < φ (x = Cx (x a x a. x > a Bestäm normeringskonstanten C och beräkna förväntningsvärdet av operatorerna x och p x. (6p Lösning: Normering ger 1 = C ( x 4 + a x ax 3 ( dx = C 1 a C = 3 a 5. Förväntningsvärdet av x bör ligga vid a/ då φ (x är symmetrisk där, en uträkning bekräftar detta φ x φ = C ( x 5 + a x 3 ax 4 dx = 3 a 5 a6 ( = a 5. Operatorn p x uttrycks enligt p x = i x, så att p xφ = i x [Cx (x a] = i (Cx Ca. Vi får då φ p x φ = i C x (x a (x a dx = i C ( x 3 3ax + a x ( dx = i C 1 a =. 1

2 . Betrakta en partikel med massan m i en oändligt djup kvantbrunn med bredden a. Egenfunktioner och egenenergier ges då av φ k = a sin ( kπx a, E k = π ma k, k = 1,, 3,.... En störning V 1 i mitten av brunnen modelleras med en deltafunktion enligt V 1 (x = ɛaδ (x a/ a Visa att energin för grundtillståndet i första ordningens störningsräkning blir E 1 = E1 + E 1 = π ma + ɛ (du behöver inte härleda själva formalismen utan bara i detalj redovisa beräkningen av E 1. (p b Visa att första ordningens störningsräkning inte ger något energibidrag E k för ostörda tillstånd av jämn ordning (dvs k =, 4, 6,... vilka har udda paritet. (p c Då vi enligt b inte får något bidrag från störningen för det första exciterade tillståndet måste vi inkludera åtminstone det andra exciterade tillståndet i en ändlig underrumsutveckling för att få en bättre approximation till grundtillståndet än den som ges av första ordningens störningsräkning i a. Vad blir således det störda grundtillståndet i den underrumsrepresentation av Hamiltonoperatorn som beskrivs av följande 3 3-matris? (p H = E 1 + ɛ ɛ E ɛ E 3 + ɛ Lösning a: Vi får (precis som i kap. 6 i läroboken E 1 = φ 1 V 1 φ 1 = a ɛa ( sin πx ( δ (x a/ dx = ɛ sin π = ɛ. a Lösning b: För tillstånd med n = k gäller E n = a ɛa ( sin nπx δ (x a/ dx = ɛ sin (kπ =. a Lösning c: De tre egenvärdena till H approximerar de tre lägsta energierna för det störda systemet. Ur sekularekvationen det (H λi = ser man direkt att λ = E (d.v.s. inte heller nu ändras energin för k = tillståndet. De två kvarvarande energierna uppfyller andragradsekvationen λ (E 1 + E 3 + 4ɛ λ + E 1 E 3 + ɛ (E 1 + E 3 =.

3 Efter förenklingar inses att det störda grundtillståndet då approximeras av λ 1 = E 1 + E 3 + ɛ 1 (E 1 E ɛ. Figuren nedan visar att skillnaden är liten mellan λ 1 (heldragen och första ordningens störningsräkning (streckad i detta exempel (enheter där = m = a = 1 har använts. Grundtillståndets energi ε 3. Vid en given tidpunkt beskrivs tillståndet för en partikel i ett experiment i sfäriska koordinater av vågfunktionen Ψ = 8 r e r a sin (θ sin (ϕ. πa 3 a a Skriv om Ψ på formen 'radiell funktion' gånger 'klotytefunktioner' [d.v.s. Ψ = f (r l,m Y l m ]. (p Lösning: Vi har sin (ϕ = exp(iϕ exp( iϕ i så att vi m.h.a. formelsamlingen kan identiera klotytefunktionerna svarande mot l = 1 och m = ±1, d.v.s. Ψ = f (r ( Y1 1 + Y1 1. (Observera att en faktor exp (iα, α R inte förändrar ett tillstånd. b Vilka möjliga mätvärden kan erhållas vid experimentet då man mäter de fysikaliska storheter som i kvantmekaniken representeras av operatorerna L och L z? (p Lösning: De enda möjliga mätvärdena är egenvärdena tillhörande de ingående klotyte(egen-funktionerna d.v.s. 1 (1 + 1 = respektive ±1 = ±. c Vad är motsvarande sannolikheter? (p Lösning: Då endast ett egenvärde (svarande mot kvanttalet l = 1 är möjligt 3

4 för L operator är sannolikheten ett. För L z operatorn är sannolikheten 5% för och 5% för eftersom motsvarande två tillstånd ( har lika stora absolutkvadratvärde av deras koecienter d.v.s. Ψ i }{{} exp( i π 1 exp (iϕ 1 exp ( iϕ. 4. Potentialen nedan är en bra (medelfälts- modell för en tung atomkärna med sfärisk symmetri. För ett visst (bundet tillstånd φ Nr,l=,m (N r betecknar här antalet radiella noder gäller att det s.k. root mean square avståndet φ Nr,l=,m r φ Nr,l=,m är lika med R (se guren ovan. a Är root mean square avståndet för tillståndet φ Nr,l=1,m (d.v.s. φnr,l=1,m r φ Nr,l=1,m större eller mindre än R? (p Ledning: Inga uträkningar behöver göras! b Hur många/vilka m-tillstånd nns det för φ Nr,l=1,m? (p c Hur beror energin φ Nr,l=1,m Ĥ φ Nr,l=1,m för just detta sfäriska system på m-kvanttalet? (p Lösning: a Den eektiva potentialen är V effektiv (r = l(l+1 mr +V (r där den första termen i V effektiv är noll för φ Nr,l=,m. För φ Nr,l=1,m har vi ett positivt bidrag som är större för små värden på r, vilket leder till att vågfunktionen 'trycks ut' så att φ Nr,l=1,m r φ Nr,l=1,m > R. Lösning: b Det gäller att m = l, l+1,...,, 1, l 1, l, så att φ Nr,l=1,m innefattar tre tillstånd m = 1,, 1. Lösning: c Det gäller för alla sfäriskt symmetriska system V (r = V (r att energierna är oberoende av m-kvanttalet dvs E = E Nr,l. 4

5 5. Det visas i avsnittet om variationsmetoden i läroboken att en Gaussisk vågfunktion ϕ = ( α 1/4 ( π exp αx med α = mω minimerar energin för den harmoniska oscillator (HO- potentialen V = 1 mω x (för denna potential råder t.o.m. likhet med grundtillståndet!. Den totala energin bestod då av en kinetisk och en potentiell del E tot = E kin + E pot = m α mω 1 α = ω. Under 199-talet har man i era laboratorier i världen lyckats framställa s.k. Bose-Einstein-kondensat (BEC. Som en första approximation för att beskriva vågfunktionen för ett BEC med N st atomer fångade i en HO-potential kan man använda den s.k. Gross-Pitaevskiiekvationen (GPE (som påminner om den mera bekanta Schrödingerekvationen m x Ψ + gn Ψ Ψ + V HO Ψ = µψ. Den totala energin (per partikel får då istället tre termer E tot = E kin + gn Ψ 4 dx + E pot, där den mittersta termen modellerar energin p.g.a. växelverkan mellan atomerna. a Ställ upp den ekvation i parametern α som behöver lösas för att minimera energin för kondensatet om Ψ = ( α 1/4 ( π exp αx används som variationsvågfunktion. (p b Vad blir energin (per partikel om atomerna inte växelverkar alls d.v.s. då g =? (p c Ekvationen som ställdes upp i a kan vara svår att lösa. Låt oss därför anta att inverkan från växelverkan är så svag att vi kan använda resultatet α = mω. Vad blir energin (per partikel för kondensatet i denna approximation? (p Lösning a : Med den givna vågfunktionen får vi E tot = E kin + g N α π exp ( 4αx dx + E pot, E tot = m α + g α N π 8 mω α. (1 Vi nner det optimala värdet på α då energin har en stationär punkt d.v.s. då E tot α = m + g N 1 πα 1 8 mω 1 α =. 5

6 Lösning b : För g = (ingen växelverkan mellan atomerna ger detta det välkända resultatet α = mω så att enligt tidigare energin (per partikel blir E tot = ω. Lösning c : Med det approximativa (för t.ex. g > valet α = mω ovan att så ger (1 E tot = E kin + g α N + E pot = ω π + 1 mω π Ng. Observera att g har dimensionen energi längd. 6