1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

Transkript

1 1.15. UPPGIFTER Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = Uppgift 1. a) Tensorn A ij :s komponenter relativt koordinatsystemet K är A ij =. { 1, i = j = 1 0, i 1 eller j 1. Ange tensorns komponenter i koordinatsystemet K, vars 3-axel sammanfaller med K:s 3-axel. K är vridet vinkeln α relativt K kring den gemensamma 3- axeln. b) Härled vektorformeln (ΦA) = Φ A + Φ A med tensormetoder. Uppgift 1.3 Tensorn A ij har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemet K: { 1 i + j = 4 A ij = 0 i + j 4. Bestäm A ij i ett koordinatsystem K som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensamma x 1 -axeln. Uppgift 1.4 Bevisa följande formler med tensormetoder: a) (ΦA) = Φ A A Φ b) (A + B) = A + B c) (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B d) Φ = 0

2 KAPITE 1. KARTEIKA TENORER Uppgift 1.5 Omforma linjeintegralen A dr till en ytintegral med hjälp av tensormetoder. Uppgift 1.6 isa att den totala spänningskraften på ytan av volymselementet d har i-komponenten df i = j E ji d, där E ji är spänningstensorn. Uppgift 1.7 isa att spänningstensorn är symmetrisk. Uppgift 1.8 Den kartesiska tensorn A ijk har A 111 = 1 som den enda nollskilda komponenten i koordinatsystemet K. Koordinatsystemet K är vridet vinkeln α relativt K kring den gemensamma x 3 -, x 3-axeln. a) ilka av komponenterna A ijk är nollskilda? b) Beräkna A 1. Uppgift 1.9 Utveckla följande vektoruttryck med hjälp av kartesiska tensormetoder a) A ( A) b) [(B )A] Uppgift 1.10 isa att om T ij är de kartesiska komponenterna av en tensor och ɛ ijk permutationssymbolen så är a) T kk, b) T ij T ij och c) ɛ ijk T i1 T j T k3 invarianter. Uppgift 1.11 åt T ij och k vara kartesiska tensorer av ordning två respekive ett. isa att storheterna k k T ij och ɛ ijk C T kedx e är kartesiska tensorer. Uppgift 1.1 åt φ(r) vara ett skalärfält och a en konstant vektor. Använd tensormetoder för att finna det villkor som φ måste uppfylla för att skall gälla. ( φ a) = ( φ a)

3 1.15. UPPGIFTER 3 Uppgift 1.13 åt A vara ett vektorfält som uppfyller ( A) = 0 då r och A ( A) = 0 då r, där är randytan till. Använd tensormetoder för att visa att ( A) d = 0. Uppgift 1.14 För hastighetsfältet v i en ideal vätska gäller v t = (v )v 1 ρ P, där ρ är densiteten och P är trycket. idare gäller ρ + (ρv) = 0. t isa att tidsderivatan av den totala rörelsemängden p = ρvd i en kontrollvolym kan skrivas som dp dt = e i π ik d k, där π ik är de kartesiska komponenterna av en symmetrisk tensor och är randytan till volymen. Bestäm även denna tensors komponenter. Uppgift 1.15 En andragradsyta har ekvationen A ij x i x j + B i x i = 0 i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K blir ekvationen A ijx ix j + B ix i = 0. isa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer. Uppgift 1.16 Beräkna storheterna a) δ ii, b) δ ij ɛ ijk, c) ɛ ijk ɛ ljk och d) ɛ ijk ɛ ijk. Uppgift 1.17 isa att tensorer med följande komponenter är isotropa. a) A ijkl = δ ij δ kl b) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jk c) C ijkl = ɛ nij ɛ nkl

4 4 KAPITE 1. KARTEIKA TENORER Uppgift 1.18 Använd kartesiska tensormetoder för att omforma följande uttryck. Resultaten skall översättas till gängse vektorbeteckningar. a) ( A) b) (A B) ( C) c) ( A) d) (A B) e) (r φ) f) (r φ) g) [r ( A)] h) [( φ) ( ψ)] i) ((r )B) j) ((r ) B) k) (A )(B C) Uppgift 1.19 isa att [(r ) (r )]φ = (r )φ. Uppgift 1.0 Använd kartesiska tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler: a) A dr b) c) AB dr ɛ ijk A ij dx k, där A ij är ett kartesiskt tensorfält. Uppgift 1.1 åt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma (A φ) d till en linjeintegral. Uppgift 1. Omforma [( φ) Grad A] d till en lineintegral. Med ( φ) Grad A avses [( φ) Grad A] il = ɛ ijk φ x j A l x k.

5 1.15. UPPGIFTER 5 Uppgift 1.3 Använd kartesiska tensormetoder för att omforma följande integraler till ytintegraler: a) ( A)d b) [( φ) ] A d Uppgift 1.4 kriv (B )A d som en ytintegral om B är ett källfritt fält. Uppgift 1.5 I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket (d )E + d ( E) d( E), där E är ett vektorfält och en glatt yta. isa att uttrycket blir noll. Uppgift 1.6 I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften på volymselementet d är då df = j B d, där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gäller B = 0, H = j, B = µ 0 H. kriv kraften på en delvolym som en ytintegral av formen e i T ij d j och bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij. Uppgift 1.7 En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna (T ik ) = Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K så att a) (T ik) = λ λ λ 3?

6 6 KAPITE 1. KARTEIKA TENORER b) c) (T ik) = (T ik) = 0 a b c 0 d e f 0 a b c b 0 0 c 0 0?? Uppgift 1.8 Den s.k. centrifugalkraften definierar en vektorvärd funktion av r. F = mω (ω r) a) isa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. Uppgift 1.9 Den potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter med magnetiska momenten m 1 och m placerade på avståndet r från varandra kan skrivas φ = (m 1 )(m ) 1 r. a) isa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyller ekvationen φ = M ij m 1i m j. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. Uppgift 1.30 Kraften F = ev B som verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktion av partikelns hastighet v. a) isa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion. b) isa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0. Bestäm egenvektorn som svarar mot det senare. Uppgift 1.31 I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Den elektriska kraften på volymselementet d är ρ(r)e(r)d,

7 1.15. UPPGIFTER 7 där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att E = 1 ρ ɛ 0, E = φ där φ är den elektriska potentialen. isa att den totala kraften på en delvolym kan skrivas F = e i T ik n k d, där T ik = D i E k 1 D je j δ ik, D = ɛ 0 E är den elektriska flödestätheten och är randytan till. Uppgift 1.3 Använd tensormetoder för att skriva d [A( A) A ( A)] som en ytintegral över den yta som omsluter. Använd sedan resultatet på a) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E uppfyller { E = 0 E = ρ(r) ɛ 0 b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där B uppfyller { B = 0, B = µ 0 i(r) med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.