Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar"

Transkript

1 Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna hjälpmedel: Physics handbook eller motsvarande, formel lista och en räcknedose. Lycka till! 1. Maxwells ekavtioner. Fråga: Total Poäng: a. (4 p) Ge de fyra Maxwell ekvationerna i integral form, i termer av det elektriska fältet E och det magnetiska fältet B. b. (8 p) Förklara kort betydelsen av varje Maxwell ekvation (maximalt tre meningar per ekvation). 1. E ds = Q inuti ɛ 0, Gauss lag. S Gauss lag relaterar laddningen i en volym (Q inuti ) med det elektriska flödet genom volymens (sluten) yta S. I termer av fält linjer kan man säga att fält linjerna börjar (slutar) på positiva (negativa) laddningar, och att mengden av fält linjerna som lämnar ytan ges av laddningen inuti över den elektriska permittiviteten i vakuum. Flödet genom ytan är oberoende av hur laddningen är fördelat i volymen. 2. E dl = dφ, Faraday s lag. C dt Faradays lag säger att ändringar i det magnetiska flödet skapar ett elektriskt fält som har slutna fält linjer. Integralen av det elektriska fältet längs en godtycklig sluten kurva C, ges av minus ändringen av det elektriska flödet genom den här kurvan. 3. B ds = 0. S Den här lagen säger att det magnetiska flödet genom en godtycklig sluten yta alltid är noll. Det betyder att de magnetiska fält linjer som går in genom ytan S måste också lämna genom S igen, så magnetiska fält linjer slutar aldrig. Så det finns inga magnetiska monopoler. 4. B dl E = µ C 0 I enc + µ 0 ɛ 0 S ds, Amperes lag med Maxwell term. t Den här lagen innebär att både strömmer och ändringar i flödet av det elektriska fältet skapar ett magnetiskt fält, som har slutna fält linjer. Integralen av det magnetiska fältet längs en godtycklig kurva C ges av summan av den innesluten strömmen och ändringen i det elektriska flödet igenom kurvan. 1

2 S 2. En laddat cylinder. En (oendligt) lång, ihålig cylinder, med inre radie a, och yttre radie b har en ytladdningstäthet ρ = ρ 0 r, där r är avståndet till cylinders axel och ρ 0 en konstant. Utanför cylindern är laddningen noll. Bestäm det elektriska fältet överallt (0 < r < ). Vi har cylindersymmetri, och det elektriska fältet är radiell, som innebär att E är parallell med ˆr (i cylinderkoordinater). Dessutom beror E bara på r, så vi har E( r) = E rˆr. Det är enklast att använder Gauss lag för att bestämma det elektriska fältet: E ds = Q inuti ɛ 0. Som Gauss ytor tar vi cylindrar med samma axel som den laddade cylinder, och med olika radier R. De här cylindrarna har höjd h. Det elektriska flödet igenom Gauss ytor får inget bidrag från över och nedre sidan av cylindern (basytor), eftersom E är parallell med de här sidorna. Så det är bara mantelytan som ger ett bidrag till flödet. På mantelytan är E konstant, så flödet igenom cylinder blir E ds = 2πRhEr. S Nu ska vi bestämma laddningen inuti Gauss ytorna, i tre olika fall. Först, om R < a, har vi att laddningen inuti Gauss ytan är noll, Q inuti = 0, som innebär att E = 0. Sedan tittar vi på fallet a < R < b. Nu har vi att laddningen inuti Gauss ytan ges av Q inuti = ρdτ = 2π dφ h dz R drrρ(r) = 2πhρ V 0 0 a 0 Det betyder att E r = ρ 0 3ɛ 0 r (r3 a 3 ). Till slut, om R > b, har vi att Q inuti = 2πhρ 0 E r = ρ 0 3ɛ 0 r (b3 a 3 ). R a drr2 = 2πhρ 0 3 (R 3 a 3 ). 3 (b 3 a 3 ), och det elektriska fältet blir Så, vi har det följande svaret: 0 om 0 r a, ρ E = 0 (r 3 a 3 ) 3ɛ 0 ˆr om a r b, r ρ 0 (b 3 a 3 ) 3ɛ 0 ˆr om b r <. r (1) 2

3 3. I ett område finns tidsoberoende elektriska och magnetiska fält, som ges, i termer av kartesika koordinater, av B = k m (xy, f(x, y, z), z 2 ) och E = k e (xy, f(x, y, z), g(x, y)), med k e och k m konstanter, f(x, y, z) en allmän funktion som kan beror på koordinaterna (x, y, z), och g(x, y) en funktion som inte beror på z. a. (8 p.) Bestämm funktionerna f och g. I origo är både E och B noll. b. (5 p.) Bestämm laddningstätheten och strömtätheten som ger upphov till de här fälten. a. För att bestämma funktionerna f och g, använder vi Maxwells ekvationer i det statiska fallet. Nämligen, vi använder B = 0 och E = 0. Den första ekvationen ger oss 0 = B = k m (y + f(x,y,z) + 2z), som ger oss att f(x,y,z) = y y y 2z, eller f(x, y, z) = 1/2y 2 2yz + c 1 (x, z), med c 1 (x, z) en konstant som inte beror på y. Vi har E = 0, eller k e ( g(x,y) y x-komponenten blir 0 = g(x,y) y g(x, y) = y 2 + c 2 (x), och c 1(x,z) f(x,y,z) z 2y + c 1(x,z) z, 0 g(x,y), f(x,y,z) x) = (0, 0, 0). x x. Det innebär två saker, nämligen = 0, eller att c z 1 = c 1 (x), beror inte på z. y-komponenten innebär att g(x,y) = c 2(x) = 0, eller c x x 2 är en konstant. z-komponenten till slut, ger oss x = c 1(x), eller c 1(x) = 1/2x 2 + c 3, med c 3 en konstant. I origo är både E och B noll, eller c 1 = c 3 = 0. Så vi kom fram till att B = k m (xy, 2yz + 1/2x 2 1/2y 2, z 2 ) och E = k e (xy, 2yz + 1/2x 2 1/2y 2, y 2 ). b. Laddnings och strömtätheten ges av E = ρ/ɛ 0 och B = µ 0 J. Så vi får att ρ = ɛ 0 k e (y +( 2z y)+0) = 2zɛ 0 k e. J, till sluts, är J = k m /µ 0 (2y, 0 0, x x) = 2yˆxk m /µ 0. x 3

4 4. a. (5 p.) Vi har en oändligt lång, rak tråd, som för en ström I. Använd Biot-Savarts lag för att bestämma riktningen av det magnetiska fältet, som finns på grund av strömmen. b. (5 p.) En partikel med massa m, laddning q och utgångshastighet v utsätts för ett homogent magnetiskt fält B. Hur ser partikelns rörelse ut i fältet, och vad är den associerade radien? c. (5 p.) En elektrisk dipol, som består av två laddningar q + = 1.5pC och q = 1.5pC, med ett avstånd a = 2.0µm mellan dem. Dipolen befinner sig i ett homogent elektriskt fält E, med storlek E = 30kV/m. I vilka orienteringar har dipolen det mesta och minsta energi, och vad är energi skillnaden mellan dem? Biot-Savarts lag ger det magnetiska fältet på grund av en tråd. Nämligen, för en infinitesimal bit d l av tråden, är bidraget till fältet I punkt P : db(p ) = µ 0I d l r, med 4π r 2 r vektorn från d l till P. Så, db är vinkelrätt mot både a. d l och r, och riktningen ges av högerhand regeln. För en oendligt lång, rak tråd, tittar vi på bidragen från två symmetriska punkter, ser figuren. Både bidrag från d l 1 och d l 2 pekar in i pappret, som på grund av symmetrin betyder att det magnetiska fältet är i ˆφ riktningen, i polära koordinater. I d l 1 d l 2 r 2 r 1 d B 1 d B 2 ˆφ P b. Lorentzkraften på en laddat partikel i ett magnetiskt fält är F = q v B, med v hastigheten. Kraften är vinkelrätt mot både v och B, och riktningen ges av högerhandregeln. Vi kallar ˆn enhetsvektorn som pekar i den här riktningen. Vi skriver v i termer av komponenterna parallell och vikelrätt mot B, v = v + v. Då får vi att F = q v B ˆn. Eftersom F B har vi F v, som betyder att den parallella komponenten av v ändras inte. I ett konstant B-fält är accelerationen a alltid vinkelrätt mot v, och konstant i belopp. Det betyder att vi har en cirkel rörelse i planet vinkelrätt mot B-fältet. Tillsammans med den konstanta v, har vi en spiralrörelse kring B-fältlinjerna. Accelerationen för cirkelrörelse ges av a = v2 r, som är a = q m v B på grund av Lorentzkraften. Det betyder att radien är r = mv qb. c. Dipolmomentet av en dipol ges av p = q a, med q den positiva laddningen, och a vektorn som pekar från den negativa mot den positiva laddningen. Energin av en dipol i ett elektriskt fält är U = p E. Så, energin är minimal om fältet och dipolmomentet pekar åt samma håll, U min = p E. Energin är maximal om p och E pekar åt motsatt riktning, U max = p E. Energiskillnaden mellan dem är U = 2 p E = = J. 4

5 5. En tråd med ett magnetiskt material En lång, ledande tråd är cylindrisk med radie a. Kring tråden finns ett linjärt magnetiskt material, som också är cylindriskt, med radie b, och relativ permeabilitet µ. I tråden (i.e., för r a) finns en konstant strömtäthet J fri = Jẑ. För r > a är den fria strömmen noll. Du får använder att det magnetiska fältet har bara en komponent, i ˆφ riktningen. Här har vi andvänd cylinder koordinater. b a J fri a. (7 p.) Bestäm H och B överallt, 0 r a, a < r < b och r b. b. (6 p.) Varför har vi att H = 0 inuti det magnetiska materialet? Andvänd detta för att bestämma de bundna strömmar inuti det magnetiska materialet. Bestäm också de bundna strömmar på ytan av det magnetiska materialet. a. På grund av symmetrin vet vi att riktningen av det magnetiska fältet (både B och H) är parallell med ˆφ. Dessutom har vi att fälten beror bara på r, avståndet till symmetri axeln. Då använder vi Amperes lag, i integral form, nämligen H dl = C I fri, med I fri den fria strömmen, som är innesluten av kurvan C. Det finns bara en fri ström om r a, för a < r < b kan det finnas en bunden ström, men den ger ingen bidrag till H. Efter vi har bestämmd H, kan vi bestämma B, om vi använder att det magnetiska materialet är linjärt, B = µ 0 µ H. Som Ampere kurvor C tar vi cirklar med radie r, eftersom för dem har vi att H är parallell med dl, och konstant. Så vi får att H dl = H C φ (r). Nu beräkna vi I fri för de tre olika situationerna. Först tar vi r < a. Då har vi att I fri = πr 2 J. Eller, i termer av den totala strömmen I t = πa 2 J får vi I fri = r2 I a 2 t. Så, vi har att H rit ˆφ =. Inuti tråden är µ = 1, så för r < a har vi B = µ 0rI t ˆφ. 2πa 2 2πa 2 För a < r < b har vi att den innesluten fria strömmen är I fri = πa 2 J = I t, så vi får att H It ˆφ =. I det här området är µ inte 1, så det magnetiska fältet blir B = µ 0µI t ˆφ. Sist har vi r > b. Fältet H har precis samma form som för a < r < b, nämligen H =, eftersom den innesluten strömmen är samma. I det här fallet är µ = 1, It ˆφ så B blir B = µ 0I t ˆφ. H = ri t ˆφ 2πa 2 I t ˆφ I t ˆφ om 0 r a om a r b om b r < B = µ 0 ri t ˆφ 2πa 2 µ 0 µi t ˆφ µ 0 I t ˆφ om 0 r a om a r b om b r < (2) 5

6 b. För att räkna ut de bundna strömmar, måste vi först bestämma magnetiserningen M. Den ges av M = B/µ 0 H, eller M = (µ 1) H. Så, inuti tråden, r < a och för r > b har vi M = 0, eftersom µ = 1 i de områden. För a < r < b däremot, har vi M = (µ 1) I t ˆφ = (µ 1) H. De bundna strömmen inuti det magnetiska materialet ges av J b = M, så vi måste veta rotationen av M. Inuti det magnetiska materialet har vi H = 0, eftersom det inte finns en fri strömtäthet. Men det innebär att M = 0, eftersom M är proportionell med H. Så, vi har visat att det inte finns bundna strömmar i det magnetiska materialet. Det finns bundna strömmar på ytan av det magnetiska materialet, då. De här bundna ytströmmar ges av i s = M ˆn, med ˆn ytans normal vektor. För r = a har vi ˆn = ˆr och M = (µ 1)It 2πa r = b däremot, ˆn = ˆr, så vi får i s = (µ 1)It 2πb ẑ. ˆφ, såvi får att i s = (µ 1)It 2πa ẑ. För 6

7 6. Vi har en (ideal) spole med själv induktans L och en motstånd med resistans R som är kopplade i serie till en källa med spänning V (t) = V 0 cos(ωt). a. (5 p) Ge kretsens impedansen, och beräkna strömmen i kretsen. Ge båda amplituden och fasen. b. (5 p) Källan tas bort och vi tittar på situationen där en kondensator med kapacitans C, som är laddat upp till en spänning V 1, urladdas igenom spolen och motståndet som är kopplade i serie. Härled differential ekvationen som beskriver strömmen i den här kretsen. Var noggrann med tecknen av spänningar och strömmen. c. (5 p) Vi antar nu att V 1 = 100V, C = 40.0µF, L = 0.500H och R = 100Ω. Lös differential ekvationen för strömmen. Är kretsen svag, kritisk eller överdämpad? Hur mycket energi förloras totalt i motståndet? Du får använder att e at sin(bt) n dt 0 är 1, b 2b, 2 6b, 3, för n = 0, 1, 2, 3, om a och b är reella, och a > 0. a a 2 +b 2 a 3 +4ab 2 a 4 +10a 2 b 2 +9b 4 Man kan får svaret utan att använder integralerna. a. I kretsen har vi en spole med induktans L, och motstånd med resistans R, som har impendans Z L = iωl och Z R = R. Den totala impedansen av kretsen är Z t = R + iωl. För att beräkna strömmen använder vi den komplexa spänningen V = V 0 e iωt, och den komplexa strömmen ges av I = V/Z t. Impedansen kan skivas som Z t = Z 0 e iθ, med Z 0 = (R 2 + (ωl) 2 ) 1/2 den absoluta värden av impedansen, och θ fasen, tan θ = ωl. R Den komplexa strömmen blir nu I = V 0 Z 0 e i(ωt θ). Den reella strömmen blir I(t) = R(I) = V 0 V Z 0 cos(ωt θ). Så, amplituden av strömmen är I 0 = 0, och fasen (R 2 +(ωl) 2 ) 1/2 är ωt θ, så strömmen är fasförskjuten relativt spänningen over vinkeln θ, som ges av tan θ = ωl. Spänningen är före strömmen. R Man kan (men dat behövdes inte) skriva strömmen på det följande sättet, genom att expandera cosinusen: I(t) = V 0 ( ) V 0 ( ) cos(ωt) cos θ + sin(ωt) sin(θ) = R cos(ωt) + ωl sin(ωt), Z 0 (R 2 + (ωl) 2 ) eftersom cos θ = R Z 0 och sin θ = ωl Z 0. b. Vi har en krets med en (i början) laddat kondensator, en spole och en resistans. Vi använder Faraday s lag för att härleda differential ekvationen som beskriver kretsen: E ind = E dl. Den inducerade spänningen (EMS) E C ind är över spolen, och integralen får bidrag från spännings skillnader över resistansen och kondensatorn. För att relatera laddningen på kondensatoren med strömmen använder vi I = dq, dt så strömmen är positiv när kondensatorn laddas upp (man får väljer det tvärtom också). Så jag valde att rikningen mot den positivt laddad sidan av kondensatorn är den positiva riktningen. 7

8 E ind = L di. Integralen längs kretsen, i positiv riktning ger E dl = Q +IR. Så, dt C C vi har ekvationen L di + IR + Q = 0. Vi differentierar mot t för att får en ekvation dt C bara i termer av I: L d2 I dt 2 + di dt R + I C = 0. c. Vi har att R 2 = 10000Ω 2, och 4L = C 50000Ω2, så R 2 < 4L/C, och kretsen är svag dämpad. För att lösa ekvationen måste vi bestämma randvillkoren. Strömmen kan inte ändrar sig plötslig, eftersom vi har en induktans, så I(0) = 0. Eftersom det inte finns en strömm på t = 0, måste spänningen över kondensator motsvara den över spolen på t = 0: V 1 = L di (0). dt Ekvationen lösas genom att försöka I(t) = Ae kt, som borde ge två lösningar. Den här ansatsen ger oss (k 2 L + kr + 1/C)Ae kt = 0, så vi får att k 1,2 = R ± 2L 1 2L R 2 4L C. Nu använder vi värden för att bestämma k 1,2, och vi får att k 1 = i200, och k 2 = 100 i200. Vi har två lösningar, e ( 100+i200)t och e ( 100 i200)t, som kan kombineras till lösningarna e 100t sin(200t) och e 100t cos(200t), och man skriver i allmänhet I(t) = e 100t (A sin(200t) + B cos(200t)). Nu använder vi randvillkoren. Först har vi 0 = I(0) = 1(A0 + B1) = B, så B = 0. Sedan har vi V 1 /L = 200 = di di (0), och = dt dt Ae 100t ( 100 sin(200t) cos(200t)), som innebär att A = 1. Så, vi får svaret I(t) = e 100t sin(200t): strömmen är en dämpad sinus. Att strömmen är negativ i början stämmer, eftersom kondensator laddas ur. Energin som totalt förloras i motståndet är precis lika mycket som energin som var lagrat på kondensatorn i början, nämligen U = 1CV = 0.200J. Det går också att räkna ut energin genom att integrera effekten i motståndet, förstås, som ger samma svar, U = I(t) 2 Rdt = 100 e 200t sin(200t) 2 dt = J. 8

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika

Läs mer

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentamen ellära 92FY21 och 27 2014-06-04 kl. 8 13 Svaren anges på separat papper. Fullständiga lösningar med alla steg motiverade och beteckningar utsatta ska redovisas för att få full poäng. Poängen för

Läs mer

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer

Läs mer

Formelsamling till Elektromagnetisk

Formelsamling till Elektromagnetisk Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med

Läs mer

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska

Läs mer

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:

Läs mer

Repetition kapitel 21

Repetition kapitel 21 Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag Strålningsfält och fotoner Kapitel 23: Faradays lag Faradays lag Tidsvarierande magnetiska fält inducerar elektriska fält, eller elektrisk spänning i en krets. Om strömmen genom en solenoid ökar, ökar

Läs mer

Förståelsefrågorna besvaras genom att markera en av rutorna efter varje påstående till höger. En och endast en ruta på varje rad skall markeras.

Förståelsefrågorna besvaras genom att markera en av rutorna efter varje påstående till höger. En och endast en ruta på varje rad skall markeras. Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2006-11-25 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ

Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ 1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 (2) 9 oktober 2006 Institutionen för elektrovetenskap Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. Observera att uppgifterna inte är

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Facit till rekommenderade övningar:

Facit till rekommenderade övningar: Facit till rekommenderade övningar: Övningstillfälle #1: Electrostatics: 2, 3, 5, 9, a) b) 11, Inside: Outside: 12, 14, (18) Tips: Superpositions principen! och r+ - r- = d Övningstillfälle #2: (obs! uppgiftsnummer

Läs mer

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q 2.1 Gauss lag och elektrostatiska egenskaper hos ledare (HRW 23) Faradays ishinksexperiment Elfältet E = 0 inne i en elektrostatiskt laddad ledare => Laddningen koncentrerad på ledarens yta! Elfältets

Läs mer

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,

Läs mer

Bra tabell i ert formelblad

Bra tabell i ert formelblad Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare

Läs mer

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! 1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen

Läs mer

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 05-06-04 för F och Q (FA54) Skrivtid: 5 tim Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Hjälpmedel:

Läs mer

Elektromagnetism. Kapitel , 18.4 (fram till ex 18.8)

Elektromagnetism. Kapitel , 18.4 (fram till ex 18.8) Elektromagnetism Kapitel 8.-8., 8.4 (fram till ex 8.8) Varför magnetism? Energiomvandling elektrisk magnetisk mekanisk Elektriska maskiner Reversibla processer (de flesta) Motor Generator Elektromagneter

Läs mer

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor

Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor 1! 2! Elektriska och magnetiska fält Elektromagnetiska vågor Tommy Andersson! 3! Ämnens elektriska egenskaper härrör! från de atomer som bygger upp ämnet.! Atomerna i sin tur är uppbyggda av! en atomkärna,

Läs mer

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk

Läs mer

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare

Läs mer

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-12-20 Sal (1) Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Övningstenta i Elektromagnetisk fältteori, 2014-11-29 kl. 8.30-12.30 Kurskod EEF031 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste

Läs mer

10. Kretsar med långsamt varierande ström

10. Kretsar med långsamt varierande ström 1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 1/1 016, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Magnetfält och magnetiska krafter. Emma Björk

Magnetfält och magnetiska krafter. Emma Björk Magnetfält och magnetiska krafter Emma Björk Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) = 1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Måndagen /8 016, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Elektromagnetisk induktion och induktans. Emma Björk

Elektromagnetisk induktion och induktans. Emma Björk Elektromagnetisk induktion och induktans Emma Björk Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

Vågrörelselära och optik

Vågrörelselära och optik Vågrörelselära och optik Kapitel 32 1 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator: Kapitel 14.1 14.4 Mekaniska vågor: Kapitel 15.1

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Föreläsning 9. Induktionslagen sammanfattning (Kap ) Elektromotorisk kraft (emk) n i Griffiths. E(r, t) = (differentiell form)

Föreläsning 9. Induktionslagen sammanfattning (Kap ) Elektromotorisk kraft (emk) n i Griffiths. E(r, t) = (differentiell form) 1 Föreäsning 9 7.2.1 7.2.4 i Griffiths nduktionsagen sammanfattning (Kap. 7.1.3) (r, t) E(r, t) = t (differentie form) För en stiastående singa gäer E(r, t) d = d S (r, t) ˆndS = dφ(t) (integraform) Eektromotorisk

Läs mer

PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren Vecka 2

PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren Vecka 2 PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren 2017 Vecka 2 1. En kub med sidlängden L = 3,00 m placeras med ett hörn i origo (se figuren). Elfältet ges av E = ( 5,00 N/Cm)xî + (3,00 N/Cm)zˆk. (a) Bestäm

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00-18.00 i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart

Läs mer

Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths

Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths 1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de

Läs mer

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära

Sensorer och elektronik. Grundläggande ellära Sensorer och elektronik Grundläggande ellära Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik Elektriskt fält och elektrisk potential Dielektrika och kapacitans Ström och strömtäthet Ohms lag och resistans

Läs mer

3.4 RLC kretsen. 3.4.1 Impedans, Z

3.4 RLC kretsen. 3.4.1 Impedans, Z 3.4 RLC kretsen L 11 Växelströmskretsar kan ha olika utsende, men en av de mest använda är RLC kretsen. Den heter så eftersom den har ett motstånd, en spole och en kondensator i serie. De tre komponenterna

Läs mer

Svar och Lösningar. 1 Grundläggande Ellära. 1.1 Elektriska begrepp. 1.2 Kretslagar Svar: e) Slinga. f) Maska

Svar och Lösningar. 1 Grundläggande Ellära. 1.1 Elektriska begrepp. 1.2 Kretslagar Svar: e) Slinga. f) Maska Svar och ösningar Grundläggande Ellära. Elektriska begrepp.. Svar: a) Gren b) Nod c) Slinga d) Maska e) Slinga f) Maska g) Nod h) Gren. Kretslagar.. Svar: U V och U 4 V... Svar: a) U /, A b) U / Ω..3 Svar:

Läs mer

1( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ), 7( ), 8( ), 9( )

1( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ), 7( ), 8( ), 9( ) Inst. för Fysik och materialvetenskap Ola Hartmann Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I 2008-10-08 Skrivtid: 5 tim. för Kand_Fy 2 och STS 3. Hjälpmedel: Physics Handbook, formelblad i Elektricitetslära, räknedosa

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Tentamen i Fysik för M, TFYA72

Tentamen i Fysik för M, TFYA72 Tentamen i Fysik för M, TFYA72 Onsdag 2015-06-10 kl. 8:00-12:00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogat formelblad Avprogrammerad räknedosa enlig IFM:s regler. Christopher Tholander kommer att besöka tentamenslokalen

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 015-08-17 kl. 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men

Läs mer

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0]

Prov 3 2014-10-13. (b) Hur stor är kraften som verkar på en elektron mellan plattorna? [1/0/0] Namn: Område: Elektromagnetism Datum: 13 Oktober 2014 Tid: 100 minuter Hjälpmedel: Räknare och formelsamling. Betyg: E: 25. C: 35, 10 på A/C-nivå. A: 45, 14 på C-nivå, 2 på A-nivå. Tot: 60 (34/21/5). Instruktioner:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel

Hanno Essén Lagranges metod för en partikel Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system

Läs mer

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO

Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO MEÅ NIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker Johansson Johan Pålsson 999-09- Rev.0 Växelström K O M P E N D I M ELEKTRO INNEHÅLL. ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR.... SAMBANDET MELLAN STRÖM

Läs mer

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält.

Magnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Magnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd

Läs mer

4. Elektromagnetisk svängningskrets

4. Elektromagnetisk svängningskrets 4. Elektromagnetisk svängningskrets L 15 4.1 Resonans, resonansfrekvens En RLC krets kan betraktas som en harmonisk oscillator; den har en egenfrekvens. Då energi tillförs kretsen med denna egenfrekvens

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Onsdagen 30/3 06, kl 08:00-:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar

Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och Kondensatorn motverkar förändringar Spolen och kondensatorn motverkar förändringar, tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa till en krets. Hur går det då om källan avger en sinusformad

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik

Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik Gerhard Kristensson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 oktober 2014 Olika lösningsmetoder 1 Biot-Savarts

Läs mer

IN Inst. för Fysik och materialvetenskap ---------------------------------------------------------------------------------------------- INSTRUKTION TILL LABORATIONEN INDUKTION ---------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

Magnetiska fält. Magnetiska fält. Magnetiska fält. Magnetiska fält. Två strömförande ledningar kraftpåverkar varandra!

Magnetiska fält. Magnetiska fält. Magnetiska fält. Magnetiska fält. Två strömförande ledningar kraftpåverkar varandra! 38! 39! Två strömförande ledningar kraftpåverkar varandra! i 1! i 2! Krafterna beror av i 1 och i 2 och av geometrin! 40! Likaså kraftpåverkas en laddning Q som rör sig i närheten av en strömförande ledning!

Läs mer

Kapitel: 31 Växelström Beskrivning av växelström och växelspänning Phasor-diagram metoden Likriktning av växelström

Kapitel: 31 Växelström Beskrivning av växelström och växelspänning Phasor-diagram metoden Likriktning av växelström Kapitel: 31 Växelström Beskrivning av växelström och växelspänning Phasor-diagram metoden Likriktning av växelström Relation mellan ström och spänning i R, L och C. RLC-krets Elektrisk oscillator, RLC-krets

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2014-08-20 Sal (1) Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 016-10-17 kl. 08.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Tentamen i Elektronik för E, ESS010, 12 april 2010

Tentamen i Elektronik för E, ESS010, 12 april 2010 Tentamen i Elektronik för E, ESS00, april 00 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i kretsteori v i v in i Spänningen v in och är kända. a) Bestäm i och i. b) Bestäm v. W lampa spänningsaggregat W lampa 0

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2012-12-20 Sal (1) Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

Elektroakustik Något lite om analogier

Elektroakustik Något lite om analogier Elektroakustik 2003-09-02 10.13 Något lite om analogier Svante Granqvist 2002 Något lite om analogier När man räknar på mekaniska system behöver man ofta lösa differentialekvationer och dessutom tänka

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna

Läs mer

14. Elektriska fält (sähkökenttä)

14. Elektriska fält (sähkökenttä) 14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna

Läs mer

18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)

18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3) 18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer