Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
|
|
- Karolina Dahlberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn som r(u u 2 u 3 ). Om vi da haller en av parametrarna, sag u,xlater u 2 u 3 variera, sa far vi en tva-dimensionell yta, vilken vi kallar u -ytan. Pa samma satt kan vi da deniera ytor for de andra koordinaterna. Tva koordinatytor, till exempel de for koordinaterna u 2 u 3,skar varandra langs en en-dimensionell kurva. Langs denna kurva kommer da bara koordinaten u att variera, sa denna kurva ar en koordinatkurva for u. Exempel: I de cylindriskakoordinaterna z kan vi skriva ortsvektorn som r =(cos sin z). Koordinatytorna for z ar da en cylinder med z-axeln som symmetriaxel med radien, ett plan som utgar fran z-axeln bildar en vinkel med x-axeln, samt ett plan parallellt med xy-planet med z-koordinaten z. Koordinatlinjerna for z blir da enstrale som utgar fran z-axeln bildar vinkeln med x-axeln, en cirkel med radien en linje parallell med z-axeln. Om vi nu studerar en liten forskjutning av ortsvektorn, dr, sa kan vi i med att ortsvektorn ar en funktion av u u 2 u 3 skriva denna som dr = r u du + r u 2 du 2 + r u 3 du 3 : () Tank nu pa att den partiella derivatan r=u ar denierad som derivatan da vihaller u 2 u 3 xa. Darfor maste r=u vara en tangentvektor till koordinatkurvan for u.vikan da deniera en enhetsvektor for u som e = r (2) h u dar h = r u (3) kallas for skalfaktorn. Pa sammasatt kan vi bestamma skalfaktorer enhetsvektorer till u 2 u 3.Forskjutningsvektorn dr kan vi nu skriva som dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3 : (4) Exempel: I cylindriska koordinater ar r =( cos sin z). Vi kan da berakna r =(cos sin 0) (5) Skalfaktorerna blir da r =(; sin cos 0) (6) r =(0 0 ) : (7) z h ; ; = cos 2 + sin 2 =2 = (8) h = 2 cos sin 2 =2 = (9) h z =: (0)
2 Enhetsvektorerna blir ^ =(cos sin 0) () ^ =(; sin cos 0) (2) ^z =(0 0 ) : (3) Forskjutningsvektorn kan da skrivas som dr = ^d + ^d + ^zdz: (4) I fortsattningen skall vi begransa oss till koordinatsystem med ortogonala enhetsvektorer, dvs e i e j = om i = j 0 annars (5) Vi skall ocksa anta att enhetsvektorerna bildar ett hogersystem e e 2 = e 3 (6) Visa att enhetsvektorerna i de cylindriska koordinaterna uppfyller dessa villkor. Vi kan nu harleda nagra anvandbara samband som baglangden langs en kurva ds 2 = dr dr = h 2 du2 + h2 2 du2 2 + h2 3 du2 3 : (7) Ett ytelement ds pa koordinatytan u ar en rektangel som genereras av du 2 du 3. Rektangelns sidor har da langderna h 2 du 2 h 3 du 3. Rektangelns area ar darfor ds = h 2 h 3 du 2 du 3 (8) pa samma satt kan vi berakna ytelementen pa koordinatytorna for u 2 u 3. Analogt kan vi berakna volymelementet som genereras av du,du 2 du 3, vilket blir Exempel: Bagelementet i cylindriska koordinater blir dv = h h 2 h 3 du du 2 du 3 : (9) ds 2 =d d 2 +dz 2 : (20) Ett ytelement pa -ytan skrives pa -ytan pa z-ytan Volymselementet kan vi skriva som ds = ddz (2) ds =dz (22) ds = dd: (23) dv = dddz: (24) 2 Vektoroperatorer i kroklinjiga koordinater 2. Gradient Betrakta ett skalart falt f. Omviforyttar oss en stracka dr sa forandras f df = rf dr: (25) 2
3 Foryttningen kan vi i de nya koordinaterna skriva som Om vi skriver f som en funktion av u u 2 u 3 far vi dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3 : (26) df = f du + f du 2 + f du 3 = f h du + f u u 2 u 3 h u h 2 h 2 du 2 + f h 3 du 3 u 2 h 3 u 3 e 3 dr (27) u 3 = h f u e + h 2 f u 2 e 2 + h 3 f Da kan vi identiera uttrycket inom parentesen som gradienten i de nya koordinaterna u u 2 u 3 rf = h f u e + h 2 f u 2 e 2 + h 3 f Exempel: I cylindriska koordinater blir gradienten u 3 e 3 : (28) rf = f ^ + f ^ + f ^z: (29) z 2.2 Divergens Vi har denierat divergensen som divv = lim V!0 V I S v ds: (30) Vi kan nu berakna divergensen over en lada med sidlangderna h du, h 2 du 2 h 3 du 3 ivara kroklinjiga koordinater. Ladan har da tva ytor pa u -ytorna u +du =2 u ; du =2. Dessa ytor har sidlangderna h 2 du 2 h 3 du 3. Ytornas areor ar da h 2 h 3 du 2 du 3 dar skalfaktorerna maste beraknas vid korrekt u -koordinat. Vi far da pa ytan vid u +du =2dar normalvektorn ar n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3 (3) pa ytan vid u ; du =2 med normalvektorn n = ;e att v nds = ;v h 2 h 3 du 2 du 3 : (32) Testvolymen V = h h 2 h 3 du du 2 du 3.Omvinu summerar ihop bidragen fran de tva sidorna dividerar med volymen h h 2 h 3 du du 2 du 3 [(v h 2 h 3 )(u +du =2) du 2 du 3 ; (v h 2 h 3 )(u ; du =2) du 2 du 3 ]= (v h 2 h 3 )(u +du =2) du 2 du 3 ; (v h 2 h 3 )(u ; du =2) du 2 du 3 h h 2 h 3 du = (v h 2 h 3 ) : (33) u h h 2 h 3 Pa samma satt kan vi behandla de ovriga sidorna divergensen blir till slut rv = h h 2 h 3 u (v h 2 h 3 )+ u 2 (u 2 h 3 h )+ u 3 (u 3 h h 2 ) Genom att ersatta v med rf kan vi ocksa harleda Laplace-operatorn i de kroklinjiga koordinaterna r 2 f = h h 2 h 3 u h2 h 3 h f + h3 h u u 2 h 2 f + h h 2 u 2 u 3 h 3 (34) f : (35) u 3 3
4 Exempel: Divergensen blir i cylindriska koordinater rv = (v )+ (v )+ z (v z) Laplace-operatorn blir i cylindriska koordinater r 2 f = f + f + f z z 2.3 Rotation Vi har denierat rotationen genom nrotv = lim S!0 S I C = (v )+ v + v z z : (36) = f f f z 2 : (37) v dr: (38) For att nna e 3 komponenten till rv integrerar vi langs en liten rektangel i u 3 -ytan med sidlangder h du h 2 du 2. Linjeintegralen langs den hogra sidan ar v 2 h 2 du 2 (u +du =2 u 2 u 3 ), dar argumentet galler for bade v 2 h 2. Pa samma satt blir integralen langs den vanstra sidan ;v 2 h 2 du 2 (u ; du =2 u 2 u 3 ). Om vi summerar dessa tva bidrag dividerar med rektangelns area h h 2 du du 2 far vi h h 2 du du 2 [(v 2 h 2 )(u +du =2 u 2 u 3 )du 2 ; (v 2 h 2 )(u ; du =2 u 2 u 3 )du 2 ]= (v 2 h 2 )(u +du =2 u 2 u 3 ) ; (v 2 h 2 )(u ; du =2 u 2 u 3 ) h h 2 du = h h 2 Om vi summerar rektangelns ovre undre sida pa samma satt sa far vi e 3 -komponenten av rotationen blir da ; h h 2 e 3 rv = h h 2 u (v 2 h 2 ) : (39) u 2 (v h ) : (40) u (v 2 h 2 ) ; u 2 (v h ) : (4) De andra komponenterna kan beraknas genom att permutera indexen. Pa determinantform blir rotationen rv = h h 2 h 3 he h2e 2 h3e 3 u u2 u3 h v h 2 v 2 h 3 v 3 : (42) Exempel: Rotationen i cylindriska koordinater blir = v z ; z (v ) = v z ; v z ^ + vr ^ + v r z z ; v z r ; v z r rv = ^ + ^ + ^ ^ ^z z v v v z (v ) ; v v (v ) ; ^z ^z: (43) 4
5 3 Sfariska koordinater Med sfariska koordinater skriver vi ortsvektorn som r =(r sin cos r sin sin r cos ). Da far vi de tre tangentvektorerna Detta ger oss skalfaktorerna r = (sin cos sin sin cos ) (44) r r =(rcos cos r cos sin ;r sin ) (45) r =(;r sin sin r sin cos 0) : (46) h r = ; sin 2 cos 2 + sin 2 sin 2 +cos 2 =2 = (47) h = ; r 2 cos 2 cos 2 + r 2 cos 2 sin 2 + r 2 sin 2 =2 = r (48) h = ; r 2 sin 2 sin 2 + r 2 sin 2 cos 2 =2 = r sin : (49) Vi kan nu skriva vara dierentialoperatorer som rv = r sin rv = r 2 r r 2 f = r 2 f r 2 r r (sin v ) ; v rf = f ^r + f ^ + f ^: (50) r r r sin ;r 2 v r + + r sin (sin v )+ v r sin (5) sin r 2 f 2 f + sin r 2 sin 2 2 (52) ^r + v r r sin ; r (rv ) ^ + r r (rv ) ; v r ^: (53) 4 Rakneregler for dierentialoperatorer Precis som vi har rakneregler for derivatorer, sa kan vi harleda rakneregler for vara dierentialoperatorer. Det ar da viktigt att komma ihag att falten pa de bada sidorna av likhetstecknet skall vara av samma typ, det vill saga om vi har ett skalart falt till vanster om likhetstecknet skall vi ha ett skalart falt till hoger om likhetstecknet, om vi har ett vektorfalt till vanster om likhetstecknet skall ocksa faltet till hoger vara ett vektorfalt. Pa sa satt kan man resonera sig fram till nagra av raknereglerna. 4. Gradient, divergens rotation av en produkt av falt For vanliga funktioner f g galler att d dx df (fg)= dx g + f dg dx : (54) Om vi istallet betraktar r(fg), dar f g ar skalara falt, ser vi att det resulterande faltet skall vara ett vektorfalt, att vi maste derivera ett av falten at gangen. Om vi tar gradienten 5
6 av ett skalart falt, sa far vi ett vektorfalt om vi sedan multiplicerar med ytterligare ett skalart falt, sa har vi fortfarande ett vektorfalt, alltsa bor raknereglen galla. Pa liknande satt kan vi resonera oss fram till r (fg)=frg + grf (55) r(fu) =rf u + fr u (56) r(fu) =rf u + fr u: (57) De mer komplexa sambanden nedan ar dock svarare att harleda. I princip kan man visa dem genom att skriva ut ekvationerna komponentvis, men en eektivare metod ar att anvanda den indexnotation som beskrivs i Matthews. Indexnotationen ar ett eektivt verktyg i stora delar av den teoretiska fysiken. r(a B) =B (ra) ; A (rb) (58) r(a B) =(B r) A ; (ra) B ; (A r) B +(rb) A (59) r (A B) =(A r) B +(B r) A + A (r B)+B (r A) : (60) Har skall vi tolka A rsom A r= A + x x A y + y A z z (6) 4.2 Kombinationer med tva vektoroperatorer Man kan ocksa kombinera tva vektoroperatorer med ett falt. Ett enkelt vanligt exempel pa detta ar att vi vill berakna rotationen ett ett vektorfalt av formen r. Detta ger oss i kartesiska koordinater rr = r 2 = x x y y z = 2 z x y z 2 : (62) Operatorn r 2 kallas for Laplace-operatorn. Analogt kan man deniera Laplace-operatorn for ett vektorfalt r 2 u = ; r 2 u x r 2 u y r 2 u z (63) men denna kan ocksa beraknas ur ekvationen r 2 A = r (ra) ;r(ra) : (64) Lagg har marke till att det nns enkla uttryck for Laplace-operatorn for ett skalart falt i kroklinjiga koordinater (se ovan), men inget sadant uttryck existerar for Laplace-operatorn for ett vektorfalt, utan om vi vill applicera Laplace-operatorn pa ett vektorfalt, sa maste vi ga tillbaka till ekv. (64). Tva viktiga samband, vilka dessutom ar enkla att harleda, ar rrf =0 (65) r(rf) =0: (66) 6
Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 17, 2018 2. Kroklinjiga koordinater Allmänt behöver vi tre parametrar
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs merAppendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs mer* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merAB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 4, 2018 1. Fält och derivator Ett fält är en fysikalisk storhet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merVIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs mer0. Introduktion, matematisk bakgrund
0. Introduktion, matematisk bakgrund Kai Nordlund vt. 2013. Dessa anteckningar baserar sig i mycket stor utsträckning på anteckningarna förberedda av FD Krister Henriksson till kursen ht. 2005. Vissa delar,
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Löningförlag Fredag 8 juni 8 8:-3: SF74 Flervariabelanaly Inga hjälpmedel är tillåtna Ma: 4 poäng (4 poäng Rita följande mängder i R : (a A {(, y R ma(, y } (b B {(, y R + y 4 4 4y y } (c C {(,
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs mer4 Integrering av vektorfält
4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs mer4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y
ATM-Matematik Mikael Forsberg 7- För studenter i Flervariabelanals Flervariabelanals mkb 6 krivtid: 9:-:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams alculus, dessa formler bifogas tentan.
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs merEn första kurs i matematisk fysik
En första kurs i matematisk fysik Martin Cederwall 1 Christian Forssén 1 1 Institutionen for fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Aug 31, 2017 Förord. Detta kompendium är tänkt att användas i kursen Vektorfält
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merb) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.
Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merLäsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merFöreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt
Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs mer