Exempelsamling Vektoranalys
|
|
- Karolina Lundberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Exempelsamling ektoranalys Teoretisk Fysik, KTH Kapitel 4&5 i EKTORANALY Anders Ramgard 3:e upplagan () (med justeringar gjorda den 9 augusti 8) Exempelsamling ektorfunktioner, parameterframställning av rymdkurvor och rymdytor. Rita pilar med lämpligt vald storlek och riktning för att illustrera följande vektorfunktioner i xy-planet: a) (y, x) b) (x, y) c) (y, ) d) (, x) e) (y, x)/ x + y f) (, y). Kurvan y y(x) kallas en fältlinje till vektorfunktionen F(x, y), om F(x, y) är tangent till kurvan för alla x. a) isa att fältlinjerna y y(x) till en vektorfunktion F(x, y) (F x (x, y), F y (x, y)) är lösningar till differentialekvationen dy dx F y F x. b) Bestäm fältlinjerna till alla funktionerna i problem. Rita några fältlinjer och jämför med figurerna i problem. 3. kriv ner en formel för och skissa vektorfältet som: a) pekar radiellt utåt fran origo och har längd b) pekar radiellt utåt fran origo och har längd x c) pekar radiellt inåt mot origo och har längd lika med avståndet från origo d) pekar mot punkten (,, 3x) och har längd 3xy. 4. En partikel rör sig i xy-planet så att läget r(t) vid tiden t ges av r(t) (a cosωt, b sinωt), där a, b, ω är konstanter. a) Hur långt från origo är partikeln vid tiden t? b) Bestäm hastigheten och accelerationen som funktioner av tiden. c) isa att partikeln rör sig i en elliptisk bana ( x ) ( y ) + a b
2 3 5. Bestäm en enhetsnormal ˆn till följande ytor, genom att uttrycka ytorna på parameterform: a) z x y b) z x + y c) z ( x ) /, x d) z (x + y ) /, x, y e) (x/a) + (y/b) + (z/c) f) r(u, v) (u + v, u v, uv) a) x y 6. b) x y z.. Bestäm ekvationerna för normallinjen och tangentplanet till ytan i exempel b i punkten (,, ). Använd att n är proportionell mot Gradienten r u r v. 6. a) isa att enhetsnormalen till planet ax + by + cz d ges av ˆn ± ae x + be y + ce z a + b + c. b) Förklara geometriskt varför detta uttryck inte innehåller d. 7. Bestäm normalriktningen i punkten u 3, v 4 till ytan r(u, v) (u v )e x + u + v e y + (u + v )e z samt ekvationen för tangentplanet i denna punkt. 8. ilken typ av yta representerar ekvationen x +y z? Bestäm normalvektorn n i punkterna (,-,) och (,,). 9. ektorn R(u) satisfierar differentialekvationen dr(u) du A(u) R(u), där A(u) är en given vektorvärd funktion. isa att R:s absolutbelopp är konstant. Ledning: Derivera R R.. Ange en enkel parameterframställning r r(u) för kurvan 4x y x + y z från punkten (,, ) till (,, 5). Bestäm tangentriktningen i punkten (/4,, 7/6).. kissera utseendet av och ange parameterframställningar r r(u, v) för ytorna 3. Bestäm gradienten av följande skalära funktioner: a) f(x, y, z) x + y + z b) f(x, y, z) x + y + 3z c) f(x, y, z) /(x + y + z) d) f(x, y, z) (x + y + z) 3 e) f(x, y, z) x + y + z f) f(x, y, z) x + y + z g) f(x, y, z) /(x + y + z ) h) f(x, y, z) xyz 4. Bestäm riktningsderivatan i riktningen (,, )/ 6 av φ xyz i punkten (,, 3) a) direkt ur definitionen av riktningsderivatan som ett gränsvärde, b) med hjälp av gradienten. 5. a) Bestäm nivåytorna och gradienten till fältet φ xyz; x, y, z. b) Demonstrera att dessa är ortogonala. 6. Bestäm gradienten av skalärfältet f(x, y, z) e xy lnz. 7. Bestäm riktningsderivatan i punkten P : r (,, ) och riktningen (,, ) av fälten a) f(x, y, z) x + y + z b) f(x, y, z) e (x +y z )
3 kalärfältet φ(x, y) x 3 yx 6y + 5 beskriver höjden hos ett berg i punkten (x, y). I vilken riktning utgående från punkten (, ) är det brantast nedåt? 9. Temperaturen i ett rum beskrivs av skalärfältet T x + yz z En frusen mygga befinner sig i punkten (,, ). [ ]. a) I vilken riktning skall myggan flyga om den vill bli varm så fort som möjligt? b) Hur snabbt (uttryckt i /s) ökar temperaturen om myggan flyger med hastigheten 3 längdenheter/s i riktningen (,, )? Linjeintegraler 4. Beräkna A(r) dr för följande vektorfält A och kurvor a) A(x, y) ye x + xe y och : enhetscirkeln i moturs riktning. b) A(x, y) ye x + xe y och : enhetscirkeln i moturs riktning. c) A(x, y) x ye x + (x 3 + y 3 )e y och : enhetscirkeln i moturs riktning. d) A(x, y) 3xye x ye y och : triangeln med hörn i (, ), (, ), (, ) i moturs riktning. e) A(x, y) 3(x y)e x + x 5 e y och : triangeln i (d).. Bestäm ekvationerna för normallinjen och tangentplanet till ytan x y z i punkten (,, ) med hjälp av gradienten.. Andragradsytan skärs av planet x + xy + zx x + y + z x y + z +. ilken vinkel bildar de båda ytorna med varandra i punkten (,, )?. kalärfältet φ(x, y, z) xyz + x + y + z y är givet. Använd gradientens egenskaper för att approximativt beräkna det vinkelräta avståndet från punkten (,, ) på nivåytan φ, till nivåytan φ,3. 3. Temperaturen i en kropp anges av skalärfältet T(r) x + y + z + xy + yz [ ]. Betrakta temperaturvariationerna i olika riktningar från punkten P : r (,, 3) och visa att alla riktningar i vilka temperaturen minskar /längdenhet bildar samma vinkel α med den riktning e i vilken temperaturen växer snabbast. Bestäm α och e. 5. Utnyttja att vektorfältet A har en potential för att beräkna b a A dr. a) A(x, y) (3x y, x 3 y), a (, ),b (3, ). b) A(x, y) e xy ( + xy, x ), a (, ),b (, 999). 6. Beräkna linjeintegralen A(r) dr, där a) A(x, y, z) (x, y, z), : r(t) (t 3, t, t) från t till t. b) A(x, y, z) (x, y, z ), : r(t) (sint, cost, t) från t till t π. 7. isa att A(x, y, z) (y/z, x/z, xy/z ) har en potential och använd denna för att beräkna A(r) dr, där är en styckvis slät kurva från r (,, ) till r (,, 3), som inte passerar ytan z. 8. Undersök om följande vektorfält har en potential: a) A (xyz, x z +, x y). b) B (x z, yz, x + z).
4 Beräkna linjeintegralen av vektorfältet Flödesintegraler A ( y, xy, ) längs vägen a) i ex.. b) räta linjen från (,, ) till (,, ) samt därifrån raka vägen till (,, 5). 3. Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A (xyz, x z +, x y) från punkten (,, ) till punkten (,, ). ORRET: Path not given (true that it does not depend on path, but strange formulation) 3. a, b och c är konstanta linjärt oberoende vektorer och r är ortsvektorn. Bestäm integralen A dr med och som kurvan genomlöpt från t till t π/. A a(b r) + b(r a) + r(a b) r r(t) acost + b sint + csin t 3. Beräkna integralen F dr, där F (yz, xz, xy) och är kurvan x a cosϕ y b sinϕ z c sinh ϕ π från (a,, ) till punkten ( a/, b/, c sinh(5/4)). 33. Beräkna flödesintegralen A d för följande vektorfält och ytor (valfri normalriktning): a) A (xy, z, ), : z x + y, x, y 4. b) A (,, 3), : x + y + z, z. c) A (x, xz, z), : y x + z, x + z 4 d) A (x, y, z ), : enhetssfären. e) A (x 3, y 3, z 3 ), : enhetssfären. 34. Beräkna flödet av vektorfältet A (x, y, z) ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origo a) med hjälp av parametriseringen r R(sinu cosv, sinusinv, cosu). b) genom att sätta n (x, y, z)/r samt använda symmetribetraktelser. 35. Beräkna flödet av vektorfältet genom ytan A (x y, (x + y), (x y) ) r (u + v, u v, uv), u, v, n e z >. 36. Beräkna flödet av vektorfältet genom skruvytan A (x, z, y) r (u, v cosu, v sinu), u π, v, n e x >.
5 8 9 Beräkning av divergens och rotation 37. Beräkna divergensen och rotationen av följande vektorfält: a) A(x, y, z) (x, y, z). b) A(x, y, z) (x y, y z, z x). c) A(x, y, z) (yz, xz, xy). d) A(x, y, z) (lnx, lny, lnz). e) A(x, y, z) (e yz, e zx, e xy ). f) A(x, y, z) (cosy, cosx, cos z). a) A(x, y, z) rot(e xy, arctanz, (x + y + z) 7/ z ) och : enhetssfären. b) A(x, y, z) (x, y, 3z) och : enhetssfären c) A(x, y, z) (4x, y, z) och : cylindern x + y 9, z 6 d) A(x, y, z) (x(y + z ),, ) och : randen av kuben x, y, z e) A(x, y, z) (xz, x y, xyz) och : sfären (x ) + (y ) + (z + 3) erifiera att Gauss sats gäller för vektorfältet A (xz, yz, 3xy) och volymen : cylindern x + y 4, z Använd Gauss sats för att beräkna flödet i ex Beräkna rotationen av vektorfältet A(x, y, z) (xyz, x z, x y). 39. Beräkna divergensen av vektorfältet A(r) (xln z + e yz, x z ln x e x z, z z lnz). 4. Beräkna rotationen av vektorfältet A(x, y, z) e (x +y +z ) (,, ). 47. Beräkna A d, där fältet A är A (x 3, y 3, z 3 ) och är ytan som omslutar halvsklotet x + y + z R x + y. 4. Beräkna A rota där A (y, z, x). 4. Beräkna a) gradf, b) rota, c) div gradf, d) divb, e) div(a B) samt f) rotrota, för i) A x e y, B ze z, f y ii) A (x y, z 3, xy), B ((x + y), y + z, z + x), f xy z isa att vektorfältet A(x, y) x y(4, x/y) är konservativt och bestäm dess potential. Gauss sats 48. Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet A (xz, xy, z + ) ut ur den cylindriska burk som avgränsas av ytorna x + y, z, z. Kontrolleraresultatet genom att beräkna flödet direkt. 49. Beräkna med hjälp av Gauss sats flödet av vektorfältet A (xy, y 3 xy, z ) ut ur den ändliga volym som begränsas av ytorna 44. Beräkna för följande vektorfält och ytor: A d y + y x + z och y 4.
6 5. Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet genom den del av ytan A (xy + x, + yz, z 4 ) x + (y ) + z 4 för vilken y. Normalriktningen är vald så att ˆn e y i punkten (, 3, ). 5. Beräkna (x + x 3 z)ˆnd, där är en sfär med medelpunkten (,, ) och radien. Normalen ˆn pekar utåt. 5. ektorfältet A(r) är källfritt i området. På :s randyta är isa att A(r) (,, ). A d (,, ). Ledning: Tillämpa Gauss sats på vektorfälten xa(r), ya(r) och za(r). a) A(x, y, z) (x+y, y 3z, z x) och : enhetscirkeln i xy-planet, orienterad moturs. b) A(x, y, z) xye y och : triangeln med hörn i punkterna (,, ), (,, ), (,, ), orienterad moturs sett mot origo. c) A(x, y, z) (, x, z ) och : gränskurvan till delen av ytan x +y 3 +z 4 som ligger i första oktanten, orienterad moturs sett mot origo. 56. erifiera att tokes sats gäller för vektorfältet A (z, x, y 3 ) och ytan : de tre trianglarna i koordinatplanen med hörn i (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), orienterad moturs sett mot origo. 57. Beräkna linjeintegralen av vektorfältet längs den slutna kurvan A (y + x, x + z, y) r (cosu, sinu, f(u)), u : π som går ett varv runt cylindern x +y men för övrigt är godtycklig, f() f(π). a) direkt. b) med hjälp av tokes sats. 53. Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet ut genom ytan 54. Ett vektorfält har potentialen A (x 3 + y, y 3, z 3 3z + 3z) x + y + (z ). φ x + y + z (x + y + z ). Genom vilken sluten yta är flödet av vektorfältet maximalt? Beräkna det maximala flödet. tokes sats 55. Beräkna A dr för följande vektorfält och kurvor : 58. Beräkna medelst tokes sats cirkulationen av vektorfältet längs skärningslinjen mellan ytorna A (yz + y z, xz + 5x, xy + y) x + y + z och x + y. är orienterad så att dess positiva riktning i punkten (,, ) ges av vektorn (,, ). 59. Beräkna med hjälp av tokes sats linjeintegralen av vektorfältet A (xz, xy + z, xy + z) längs kurvan som sammansätts av delarna : x, y + z, z >, y : : z, x + y, y : 3 : z, x y, y :
7 3 6. Beräkna integralen A dr, där A e x (x a(y + z)) + e y (y az) + e z (z a(x + y)) och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern (x a) + y a och sfären z x + y + z R (R > 4a ). Omloppsriktningen är sådan att vid x är kurvans tangentvektor parallell med e y. Indexräkning 63. Låt f r 3, g /r, A (x, y, z ) och B (z, y, x). Förenkla följande uttryck, dels genom att använda direkt beräkning, dels genom indexräkning: a) grad(fg) b) div(fa) c) rot(fa) d) grad(a B) e) div(a B) f) rot(a B) g) (A )B h) (A ) B 6. ektorfältet A ges av A (x y, y z, z x) och kurvan är skärningen mellan ellipsoiden och koordinatplanen Beräkna integralen x a + y b + z c x x x y y y z z z A dr om omloppsriktningen är sådan att i xy-planet (r dr) e z. 6. Använd tokes sats för att beräkna linjeintegralen av vektorfältet A (yz + z, xy x + z, xy + 5y) längs skärningslinjen mellan cylindern x + z 4 och planet x + y. Kurvan är orienterad så att dess tangentvektor i punkten (,, ) är (,, ). 64. Använd indexräkning för att ställa upp formlerna: a) rot(φa)... b) rot(a B)... c) div rota... d) (B ) rota... e) (B )(φa)... f) (B )(A B)... g) A ( A)... h) (A ) A isa att a) gradφ(r) dφ r dr r b) grad(a r) a c) divr 3 d) div(φ(r)r) 3φ(r) + r dφ dr e) div(a r) f) div((r a) r) a r g) rot(φ(r)r) h) rot((a r) b) b a r (x, y, z) är ortsvektorn, r x + y + z är ortsvektorns belopp, a och b är konstanta vektorer.
8 Låt φ vara ett skalärfält som satisfierar Laplaces ekvation, dvs. φ och a (a x, a y, a z ) en konstant vektor. Förenkla så långt som möjligt uttrycken a) A grad(a gradφ). b) B rot(a gradφ). c) Beräkna A och B för specialfallet φ xyz. 67. Bestäm konstanten k så att värdet av vektorfältet A rot(r k (r a)) i varje punkt P blir en vektor, som är parallell med ortsvektorn r från origo till P. a är en konstant vektor. 68. ektorn a är en konstant vektor och r (x, y, z) är ortsvektorn. Beräkna ( a r ) ( ) a r grad r 3 + rot r 3. De utnyttjade operatorformlerna skall motiveras utförligt med indexräkning. Integralsatser 7. En kropp med den glatta begränsningsytan har volymen. Beräkna integralen d (a r), där r är ortsvektorn och a en konstant vektor. 73. Omforma linjeintegralen r dr till en ytintegral över en yta, vilken har som sin randkurva. Hur skall :s och :s orienteringar vara relaterade? 74. isa att r rotad A d om A på randytan till integrationsområdet. 69. Låt a, b och c vara konstanta vektorer och r (x, y, z) vara ortsvektorn. Härled ett nödvändigt och tillräckligt villkor på a, b och c för att cirkulationen av vektorfältet A (a r) (b r) skall vara noll längs varje sluten kurva, som ligger på en nivåyta till skalärfältet φ(r) c r. 75. Beräkna integralen A B d. ektorfältet A har en skalär potential i området och :s begränsningsyta är en ekvipotentialyta för denna potential. ektorfältet B är källfritt i. Ledning: Integrera formeln div(φb)... över. 7. Det magnetiska fältet B är källfritt och har följaktligen en vektorpotential A. isa att A(r) k r B + gradψ är en vektorpotential för det homogena magnetfältet B(r) B (B konstant vektor) förutsatt att konstanten k ges ett lämpligt värde. Beräkna k samt ange villkor på skalärfältet ψ. 7. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω rad/s kring en axel, vars riktning anges av enhetsvektorn ˆn. isa att rotationen för hastighetsfältet ges av v ωˆn r rotv ωˆn. 76. Beräkna ytintegralen (a r) d, där a är en konstant vektor, r är ortsvektorn och är ytan av en enhetssfär med centrum i punkten b. 77. Beräkna integralen (a r)dr, där är en cirkel med radien, vilken ligger i planet r b. a och b är konstanta vektorer och r är ortsvektorn.
9 Beräkna integralen där är sfärytan och skalärfältet ges av x + y + z φˆn d, φ x + y 5z. 79. Beräkna integralen A ˆn d, där A (, z, y) och är cylinderytan med normalen riktad ut från z-axeln. (ˆn pekar utåt), x + y, z 83. Bestäm integralen r dr, där är ellipsen x + y a z a + x med sådan omloppsriktning att projektionen i xy-planet genomlöps moturs, a) genom direkt beräkning. b) genom att använda tokes universalsats. 84. Den slutna ytan är en nivåyta till skalärfältet ψ(x, y, z). Beräkna integralen gradφ gradψ d över det av inneslutna området. ilka förutsättningar rörande skalärfälten φ och ψ måste man göra? Ledning: Utveckla rot(ψ gradφ). 8. isa med utgångspunkt från Gauss sats att ytintegralen (A ˆn)B d kan omformas till en volymsintegral över den av ytan omslutna volymen. ˆn är :s utåtriktade normal. ilka förutsättningar rörande vektorfälten A(r) och B(r) måste man göra? 8. Bestäm alla vektorfält A, för vilka gäller att A ˆnd sju gånger den av omslutna volymen, oberoende av :s läge och form. 8. kalärfälten φ(r) och ψ(r) är kontinuerligt deriverbara två gånger och ψ antar värdet ψ (konst.) på randkurvan till ytan. isa med hjälp av tokes sats att ytintegralen (gradφ gradψ) ˆn d. 85. Omforma linjeintegralen r (r dr) till en ytintegral över en yta, som är inspänd i kurvan. r (x, y, z) är ortsvektorn. 86. En sluten ledare, som genomflyts av en elektrisk ström med styrkan I, befinner sig i det homogena magnetfältet B (B konstant vektor). Kraftmomentet på ledaren är M I r (B dr), där r betecknar ortsvektorn. Omforma M till en ytintegral, som skall förenklas så mycket som möjligt. tudera särskiltspecialfalletatt ären cirkelmed radienr som liggeri planetr ˆn p. tokes sats skall användas. Ledning: kalärmultiplicera M med e i (i x, y, z). 87. Bestäm skalärfälten ψ(r) och φ(r) så att ytintegralen ((r ˆn)gradψ + φˆn)d blir lika med linjeintegralen grad r dr
10 8 9 längs :s slutna randkurva. ˆn är :s normalvektor. arken eller går genom origo. tokes sats men ingen annan integralsats får förutsättas bekant. 88. Använd en integralsats för att beräkna integralen (xz + xy + z 3 )ˆn d, där är den del av ytan z x + y för vilken z. Ytans orientering är sådan att normalen ˆn har negativ z-komponent. ylinderkoordinater 89. Beräkna vinkeln mellan ytorna i punkten ρ cosϕ och z ρ sinϕ ρ, ϕ π 4, z. Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater. 9. Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältet Punkten P har koordinaterna T ρ + z cos ϕ. ρ, ϕ π 4, z. Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ e ϕ? I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor är den maximala temperaturökningen per längdenhet? 9. Ett vektorfält har potentialen ( ) a ρ + bρ sinϕ, där a och b är konstanter. Beräkna vektorfältets flöde ut genom en sluten yta, som ej skärs av z-axeln. 9. isa att vektorfältet A z sin ϕe ρ + (z sin ϕ z ρ sinϕ)e ϕ + (cosϕ + ρz sin ϕ)e z har en skalär potential φ(ρ, ϕ, z). Beräkna sedan linjeintegralen Q P A dr, där P och Q har koordinaterna: ρ P, ϕ P π 6, z P ρ Q 5, ϕ Q π, z Q
11 93. ektorfältet satisfierar ekvationen A(ρ, ϕ, z) f(ρ)e ϕ A. Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrota..., vilken skall uppställas med indexräkning. 94. isa att cirkulationen av vektorfältet cosϕ ρ e ρ + sinϕ ρ e ϕ runt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll. 95. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω. a) Uttryck kroppens hastighetsfältv v(r) i ett cylindrisktkoordinatsystem, vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln. b) isa att vektorfältet har en vektorpotential A. c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formen och som är så allmän som möjligt. A A ρ (ρ, ϕ, z)e ρ Räkningarna skall utföras i cylinderkoordinater. 96. En elektriskström I flyter i en oändlig, rakcylindrisktråd med radienr. Magnetfältet B utanför tråden är B(r) Iµ e ϕ π ρ, ρ > R. a) isa att divb så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotential av formen A A z (ρ)e z. (Funktionen A z (ρ) skall beräknas.) b) isa att rotb för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potential φ sådan att B gradφ i området ρ > R. 97. Beräkna e ϕ, där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som är associerad med vinkeln ϕ. Ledning: Använd vektorformeln rotrota..., vilken inte behöver bevisas. färiska koordinater 98. Låt ψ cos θ r, A sin θ r e ϕ, där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom x r sinθ cosϕ y r sinθ sinϕ z r cosθ Beräkna a) ψ. b) A. c) ψ och ( A). 99. Genom att tillämpa indexräkning på rotrota kan man få ett uttryck på A. a) Genomför detta. Använd det erhållna uttrycket för att bestämma b) e r. c) e ϕ. Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.. Punkten P ligger på rotationsellipsoiden 3 r 3 + cosθ. Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origo till P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.. Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältet Punkten P har koordinaterna p r sinθ cosϕ. r, θ π, ϕ π 4. Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ? I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är den maximala tryckökningen per längdenhet? Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.
12 3. Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältet T + cosθ r. Punkten P har de sfäriska koordinaterna r, θ π, ϕ π 4. Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ? I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor är den maximala temperaturökningen per längdenhet? Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater. 3. isa att vektorfältet har en skalär potential φ. A 3 cos θ r 4 e r + Använd potentialen för att beräkna linjeintegralen där P:s koordinater är och Q:s koordinater är Q P A dr, sin θ r 4 e θ r, θ π 4, ϕ r 3, θ π, ϕ π. Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ A i sfäriska koordinaterenligt samma princip som tillämpas i kartesiska koordinater. 4. Ett vektorfält A ges av a) Beräkna rota. b) Beräkna diva. A r 3 (cosθ e θ sin θ e r ) c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A gradψ? Motivera svaret och bestäm om svaret är jakande funktionen ψ. 5. ektorfältet e r r är källfritt för r och har följaktligen en vektorpotential A. Beräkna den allmännast möjliga vektorpotential A som dels kan skrivas på formen A A ϕ (r, θ, ϕ)e ϕ ochdels ärkällfri. Denerhållnavektorpotentialenärejdefinieradivissapunkter im rummet. Ange dessa punkter. 6. isa att linjeintegralen från punkten P: till punkten Q: Q P ( r e r + ) r sinθ e ϕ dr r, θ ϕ π r 3, θ π 4, ϕ 3π är oberoende av vägen, förutsatt att vägen ej skär planet ϕ π eller z-axeln. Beräkna även integralens värde. 7. Använd tokes sats för att beräkna linjeintegralen (sinθ e θ + sinθ e ϕ ) dr, där är skärningen mellan en sfär med medelpunkten i origo och radien samt de delar av planen x, y, z för vilka x, y, z. Kurvans orientering, som du får välja själv, skall tydligt anges. Kontrollera resultatet genom direkt integration. 8. Beräkna integralen e θ d, där har ekvationen 9. Beräkna cirkulationen av vektorfältet x + y + z, x, y, z. cosϕ r sinθ e cosθ cosϕ r + r sin θ e θ + sinϕ r sin θ e ϕ längs en sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, men för övrigt är godtycklig.
13 4 5. Låt a vara en konstant vektor och r ortsvektorn. Beräkna a) grad(a r) b) div(a r) c) rot(a r) genom att försttransformerafälten a r resp. a r till ett lämpligt valtsfäriskt koordinatsystem, samt därefter tillämpa uttrycken på grad, div och rot i ett sfäriskt koordinatsystem.. Beräkna ( ) sinθ r e θ. Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinatermed hjälp av formeln A graddiva rotrota. 5. Beräkna flödet av vektorfältet ( ) grad (x 3) + (y + ) + z + xy3 ut ur en sfär med radien 3 och medelpunkten (,, ). 6. En kvadrupol i origo ger upphov till vektorfältet 3 cos θ sin θ r 4 e r + r 4 e θ. Använd Gauss sats för att beräkna flödet av detta fält ut ur cylindern x + y 9. z. Beräkna e θ. Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater. Några viktiga vektorfält 3. a) isa med direkt beräkning att Gauss sats inte gäller för A(x, y, z) (x, y, z) (x + y + z ) 3/, där är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen. arför gäller inte satsen? b) Bekräfta med direkt integration att Gauss sats gäller för vektorfälteta i (a) när är ytan med radie R plus ytan med radie R, och är volymen mellan och. c) ilket villkor måste ytan uppfylla för att Gauss sats skall vara uppfylld för A i (a)? 4. Beräkna flödet av vektorfältet ut ur området grad ( q ) r c + pz4 x + y 4c. z c 7. Beräkna flödet av vektorfältet ( ) grad lnρ + ρ + z ut ur området a) med hjälp av Gauss sats. b) genom direkt integration. 8. Beräkna flödet av vektorfältet ut genom rotationsellipsoiden a) med hjälp av Gauss sats. b) genom direkt integration. ρ + z r r e r cosθ ilket svar hade man fått om fältet istället hade varit r e r?
14 Beräkna linjeintegralen L ρ e ϕ dr längs den slutna kurvan L enligt figuren. z Fältlinjer 4. Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältet A (xz, yz, x y ). L Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (,, ) och finn den fältlinjens skärningspunkt med planet x + y. x y 5. Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältet ρ cosϕe ρ + ρ e ϕ + ρ sinϕe z. I vilka punkter går fältlinjen genom punkten ρ 3, ϕ π, z. Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet z ρ e ρ ρ ut ur området x + y + (z ) 4.. isa att påståendet i exempel 94 gäller även om kurvan omsluter z-axeln.. Polerna i en dipol har styrkorna ±q och sammanbinds av vektorn a (spetsen i pluspolen). Bestäm flödet av dipolfältet ut ur en sluten yta som a) omsluter bägge polerna. b) omsluter endast pluspolen. c) inte omsluter någon pol. 3. Beräkna flödet av vektorfältet (e r) (e r) A(r) r ut genom en godtycklig sluten yta som begränsar ett område som innehåller origo. e är en konstant enhetsvektor. Ledning: Använd sfäriska koordinater. r 5 genom planet y? 6. Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältet A grad cosθ r. Bestäm speciellt fältlinjen genom punkten r a, θ π 6, ϕ. Beräkna det största värde som avståndetmellan en punkt på denna fältlinje och origo kan anta. Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissons ekvationer 7. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvationför ett system avtvå parallella plattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ och den andra φ φ konstant. 8. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av två koncentriska sfäriska skal med radie R och R > R. fären med radie R har potential φ, och sfären med radie R har φ φ konstant.
15 På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialen ad är potentialen i origo? φ sinϕ cos 5 θ. 3. Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ m. Regntätheten är κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten: v v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ [m/s] som är ett medelvärde bildat över olika djup. attenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m. Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ? Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om ( ( ) ) ρ ρ κ k och v v e ρ (k, v konst.). ρ ρ 3. En platta av stor utsträckning begränsas av planen x och x d. Dessa begränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T resp. T d. Bestäm temperaturfördelningen i plattans inre, där Laplaces ekvation T gäller. 3. En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inre har radien R och potentialen, medan den yttre, vars radie är R, har potentialen. Potentialen satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarna och ärkontinuerligvid cylinderytorna. Bestäm potentialen och den elektriska fältstyrkan e grad i detta område. (Randeffekter försummas, dvs. får antas konstant i axelriktningen.) 33. En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialen. Potentialen (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplaces ekvation i den omgivande rymden. Bestäm (r) samt e grad. 34. Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G gradφ, där potentialfunktionen φ satisfierar ekvationen: φ γρ, där γ är en konstant och ρ är masstätheten. Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär (radie R) med konstant masstäthet ρ. 35. kalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i, och på :s begränsningsyta gäller φ f, där f är en given funktion. isa att för varje funktion ψ sådan att ψ f på gäller att (gradψ) d (gradφ) d. φ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger. 36. kalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i hela rummet. isa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas φ(, ) γ φd, där är cylinderytan Bestäm konstanten γ. ρ R, h z h. Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över det område som begränsas av ytorna ρ R, ρ ε, z h, z h. 37. Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp satisfierar Poissons ekvation T k κ(r). Den specifika värmeledningsförmågan k är en konstant och den givna funktionen κ(r) anger värmeproduktionen per volymsenhet och tidsenhet i kroppen. Kroppens begränsningsyta hålls vid den givna temperaturen θ(r). Genom mätningar av värmeflödet genom har man bestämt funktionen på. ˆn är :s utåtriktade normal. γ(r) k gradt ˆn isa att temperaturen i en godtycklig punkt r P kan uttryckas i de kända funktionerna κ(r), θ(r) och γ(r) enligt formeln: κ(r) T(r P ) a r r P d + b θ(r)(r r P ) ˆn r r P 3 d + γ(r) +c r r P d. Bestäm konstanterna a, b och c.
16 3 3 Ledning: Använd Greens andra teorem på skalärfälten r r P och T(r). Betrakta området mellan sfären r r P ε och randytan. 38. Potentialen i punkten r P från en dipol med dipolmomentet a, vilken befinner sig i punkten r, ges som bekant av φ(r P ) a (r P r) r P r 3. Låt vara en yta med randkurvan L. Ytan är likformigt belagd med infinitesimala dipoler så att summan av alla dipolmomenten i ytelementet ˆn d ges av vektorn σˆn d, där σ är en konstant. Potentialen i punkten r P från dipolytan blir i så fall σˆn (r P r) φ(r P ) r P r 3 d. a) isa att φ(r) är proportionell mot den rymdvinkel Ω som L upptar då den betraktas från punkten r P. b) Hur ändras potentialen då man passerar genom dipolytan? tudera speciellt fallet att är en sluten yta. 39. De slutna kurvorna och omsluter ytorna resp.. isa att ( ) ( ) (r r ) dr dr 4 d d. r (r ) är ortsvektorn för en punkt på ( ). dr (dr ) är linjeelement på ( ). Kroklinjiga koordinater 4. Beräkna skalfaktorer och enhetsvektorer för följande koordinattransformation, och kontrollera att basvektorerna är ortogonala: x u + u + 7u 3, y u 3u + u 3, z u + u 4u Beräkna volymsintegralen φ(x, y, z)d genom att göra det föreskrivna variabelbytet: a) φ(x, y, z) x + yz och : ellipsoiden (x/a) + (y/b) + (z/c). ariabelbyte: x au, y bu, z cu 3. b) φ(x, y, z) (x + yz) och : tetraedern som begränsas av koordinatplanen och planet x+y+z 6. ariabelbyte: x 6 u, y u u, z u a) Bestäm de normerade basvektorerna i det kroklinjiga koordinatsystemet u x y u xy. u 3 z och visa att de är ortogonala. b) Uttryck divergensen av ett vektorfält A A(u, u, u 3 ) i derivator av fältets komponenter längs dessa basvektorer. (varet skall endast innehålla koordinaterna u, u och u 3.) 43. Paraboliska koordinater u, v, ϕ, definieras av ekvationerna: x uv cosϕ y uv sinϕ z (u v ) a) Bestäm u, v, ϕ som funktioner av de kartesiska koordinaterna x, y, z. Ange variationsområdena för u, v, ϕ. b) Ange ekvationernaförkoordinatytorochkoordinatlinjersamtskisseraderas utseende. c) isa att de paraboliska koordinaterna är ortogonala. d) täll upp gradienten i paraboliska koordinater. e) Bestäm sambandet mellan basvektorsystemen e u, e v, e ϕ och e x, e y, e z. f) Referera ortsvektorn r samt punktkällans vektorfält e r r till paraboliska koordinater. 44. Betrakta de kroklinjiga koordinaterna u, v och w definierade genom u r sin θ v r cos θ, w ϕ där r, θ, ϕ är de sfäriska koordinaterna.
17 3 33 a) isa att u, v, w är ortogonala koordinater och bestäm skalfaktorerna h u, h v och h w. Ledning: Bestäm först u, v och w. b) Bestäm divergensen av vektorn A e u u + uv + e v v + uv. 45. För godtyckliga kroklinjiga koordinater kan man skriva φ φ u u + φ u u + φ u 3 u 3. () a) isa detta och använd () för att bestämma det villkor u, u och u 3 måste uppfylla för att φ ska få den enkla formen där φ φ h u + φ h u + φ h 3 u, 3 h i u i. b) Bestäm u (r), u (θ), u 3 (ϕ) så att φ får denna form och ge slutligen uttrycket för φ uttryckt i dessa koordinater. 46. De kroklinjiga koordinaterna u, v och w är definierade genom x a coshu cosv y a sinhusinv. z w Bestäm basvektorer och skalfaktorer samt sök den lösning till ekvationen φ som enbart beror av u, och på ellipserna x 5 + y 9 a 6 och x 5 + y 6 a 9 antar värdena och respektive. (u >, v <π.) 47. Ett kroklinjigt koordinatsystem (ξ, η, ζ) är givet genom ξ ρ y < ξ < η ρ + y η <. ζ z Här är ρ x + y och tecknet på ξ definieras genom x ξη. a) Bestäm de normerade basvektorerna e ξ, e η och e ζ samt transformationskoefficienterna a ik e i e k i ξ, η, ζ. Är (ξ, η, ζ) ett ortogonalt system? b) Bestäm skalfaktorerna och diva, där A ( ξ ξ + η (3η + ξ )e ξ + η ) (3ξ + η )e η. 48. Betrakta de ortogonala kroklinjiga koordinaterna u r( cosθ) v r( + cosθ). w ϕ Hur ser gradienten av ett fält φ och ortsvektorn r ut i det nya basvektorsystemet e u, e v, e w? 49. a) TransformeraLaplaces ekvation till paraboliska koordinateru, v, ϕ. b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ φ(u). c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierar Laplaces ekvation i sfäriska koordinater. 5. Ett skalärfält φ, som enbart beror av u r + z x + y + z + z satisfierar Laplaces ekvation φ jämte randvillkoren x 3a φ för y och φ φ för z 4a x y z a För att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur x uv cosϕ u < y uv sinϕ v <. z (u v ) ϕ < π isa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationen för φ samt bestäm φ.
18 34 35 Tensorräkning 5. a) isa att transformationen x i L ikx k med är en rotation. (L ik ) b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ). 5. En tensor har komponenterna A, A ik om i eller k, relativt det kartesiska koordinatsystemetk. Ange tensorns komponenter relativt koordinatsystemet K, som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensamma x 3 -axeln. a) δ ii. b) δ ij ε ijk. c) ε ijk ε ljk. d) ε ijk ε ijk. 56. isa att tensorer med följande komponenter är isotropa. a) A ijkl δ ij δ kl b) B ijkl δ ik δ jl + δ il δ jk c) ijkl ε nij ε nkl 57. A ij och B ij är kartesiska komponenter av tensorfält. isa att följande storheter är kartesiska komponenter av tensorfält och ange deras ordning. a) A ij B kl b) A ij B ji c) A ij x k A ij d) x i x k e) A ij A jk dx dx dx Tensorn A har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemet K: i + j 4 A ij i + j 4 Bestäm A ij i ett koordinatsystem K som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensamma x -axeln. 54. En andragradsyta har ekvationen A ij x i x j + B i x i i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K blir ekvationen A ij x i x j + B i x i. isa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer. 58. Användtensormetoderförattomformaföljande uttryck. Resultatenskallöversättas till gängse vektorbeteckningar. a) div rota b) (A B) rot c) rotrota d) rot(a B) e) div(r gradφ) f) rot(r gradφ) g) rot(r rota) h) div(gradφ gradψ) i) ((r )B) j) ((r ) B) k) (A )(B ) 55. Beräkna
19 isa att ((r ) (r ))φ (r )φ. 6. Användtensormetoderför attomvandlaföljande linjeintegralertill ytintegraler: a) A dr b) AB dr c) ε ijk A ij ds k där A ij är ett kartesiskt tensorfält. 6. Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma A φ d till en linjeintegral. 6. Omforma (gradφ GradA) d till en lineintegral. Med gradφ GradA avses (gradφ GradA) il ε ijk φ x j A l x k. 63. Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler: a) ( A)d b) (gradφ ) A d 64. kriv (B )A d som en ytintegral om B är ett källfritt fält. 65. I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket (d )E + d ( E) d( E), där E är ett vektorfält och en glatt yta. isa att uttrycket blir noll. 66. I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j j(r). Kraften på volymselementet d är då df j B d, där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gäller divb, roth j, B µ H. kriv kraften på en delvolym som en ytintegral av formen e i T ij d j och bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij. 67. En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna (T ik ). Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K så att a) b) c) (T ik) λ λ? λ 3 a b (T ik ) c d? e f a b c (T ik ) b? c
20 Den s.k. centifugalkraften F mω (ω r) där T ik D i E k D je j δ ik. definierar en vektorvärd funktion av r. a) isa att man kan associeradenna med en tensor och bestäm tensorns komponenter. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. 69. Potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagnetermed magnetiska momenten m och m placerade på avståndet r från varandra kan skrivas 7. Kraften φ (m )(m ) r. a) isa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyller ekvationen φ M ij m i m j. b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer. F ev B som verkarpå en laddad partikeli ett magnetfältb utgör en vektorvärdfunktion av partikelns hastighet v. a) isa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion. b) isa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde. Bestäm egenvektorn, som svarar mot det senare. 7. I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Den elektriska kraften på volymselementet d är ρ(r)e(r)d, där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att där φ är den elektriska potentialen. dive ε ρ E gradφ isa att totala kraften på en delvolym kan skrivas F e i T ik n k d, 7. Använd tensormetoder för att skriva (A diva A rota)d som en ytintegral över den yta som omsluter. användas dels på Resultatet skall sedan a) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A E där E lyder rote dive ρ(r) ε b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A B där B lyder divb, rotb µ i(r) med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten. Blandade vektortal 73. Den potentiella energin mellan två dipoler med dipolmomenten m och m på avståndet r kan skrivas: φ (m )(m ) r. Utveckla uttrycket så att beroendet av vinklarna mellan vektorerna m, m och r framgår. Bestäm värdet på φ för det fall att m e r m, m e r m, m m m m. 74. ektorpotentialen från en magnetisk dipol ges av A µ m r 4π r 3,
21 4 4 där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ är en konstant. Ur vektorpotentialenberäknas den magnetiska induktionen B enligt Bestäm B för r. B rota. 75. En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet sinθ cosϕ r. a) Hur snabbt ökar potentialen om man utgående från punkten rör sig i riktningen e r e ϕ? P : r, θ π/4, ϕ b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur stor är den maximala potentialökningen per längdenhet? 78. I ett plasma av hög täthet gäller att krafttätheten f kan skrivas f i B gradp, där i är strömtätheten, B magnetfältet och p trycket. Mellan i och B råder relationen rotb µ i. idare gäller divb. isa att f ) (B )B grad (p + B. µ µ 79. Kraften på en enhetsladdning från en dipol med dipolstyrkan p ges av ( ) cosθ sinθ F p e r r 3 + e θ r 3 förutsatt att origovalts i dipolen ochz-axelni dipolmomentets riktning. Bestäm divf och rotf för r. Arbetet skall utföras i sfäriska koordinater. 76. ambandet mellan laddningstätheten ρ(r) och den elektriska fältstyrkan E(r) i ett statiskt elektriskt fält ges av dive ε ρ(r), 8. ektorfälten A (x y, yz + z, xy ), B ( y, x, ) där ε är en konstant. Antag att man på ytan av en sfär med radiena och centrum i origomätt upp fältstyrkan och funnit E ρ a ( xs ε a, y s b, z ) s c () I () är (x s, y s, z s ) koordinater för punkter på. Observera att fältstyrkan i punkter (x, y, z) inuti sfären ej nödvändigtvis ges av (). Bestäm laddningen inom sfären. 77. I en stel kropp, som roterar kring en fix punkt kan hastighetsfältet skrivas och accelerationsfältet v(r) ω r a(r) ω r + ω (ω r). Bestäm divv, rotv, diva och rota. (ω och ω är funktioner endast av tiden.) är givna. Beräkna a) rota. b) (B )A. c) (A )B. d) A. 8. Beräkna integralen A rotbd, där vektorfältet A har en potential i området, vars begränsningsyta är en ekvipotentialyta för denna potential. 8. Beräkna flödet av vektorfältet A grad a r r 3 ut ur en kub med kantlängden, medelpunkten i origo och en rymddiagonal parallell med den konstanta vektorn a.
22 ektorfälten A(r) och B(r) är kontinuerligt deriverbara i det enkelt sammanhängande området. De båda fälten har samma divergens och rotation i. idare är deras normalkomponenter på :s begränsningsyta identiska. isa att i. A(r) B(r) 84. Ytan begränsas av en kurva, som är ekvipotentialkurva till ett skalärfält φ, dvs. φ(r) konstant för r. isa att ( φ ψ) d, där ψ ψ(r) är ett godtyckligt skalärfält. φ och ψ förutsätts kontinuerligt deriverbara. 85. För vilka värden på n uppfyller vektorfältet ekvationen A ρ n e ρ A m ρ A för ρ. Använd relationen rotrota... Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater. 87. En partikels rörelse beskrivs i cylinderkoordinaterav ekvationerna: ρ ϕ π + sinωt z cosωt. ω är en konstant och t är tiden. Beräkna beloppet av accelerationsvektorn. De totala differentialerna av de cylindriska basvektorerna är de ρ e ϕ dϕ, de ϕ e ρ dϕ, de z. 88. ektorfälten A r + a r, B (a r )a r + r r är givna. Bestäm A rotb d där är sfären r a. Ledning: Genomför partiell integration först. 86. Ett vektorfält av formen F(r) f(r)e r är källfritt för r. idare gäller att F d Q, där är ytan av sfären r R. a) Bestäm f(r) och rotf. b) Beräkna där är kurvan genomlöpt från ϕ till ϕ π. F dr, r a(e x sinϕ + e y 4 cosϕ + e z 3 π ϕ) 89. Använd tokes sats för att beräkna integralen (a r) dr, där är en enhetscirkel som ligger i planet b r p. a och b är konstanta vektorer och p är en konstant. Utnyttjade operatorformler skall uppställas med indexräkning. 9. isa att om F r cotθ e ϕ och φ φ(ϕ) så gäller för varje yta som omsluter volymen att φf d r φd r φd.
23 ektorfältet A är homogent av graden n, dvs. a) isa att (r )A na. Ledning: Derivera () m.a.p. λ. b) Beräkna div(r(r A)). 9. isa att ytintegralen A(λx, λy, λz) λ n A(x, y, z) () e r ˆn r 3 e r d kan omformas till en volymsintegralav typen gradφd över det av omslutna området, samt beräkna φ. Origo är en yttre punkt till. Ledning: Använd på lämpliga ställen att e r r/r. 93. ektorerna Eoch B uppfyller isa att E gradφ, B rota. E B d om begränsningsytan till är en ekvipotentialyta till φ. Ledning: tudera omsorgsfullt. div(φb)d 94. Bestäm den allmänna lösning A till ekvationen A som har rotationssymmetrikringz-axelnsamttranslationssymmetrim.a.p. förflyttning i z-riktningen. Ledning: arje vektorfält A som har de ovannämnda symmetriegenskaperna kan skrivas A A ρ (ρ)e ρ + A ϕ (ρ)e ϕ + A z (ρ)e z. 95. Beräkna integralen e ϕ ˆn d, där är ytan a) direkt. x + y + z x, y, z, ˆn e z b) med hjälp av en integralsats. Låt vara området x + y + z, x, y, z. 96. ektorfältet A är virvelfritt på ytan samt antar värdet noll på :s randkurva. isa att A ˆn d. Ledning: Tillämpa tokes sats på vektorfältet (e r)a, där e i tur och ordning sätts lika med e x, e y och e z. 97. Det två gånger kontinuerligt deriverbara, källfria vektorfältet A satisfierar Laplaces ekvation i och på :s begränsningsyta gäller att A ˆn, där är ett givet vektorfält som är definierat på. isa att för varje källfritt vektorfält B som är kontinuerligt deriverbart två gånger i samt satisfierar randvillkoret B ˆn på gäller att (rotb) d (rota) d. Ledning: ätt B A + D och använd formeln (A B) ektorfältet A har kontinuerliga andraderivator. isa att om A satisfierar ekvationen rota αa (α ), där α är en konstant, så följer därav att A satisfierar ekvationen ( + α )A. Utnyttjade operatorformler skall ställas upp med indexräkning. 99. Beräkna den allmänna lösning u(x, y, z) till den biharmoniska ekvationen ( u) som har
24 46 47 a) cylindersymmetri, dvs. u u( x + y ). b) sfärisk symmetri, dvs. u u( x + y + z ).. Beräkna integralen A B d. ektorfältet A är virvelfritt i området och vektorfältet B har en vektorpotential som är ortogonal mot :s begränsningsyta. Ledning: Använd formeln div(a B)..., som skall uppställas med hjälp av indexräkning.. Beräkna a) med användning av Gauss sats b) genom direkt integration integralen där I(R) φ d, φ e λr r och är ytan av en sfär med radien R och centrum i origo. ilka blir värdena av lim R λ I(R) och lim I(R) λ R<. En partikelrör sig i en spiralliknande bana på enhetssfärens yta så att dess läge vid tiden t ( t π) ges av r θ (π t) ϕ t Bestäm partikelns hastighetsvektoroch accelerationsvektorrefereradtill det lokala basvektorsystemet e r, e θ, e ϕ. De totala differentialerna av de sfäriska basvektorerna är: de r de θ de ϕ e θ dθ + sinθ e ϕ dϕ, e r dθ + cosθ e ϕ dϕ, sinθ e r dϕ cosθ e θ dϕ. var och lösningsanvisningar a) (x, y, z)/ x + y + z b) x (x, y, z)/ x + y + z c) (x, y, z) d) 3 xy (,, 3x)/ 5 + 9x 4. a) Avståndet a cos ωt + b sin ωt b) v ( aω sinωt, bω cosωt) a (aω cosωt, bω sinωt) ω r 5. a) (,, )/ 3 b) ( x, y, )/ + 4z c) (x,, z) d) ( x/z, y/z, )/ e) (x/a, y/b, z/c) f) (u + v, v u, )/ (u + v) + (v u) b) Två plan som har olika värden på d är parallella, och har därför samma enhetsnormal. 7. Normalriktningen: (,, /5); Tangentplanets ekvation: y + z En konyta; n (,, )/ ; ej definierad (konens spets). 9. d(r ) du R (A R), dvs. R konstant.. r (u /4, u, u + u 4 /6), u :, t (/,, 9/4).. a) r ( 6 coshu, 3sinhu, v) eller r (± 6 + u, u, v). b) r (u, v, (u v )/).
25 r (,, ) + u(,, ), x + y + z. 3. a) (,, ) b) (,, 3) c) (,, )/(x + y + z) d) 3(x + y + z) (,, ) e) (x, y, z) r f) (x, y, z)/ x + y + z g) (x, y, z)/(x + y + z ) h) (yz, xz, zy) 3. ( ) dt ds P (gradt) P e gradt P e e gradt P cosα (gradt) P (4,, ) ( ) gradt e gradt ( ) dt ds P α P (4,, ) gradt P cosα cosα ( arccos ) 4. 4/ 6 5. a) Nivåytor: φ c, gradient: (yz, xz, xy)/φ b) Ledning: isa att gradφ är ortogonal mot tangentvektorerna (x, y, c /xy)/ x och samma för y. 4. a) b) π c) π/ d) / e) 5/3 6. gradf (ye xy ln z, xe xy ln z, e xy /z) 7. a) ; b) /(e 3) 8. (, ) 9. a) (, 4, ) b) 5 /s. Betrakta nivåytan φ x y z. n P (gradφ) P (4, 4, ). Tangentplanets ekvation blir x + y + z.. π/. s φ gradφ (a) 3 (b) 6. a) 3/ b) (8π 3 )/3 7. A gradxy/z, integralen 5/3 8. a) φ x yz + y + b) potential saknas 9. a) 4/3 b) 4/3 3. φ(,, ) φ(,, ) 3. A dr {(b r)(a dr) + (a r)(b dr) + (a b)(r dr)}
26 5 5 d{(a r)(b r) + (a b) r } 38. (,, ) (a b)(b b) + (a b) b 3 (a b)(b a ) ty r() a och r(π/) b. 3. Man inser att F grad(xyz) dvs. F dr [(a a)(b a) + (a b)a ] är oberoende av vägen och F dr (xyz) P (xyz) ( a ) ( b ) c sinh a) 8/3 b) 3π c) 6π/3 d) 34. 4πR e) π/5 π (π ) 37. a) div A 3, rot A abc sinh 5 4 b) div A 3, rot A (,, ) c) div A, rot A d) div A /x + /y + /z, rot A e) div A, rot A e yz (, y, z) + e zx ( x,, z) + e xy (x, y, ) f) div A sinz, rot A (,, siny sinx) e (x +y +z ) (y z, z x, x y) 4. x + z, y + x, z + y) 4. (a) i) a) ye y, b) xe z, c), d), e) xz, f) -e y ii) a) y z 3 e x +xyz 3 e y +3xy z e z, b) (x+3z )e x +ye y x e z, c) xz 3 +6xy z, d) 3, e) x xy +y +yz x 3 +x y x z 3xz 3yz +z 3, f) (x 3z)e y 43. Därför att Fx y Fy x 4x/ y; 44. a) π b) 8π c) 6π d) 8/ πR e) 76π/5 F d 3 π π R Av symmetriskäl kan nämligen b) φ 4x y divfd 3(x + y + z )d r r dr sinθ dθ dϕ 3 4πR5 5 6π 5 R5 3r d över halvsfären sättas / gånger motsvarande integral över hela sfären. 3 π
27 sluten, A kontinuerligt deriverbar, dvs. Gauss sats kan användas. diva 3y + y x + z A d (3y + y x + z)d x symmetriplan till, x antisym. m.a.p. planet x z symmetriplan till, z antisym. m.a.p. planet z ( x + z)d har y-axeln till rotationsaxel d πr (y)dy π(y + y)dy 4 A d (3y + y)(y + y)π dy 4 4 7π xa d {Gauss sats} (xa)d [( x) A + x A }{{}}{{} ]d e x ex A d åledes är x-komponenten av den sökta integralen. På analogtsätt visas att även y- och z-komponenterna är. A d divad 3(x + y + (z ) )d Byt variabler x x, y y, z z, samt inför r x + y + z : 3 r d {d 4πr dr } π 5 r 5. Låt vara en cirkel i xz-planet med radie 3 och centrum i origo. A d (y + x + z + 8z 3 )d + där endast den första termen i integranden ger ett bidrag. De övriga termerna är antisymmetriska antingen m.a.p. planet x eller m.a.p planet z, och är symmetrisk med avseende på båda dessa plan. om integrationselementväljs en tunn cirkulärskiva medtjocklekendy på avståndet y från xz-planet, dvs. d π(4 (y ) )dy (x,, z 4 ) (,, )d π( 3) 6π 45 π ( 6π) 57 π 54. omsluter det område i vilket divgradφ >, dvs. sfären x + y + z < 3 Maximala flödet π 3/ a) π b) /6 c) 3/ / 57. π 5. (x + x 3 z)ˆnd { Gauss sats } ( + 3x z,, x 3 )d {symmetri i x, z} (,, )d ( ) 8π 3,, 58. π är randkurva till ytan + där : x, z y, ˆn (,, ) : z, x min{ + y, y}, ˆn (,, )
28 Alltså: rota (x, x y, y ) rota ˆn d π rota ˆn d y dxdy A dr π 6 A dr rota ae z rota d ( y)y dy 6 om kan vi välja cylinderns mantelyta plus botten. På mantelytan är rota d. i får alltså: A dr ae z d a dxdy πa 3 botten botten 6. Eftersom rota (,, ), ger tokes sats tillämpad på den yta som utgörs av koordinatplanen och begränsas av ellipsoiden: A dr dxdy + dy dz + dz dx 6. π (ab + bc + ca) 4 rota (x + 4,, y z) ˆn (,, ) A dr (x + 6)d 6 π 4π 63. a) r/r e r b) r 3 (x + y + z) + 3r(x 3 + y 3 + z 3 ) c) 3r(yz zy, zx xz, xy yx ) d) (xz + z, 3y, x + xz) e) 3 f) (x zy 3z, yz xy, 3x xy + z ) g) (z, y, x ) (här finns ingen indexräkning att göra!) h) (x z )(,, ) 64. a) [ (φa)] i ǫ ijk j (φa k ) ǫ ijk ( j φ)a k + φǫ ijk ( j A k ) [gradφ A + φrota] i b) [ (A B)] i ǫ ijk j (A B) k ǫ ijk ǫ klm j (A l B m ) (δ il δ jm δ im δ jl )(( j A l )B m + A l ( j B m )) ( m A i )B m + A i ( m B m ) ( l A l )B i A j ( j B i ) [(B )A + A divb B diva (A )B] i c) ( A) i ǫ ijk j A k d) [(B ) ( A)] i (ǫ ijk B j k )(ǫ ilm l A m ) (δ jl δ km δ jm δ kl )B j k ( l A m ) B l k ( l A k ) B m l ( l A m ) [ (B )A B ( )A] i e) [(B )(φa)] i B j j (φa i ) B j ( j φ)a i + φb j ( j A i ) [A(B φ) + φ(b )A] i f) [(B )(A B)] i B j j (ǫ ikl A k B l ) ǫ ikl B j {( j A k )B l + A k ( j B l )} ǫ ilk B l B j j A k + ǫ ikl A k B j j B l [ B (B )A + A (B )B] i g) [A ( A)] i ǫ ijk A j ( A) k ǫ ijk ǫ klm A j l A m (δ il δ jm δ im δ jl )A j l A m A m i A m A j j A i i(a m A m ) A j j A i [ grada (A )A] i
29 56 57 h) 65. a-g saknas h) alt. I: h) alt. II: ty och h) alt. III: ty eller [(A ) A] i ǫ ijk ( A) j A k ǫ ijk ǫ jlm A l m A k (δ kl δ im δ km δ il )A l m A k A k i A k A i k A k [ grada A diva] i (jfr g) [rot((a r) b)] i ǫ ijk j ((a r) b) k ǫ ijk ǫ klm j (a r) l b m ǫ ijk ǫ klm ǫ lpq a p b m j r q (δ il δ jm δ im δ jl )ǫ lpq a p b m j r q ǫ ipq a p b m m r q ǫ jpq a p b i j r q ǫ ipq a p b m δ mq ǫ jpq a p b i δ jq [a b] i rot((a r) b) {(8.4)} (b )(a r) b( (a r)) {ex. 64 f) och (8.3)} a (b )r + b(a ( r)) a b ( ) (b )r b x x + b y y + b z (x, y, z) (b x, b y, b z ) b z e x e y e z r x y z x y z rot((a r) b) rot(b (r a)) rot((b a)r (b r)a) {(8.)} (b a)( r) ( (b r)) a }{{} b a ( (b r) x, y, ) (b x x + b y y + b z z) (b x, b y, b z ) b z (b r) {(8.5)} (b )r +b ( r) }{{}}{{} b 66. a) b) [grad(a gradφ)] i i (a j j φ) a j i j φ [(a ) φ] i [rot(a gradφ)] i ǫ ijk j (a φ) k ǫ ijk ǫ klm j (a l m φ) (δ il δ jm δ im δ jl )a l j m φ a i m m φ a l l i φ [a φ (a ) φ] }{{} i Alltså: A B (a ) φ c) Med φ e x yz + e y xz + e z xy där blir A e x (a y z + a z y) + e y (a x z + a z x) + e z (a x y + a y x) A ( r k ) (r a) + r k (r a) r k kr k e r kr k r (r a) (a )r a( r) a }{{}}{{} a 3 A kr k r (r a) r k a }{{} (a r)r r a kr k (a r)r (k + )r k a A r k 69. Enligt tokes sats är a (b r) dr (a (b r)) ˆn d där vi kan välja så att ˆn c om ligger på en nivåyta till φ. (a (b r)) ((a r)b (a b)r) (a r) b (a b) }{{}}{{ r } a b a Linjeintegralen är noll om och endast om (a b) c, dvs. om och endast om a, b och c ligger i samma plan.
1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merBilaga B. B.1 Lösningar till uppgifter i kapitel 1
Bilaga B ösningar B.1 ösningar till uppgifter i kapitel 1 Uppgift 1.1 a) Det gäller att aa T = 1, där 1 är enhetsmatrisen, samt att det(a) = 1. åledes är a en rotation. Q.E.D. b) Transformationsegenskapen
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merTensoranalys. Anders Ramgard. Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson. x 3. e 1. e 2. x 2 x 1. e 3
Tensoranalys Anders Ramgard Redigerad och utökad av Mattias Blennow och Tommy Ohlsson x 3 n e 2 e 1 x 2 x 1 e 3 Matematisk fysik, Institutionen för fysik Kungliga Tekniska Högskolan tockholm 2004 Typsatt
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 4, 2018 1. Fält och derivator Ett fält är en fysikalisk storhet
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2009
VEKTORANALYS Kursprogram VT 9 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när
Läs merAllmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn
Läs mer4 Integrering av vektorfält
4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merVIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs mer