Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Transkript

1 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera. Bonusoäng från ingår. Lösningar kommer å kursens hemsida: htt:// Skriv rogram och inskrivningsår å omslaget, skriv ersonliga koden å samtliga inlämnade aer. Examinator: Lennart Falk.. (a) För funktionen f(x, y) = x + y y är både f x och f y noll i unkten (, ). Avgör om (, ) är en lokal maximiunkt, lokal minimiunkt eller en sadelunkt. (b) Beräkna riktningsderivatan av f(x, y) = x + y + ln( + xy) i unkten (, ) i riktningen / räknat moturs från ositiva x-axelns riktning. (c) Transformera uttrycket yz x + xz y till de nya variablerna u = x + y, v = y/x. (d) Kurvan (x, y) = (t t, t t ), t, är enkel och sluten. Skriv u en integral i arametern t som uttrycker arean som kurvan omsluter. u behöver inte beräkna integralen.. Beräkna dubbelintegralen med hörn i unkterna (, ), (, ), (, ), (, ). x + y x y dxdy där är arallellogramytan () () () () (7). (a) Beräkna arean av den del av ytan z = xy som ligger innanför cylindern x + y = 6. (b) I en rät cirkulär kon med höjden och basradien R är densiteten roortionell mot avståndet till basytan, samt är lika med i konens sets. Beräkna konens massa.. Beräkna å två sätt kurvintegralen ydx + xdz längs den slutna kurvan som är skärningen mellan ytorna z = y och x + y = med orientering moturs sett uifrån. () (5) (7) (a) genom att använda en arametrisering av, (b) genom att använda Stokes sats. 5. Femhörningen i figuren byggs u av tre rektangelsidor och två lika långa sidor i en triangel. ess omkrets är. Bestäm femhörningens sidor så att den omsluter maximal area. 6. För vilka reella tal konvergerar integralen där är enhetscirkelskivan? Beräkna dess värde för sådana. x y ( x + y ) dxdy, (7) (7) 7. Formulera och bevisa satsen om Taylors formel i två variabler. (7) 8. (a) Formulera Gauss sats. () (b) ärled formeln (f g g f) dxdydz = (f g g f) N ds under följande förutsättningar: f och g är -funktioner,, och N är som i Gauss sats. Symbolen står för Lalaceoeratorn. ()

2 Kortfattade lösningar till tentan MVE5 --. (a) Vi konstaterar att f x = x och f y = y båda är noll i (, ), så det är verkligen en stationär unkt. Vi beräknar andraderivatorna: f xx =, f xy(, ) =, f yy = 6y och den kvadratiska formen i Taylors formel Q(h, k) = (f xx(, )h + f xy(, )hk + f yy(, )k ) = h k, som är indefinit, eftersom Q(, ) = och Q(, ) = (olika tecken). Punkten är då en sadelunkt. (b) En enhetsvektor i den angivna riktningen är v = (cos, sin ) = (, ), gradienten f(x, y) = ( + y, + x ) = (, ) i unkten (, ). å är riktningsderivatan f +xy +xy v(, ) = v f(, ) = + (c) yz x + xz y = y(z u x + z v ( y x ) + x(z y y + z v( y ))) = ( x x + )z v = (v + )z v (d) Svar: Man kan beräkna arean av området, som vi kallar, med Greens formel, som A = dxdy = y dx = x dy = y dx + x dy om genomlös i ositiv led, vilket är fallet här (titta å tangentvektorns riktning i olika unkter). etta ger A = (t t )( t) dt eller A = (t t )( t ) dt om vi nöjer oss med de första två varianterna (ett svar räcker förstås). Vill man inte kontrollera orienteringen av kurvan, kan man sätta absolutbelo kring integralen.. Vi ser snart att aralellogrammens hörn är skärningsunkterna mellan de räta linjerna x + y =, x + y = och x y =, x y = (två ar av arallella linjer). Så vi byter variabler till u = x + y, v = x y och får Jacobianen J = J = och med = {(u, v) : u, v får vi x + y dxdy = u v dxdy = u du dv = [ u x y v ] [ v ] =. (a) Ytan kan beskrivas med x och y som arametrar: r(x, y) = (x, y, xy), x + y 6. å är r x r y = ( y, x, ) och arean är, med = {(x, y) : x + y 6}: r x r y dxdy = y + x + dxdy = { olära koordinater} = dθ r + r dr = ] = [ (r + ) = (7 )

3 (b) Lägg (t. ex.) konen K med basytan i xy-lanet och setsen i (,, ). å är z avståndet från en unkt (x, y, z) i konen till dess basyta. å har vi ρ(z) = z, z, och massan blir m = K z dxdydz = z dz dxdy x +y r där r är radien i det cirkulära tvärsnittet av K å höjden z. Likformighet ger Nu blir m = r R = z zr ( z ) dz = R r = R( z ) (z z + z ) dz = R. (a) En naturlig arametrisering är (x, y, z) = ( cos t, sin t, sin t), t. å får vi ydx + xdz = ( sin t( cos t) + cos t( sin t) )dt = = ( sin t + 6 sin t cos t)dt = ( cos t + 6 sin t cos t)dt = Räkningarna förkortas något om man inser att två sista termerna ger integralen noll.g.a eriodicitet och symmetri. (b) är randkurva till ytan Y som ges av ekvationen z = y inom cylindern x + y =. Om vi arametriserar Y som r(x, y) = (x, y, y ), så får vi normalvektorn r x r y = (, y, ) åt rätt håll för Stokes sats, som får användas, då fältet är och ytan Y är orienterad med sin rand som den ska. Eftersom ( y,, x) = (,, ), så ger Stokes sats med = {(x, y) : x + y }: ydx + xdz = F N ds = (,, ) (, y, ) dxdy = (y + ) dxdy = Y är har vi utnyttjat att y integreras till noll av symmetriskäl (lätt att beräkna ändå) och att arean av är.

4 5. Man kan välja variabler å olika sätt, här låter vi sidlängderna heta x, y och z (det sista av raktiska skäl som kommer att framgå). h är en tillfälligt använd symbol. y x z h Vi vill maximera arean, som är A(x, y, z) = zh + yz = z x z + yz då omkretsen x + y + z är, eller med andra ord, maximera under bivillkoret A(x, y, z) = z x z + yz, A = {(x, y, z) : x, y, x z } g(x, y, z) = x + y + z = För att vara säker å att ett sådant maximum existerar, konstaterar vi att den undersökta mängden K = {(x, y, z) : g(x, y, z) = } A är en komakt mängd, å vilket den kontinuerliga funktionen A(x, y, z) måste ha både minsta och största värde. Enligt satsen om bivillkorsroblemet ska då gradienterna för A och g vara arallella i extremunkter som är inre unkter till A och g. Återstår sedan att söka å randen av K, som utgörs av en triangel T å vars sidor z =, y = eller x = z. På T urartar femhörningen till andra geometriska objekt som vi måste inbegria i roblemet ( defekta femhörningar, se nedan!). Vi börjar med de inre extremunkterna där vi konstaterar att villkoret att A och g = (,, ) är arallella är ekvivalent med att A x = A y = A z. etta ger tillsammans med bivillkoret ekvationssystemet en första likheten ger (då z > här) xz x z = z = x z Insättning av detta i den andra likheten ger sedan z x z + y, x + y + z = x z = x, z = x + y = x Uttrycken för y och z sätts slutligen in i x + y + z =, och vi får x = som enda lösning. Vi beräknar arean i denna unkt: A = z x z + yz = x, y =, z = 6 x + x( + )x = 6 + x = = Eftersom det finns en rand T (snittet av randen till A med {g = }) till vårt område, måste vi också kontrollera denna. För z = är A =, vilket förstås är minimum. För y =, x + z =, x, z blir femhörningen en triangel med A = z (x z ) = z (( z) z ) = = z z, z vilket (derivera!) har maximum för z = 6, x =, med A = 6 (liksidig triangel med sidan ). För x = z, y + z =, y, z blir det en rektangel med z A = yz = ( z)z = z z, z vilket maximeras av x = y = z =, med A = (en kvadrat). 6 Vi har hittat tre kandidater: en femhörning, en liksidig triangel och en kvadrat. Observera att om den liksidiga triangeln eller kvadraten skulle vara större än femhörningen, så är den största femhörningen inte en äkta femhörning, men om vi jämför alla tre kandidaterna, finner vi dock att den riktiga femhörningen har störst area: (inses genom att Störst area antas alltså då sidorna är > > 6 6 > 7 > 8 > 8 och att > 7 > 9 > 8) x =, y = 6, z =. Även med en något mindre utförlig motivering, kan man få hela eller nästan hela oängen å denna ugift! et finns också andra variabelval som går bra, t. ex. med en av triangelns vinklar och x och y.

5 6. Av symmetriskäl är integralen över varje halvkvadrant av enhetscirkeln lika stor. Så om E = {(x, y) : x + y, x, y, x > y}, så är I = x y ( x + y ) dxdy = 8 (x y )(x + y) dxdy = 8 (x y)(x + y) + dxdy E Vi byter till koordinaterna u = x y, v = x + y, J =, området blir då (ersätt x och y i olikheten för enhetscirkelskivan med u och v och kolla detta!) integralen blir E = {(u, v) : u + v, u, v, u < v} I = uv + dudv E och med olära koordinater och F = {(r, θ) : r, θ } har vi I = r cos θ(r sin θ) + r drdθ = F (sin θ) + cos θ dθ E r dr Allt detta är OK att skriva: om vi vill uttrycka oss utförligt med uttömmande följder av mängder ϵ < x + y resektive ϵ < u + v där integranden är begränsad, så innebär det slutligen att integralen i variabeln r ska ufattas som lim r dr, vilket är innebörden i det som står. en integralen är ju konvergent för >, ϵ + ϵ dvs för <. Integralen i θ är oroblematisk, så hela integralen är konvergent om och endast om <. Återstår att räkna ut den. Vi har då och om med t = sin θ (sin θ) + cos θ dθ = [ r r dr = ] = t dt = ( + ) och för = Slutligen, för <, och för = (sin θ) cos θ dθ = I = [ ] ln sin θ = ln 6 ( ) ( )( ) I = ln 7. Se läroboken! 8. (a) Se läroboken! (b) Använd Gauss sats å u = f g g f = (fg x, fg y, fg z) (gf x, gf y, gf z), då får vi u = x (fg x gf x)+ y (fg y gf y)+ z (fg z gf z) = fg xx+fg yy+fg zz (gf xx+gf yy+gf zz) = f g g f Sätt in i resektive integral i Gauss sats!