(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje problem ger högst 5 poäng. För betyget krävs minst 18p, för betyget minst 5p och för betyget 5 minst p. Tentand som är godkänd på duggan 891 ska ej räkna problem Bestäm den vinkel som tangentplanet till ytan z = x x y y y + 11 i punkten (,, ) bildar med xy-planet.. Beräkna (x + 1) dxdy där är det ändliga område som begränsas av kurvorna y = x + x och y = x +.. Transformera differentialekvationen x f x + y f y = x + y genom att införa de nya variablerna u = 1 x 1 y fullständigt. och v = xy. Lös därefter ekvationen. Bestäm de stationära punkterna till f (x, y) = (x + y)e y/. Ange också karaktären av dessa punkter. 5. Beräkna volymen av den ändliga kropp som begränsas av ytorna z = x + y och z = y. 6. Planet x + y + z = skär paraboloiden z = x + y i en ellips. Bestäm de punkter på denna ellips som ligger närmast resp. längst från origo. 7. Låt vara halvcirkelbågen x + y = 1 i övre halvplanet från (1, ) till ( 1, ). Beräkna kurvintegralen (e x + x y) dx + (e y xy ) dy. 8. Visa att sambandet x sin z + ye z xy + x = 1 definierar z som en funktion av x och y i en omgivning av punkten (x, y, z) = (1, 1, ). Undersök om denna funktion z(x, y) har en stationär punkt i (1, 1).

2 Lösningar till problemen Lösning till problem 1: Vi kan beräkna vinkeln mellan normalen till ytan i punkten (,, ) och normalen till xy-planet. En normal till ytan ges av N = (z x + x y + y + y 11) (,,) = ( 6x + xy, x + xy +, 1 ) (,,) = ( 1, 1, 1) och en normal till xy-planet är k = (,, 1). Vi kan nu beräkna skalärprodukten etta ger N k = N k cos θ = ( 1) = cos θ = 1 cos θ = 1 17 θ = arccos Lösning till problem : Skärningspunkterna mellan kurvorna fås ur ekvationen x + x = x + vilket ger x = ±. ubbelintegralen kan skrivas som en itererad integral = (x + 1) dxdy = (x + 1)( x ) dx = x+ (x + 1) dx = ( x ) dx = [x x x +x dy ( x( x ) }{{} udda ] = 8. + ( x ) ) dx }{{} jämn y = x + y = x + x Lösning till problem : Kedjeregeln ger med de givna transformationsformlerna f x = f u u x + f v v x = 1 x f u + y f v f y = f u u y + f v v y = 1 y f u + x f v etta ger den transformerade ekvationen x f x + y f y = x + y f u + x y f v + f u + xy f v = x + y xy(x + y) f v = x + y och efter division men x + y och sätt v = xy v f v = 1. Integrering med avseende på v ger nu f (u, v) = ln v + g(u) där g är en godtycklig (deriverbar) funktion av u.

3 Lösning till problem : e stationära punkterna fås ur ekvationerna f x = xe y/ = f y = e y/ + (x + y) 1 ey/ = ey/ ( + x + y) = vilket ger den enda lösningen (x, y) = (, ). För att avgöra karaktären av denna punkt beräknar vi andra derivatorna f xx = e y/ f xx (, ) = e 1 f xy = xe y/ f xy (, ) = f yy = ey/ ( + x + y) + ey/ f yy(, ) = e 1 en kvadratiska formen som hör till den stationära punkten blir nu Q(h, k) = e 1( h + k ) vilken är positivt definit, dvs (, ) är en lokal minimipinkt. Lösning till problem 5: Vi har ett område som begränsas upptill av en cylinder, z = y, och undertill av en paraboloid, z = x + y. Skärningskurvan mellan ytorna bestäms av y = x + y x + y = 1. Vi kan beräkna volymen som ( V = y (x + y ) ) dxdy = x +y 1 x +y 1 (1 x y ) dxdy. Vi inför polära koordinater, x = r cos θ, y = r sin θ med areaelementet dxdy = rdrdθ. Integrationsområdet kan beskrivas som : r 1, θ π och vi får 1 [ r V = (1 r )r drdθ = π (r r ) dr = 8π r ] 1 ( 1 = 8π 1 ) = π. Lösning till problem 6: Problemet kan formuleras som att bestämma största och minsta värde av x + y + z om punkten (x, y, z) ligger på skärningskurvan mellan planet och paraboloiden. Vi kan (för att få enklare räkningar) studera problemet att bestämma största/minsta värde av f (x, y, z) = x + y + z med bivillkoren g(x, y, z) = x + y z = och h(x, y, z) = x + y + z =. Villkor för stationära punkter är att matrisen f x y z g = x y 1 h 1 1

4 har rang (linjärt beroende rader). etta ger att matrisens determinant måste vara, dvs x y z + z + 1 x y 1 1 = x y 1 = (x y)(z + 1) = Fall1: x = y. Bivillkoren ger i detta fall { z = x x + x 1 = x 1 = 1, x = 1 x + z = etta ger punkterna ( 1, 1, ) och respektive. ( 1, 1, 1 ). För dessa punkter blir avstånden 6 och Fall : z = 1 ger inga reella lösningar till bivillkoret z = x + y. ( 1 en punkt på ellipsen som ligger närmast origo är således, 1, 1 och den som ) ligger längst bort är ( 1, 1, ). Lösning till problem 7: Vi ser att för vektorfältet i kurvintegralen är Q x P y = y x = (x + y ). Vi kompletterar med ett linjestycke enligt figuren och får en sluten kurva med halvcirkeln i övre halvplanet som inre. Greens formel ger nu + = (e x + x y) dx + (e y xy ) dy = L [ r r r drdθ = π ] 1 = π. (x + y ) dxdy (polära koordinater) På linjen L har vi y = och kan använda x som parameter, 1 x 1 vilket ger 1 1 e x dx = e 1 e. L etta ger till slut (e x + x y) dx + (e y xy ) dy = e + 1 e π. Lösning till problem 8: Vi sätter F(x, y, z) = x sin z + ye z xy + x 1 och noterar att 1. F(1, 1, ) =. F är kontinuerligt deriverbar funktion av x, y, z, samt

5 . F z = x cos z + ye z F z (1, 1, ) = =. Implicita funktionssatsen säger att vi i en omgivning av punkten (1, 1, ) kan lösa ut z = z(x, y) ur sambandet F(x, y, z) = så att z blir entydigt bestämd, z(1, 1) =, och F(x, y, z(x, y)) i omgivning av (1, 1). Vidare blir z(x, y) kontinuerligt deriverbar, och vi kan bestämma derivatorna med avseende på x resp. y genom implicit derivering av sambandet F(x, y, z(x, y)) =. Implicit derivering m.a.p. x resp y ger sin z(x, y) + x cos z(x, y)z x (x, y) + ye z(x,y) z x (x, y) y + 1 = x cos z(x, y)z y (x, y) + e z(x,y) + ye z(x,y) z y (x, y) x = och insättning av (x, y) = (1, 1) vilket medför att z = ger z x (1, 1) = och z y (1, 1) =. Vi ser att (1, 1) är en stationär punkt till funktionen z(x, y). 5