Kap Generaliserade multipelintegraler.

Transkript

1 Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy, ges av 0 x + (x 2y) 2 dxdy, över första kvadranten + (x + y) 4 A f. ( + x 2 + y 2 dxdy ) 3/2 R 2 A g. A h. A i. A j. R 2 e x y dxdy A k. B l. B m. dxdydz över området x 0, y 0, z 0 ( + x + y + z) 7/2 (x 2 + y 2 ) 2 dxdy, ges av 2x2 + 2xy + y 2 > dxdy, ges av x, y 0 (x + y) 4 ln (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, ges av x 2 + y 2 + z 2 R 2 xy dxdy, över kvadraten 0 < x <, 0 < y < (x 2 + 4y 2 dxdy, ges av x > 0, xy > ) 2 (4 x)(x y) dxdy, ges av 0 x 4, x y x

2 B 50 n. B o. e ( x 2 / 4 + y 2 /9) dxdy, ges av x2 4 + y2 9 x + y (x 2 + y 2 ) 2 ex y dxdy, då ges av x 2 + y 2, 0 y x och y x x e B p. y dxdy, över kvadraten 0 x, 0 y y B q. B r. B s. B t. y 2 x 2 dxdy, ges av 0 xy 3, 0 x y 2, x 0 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 z dxdydz, ges av z > 0, x 2 + y 2 + z 2 och x 2 + y 2 < z 2, z > 0 ln (x y) 2 dxdy, över kvadraten x, y y2 x2 (x + y) 2 e x + y dxdy, ges av x + y, y x B u. arctan y x dxdy, över kvadraten 0 x, 0 y. x 2 + y Undersök konvergensen av följande generaliserade dubbelintegraler: A a. A b. B c. A d. B e. sin xy + x 4 + y dxdy 4 R 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 dxdy, ges av x2 + y 2 x (x 2 + y 2 ) 3/2 dxdy, ges av x2 + y 2 sin x (x 2 + y 2 ) 3/2 dxdy, ges av x2 + y 2 dxdy, över första kvadranten x 2 + y3 2

3 B 502 f. R 2 sin (x 2 + y 2 ) dxdy B g. B h. x 2 + y 2 dxdy, ges av x2 + y 2, y x 2 x 2y dxdy, ges av x, y. (x 2 + y 2 ) Visa att de nedanstående dubbelintegralerna är konvergenta och beräkna deras värden B a. B b. x 4y dxdy, ges av 4xy, x > 0 (x 2 + 4y 2 ) 5/2 dxdy, där a > och ges av x + y, 0 x (x + y) a C c. R 2 e (x 2 + y2) cos (x 2 + y 2 ) dxdy C d. R 2 xy e (x 2 + xy + y2) dxdy. C 504. För vilka värden på a är dubbelintegralen x y dxdy, där (x 2 + y 2 ) a ges av x + y, konvergent? C 505. Undersök konvergensen av dubbelintegralen x p + y dxdy, q över området x 2 + y 2, för positiva konstanter p och q. C 506. Låt A = 0 4AB = C. e x4 dx, B = 0 x 2 e x4 dx och C = 0 dx. Visa att + x4 3

4 B 507. Betrakta funktionen om n < y < x < n + f(x,y) = om n < x < y < n + 0 annars där n = 0,,2,.... Verifiera att 0 men f(x,y) dxdy är divergent. R 2 dx 0 f(x,y) dy = 0 dy 0 f(x,y) dx = 0 4

5 Ledningar till uppgifterna a. Integrera i y led. b. Integrera i y led. c. Substituera u = x 2y, v = x. d. Substituera u = x + y, v = y. e. Ingen ledning. f. Inför polära koordinater. g. Inför polära koordinater. h. Ingen ledning. i. Inför sfäriska koordinater. j. Utnyttja symmetrin och integrera över första kvadranten. e x y = e x. e y. k. Ingen ledning. l. Substituera x = 2r cos v, y = r sin v. m. Substituera u = x y, v = y. n. Substituera x = 2r cos v, y = 3r sin v. o. Substituera u = x y, v = x 2 + y 2. p. Integrera i y led. q. Substituera u = x y, v = xy. r. Inför sfäriska koordinater. s. Observera symmetrin m a p linjen y = x (som består av singulära punkter). Integrera över området under linjen. Substituera u = x y, v = x. Partiell integration. t. Substituera u = x + y, v = y x. u. ela upp i två delområden med hjälp av linjen y = x. Integrera över var och ett av dessa områden (polära koordinater). Vid addition av dessa dubbelintegraler kommer vissa obekväma termer att försvinna. 5

6 502 a. Integranden är positiv. Inför polära koordinater. b. Ersätt x med x. Visa (polära koordinater) att den nya integralen är divergent. Av detta följer att den ursprungliga integralen är divergent. c. Ersätt integranden med dess absolutbelopp. Approximera sin x med. Visa att den nya integralen är konvergent. ärför är den ursprungliga integralen konvergent. d. Origo är singulär. I närheten av origo är y 3 < y 2. Ersätt nämnaren med x 2 + y 2 och undersök konvergensen av den nya integralen. Använd majorantprincipen. e. Betrakta tillräckligt stora (x,y). å kan integrandens absolutbelopp approximeras med (x 4 + y 4 ). Integralen för denna funktion är konvergent (polära koordinater). f. Ersätt integranden med dess absolutbelopp. Integrera över nπ x 2 + y 2 (n + )π. g. Utnyttja symmetrin. Inför polära koordinater. etta leder till a 0 ln sin v dv som kan jämföras med 0 ln t dt. Partiell integration. h. ela upp i två integraler med täljaren x respektive 2y. essa integraler är konvergenta (kan lätt beräknas). 503 a. Integranden växlar tecken. ela upp i två integraler med täljarna x respektive y. essa kan beräknas med hjälp av substitutionen x = 2r cos v, y = r sin v. b. Substituera x + y = u, x = v. c. Approximera integrandens absolutbelopp med den exponentiella termen. Visa konvergensen av den nya integralen. Inför polära koordinater. d. Ersätt xy med xy. Integrera över första kvadranten. Substituera x = u + v och y = u v. Inför polära koordinater. När konvergensen är visad kan man beräkna integralen med hjälp av de 3 3 ovan nämnda metoderna. 504 Ersätt x y med x y och undersök konvergensen över området x 2 + y 2. 6

7 505 Konvergensförhållandena ändras inte om man ersätter med G som definieras enligt x = r q cos v, y = r p sin v, 0 r, 0 v π AB kan uppfattas som en dubbelintegral över första kvadranten. Inför polära koordinater. Substituera tan v = t. 507 Integrera över området G n som består dels av punkter inom kvadraten n x n, n y n och dels inom triangeln n y x n +. 7

8 Svar till uppgifterna a.. b. π 2 8. c. π 4. d. π 4. e. 8. f. 2π. 5 g. 3π 2. h. 6. i. 8πR 3 (3 ln R ). j k. 4. l. 6. m. 8. n. 6π e. o. (e ). p. 2 (e 2). 2 q. 2 3 ( ). r. s. 4 (2 ln 2 3). t. u. π 2 ln ( + 2 ). π (π + ln 4). 4 e a. Konvergent. b. ivergent. c. Konvergent. d. ivergent. e. Konvergent. f. ivergent. g. Konvergent. h. Konvergent. 503 a. 6. b. a. c. π. d. 2π a > p + q >. 8