SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 1 / 19 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 1 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 218, Period 3

2 2 / 19 SF1626 Flervariabelanalys agens Lektion ubbelintegraler: Avsnitt

3 ubbelintegraler Att beräkna volym under en funktionsgraf, i rummet. Se: Figur: Grov approximation Figur: Finare approximation 3 / 19

4 4 / 19 ubbelintegraler Vad är en dubbelintegral? ubbelintegralen av f över den axelparallella rektangeln definieras via Riemannsummor f (x, y) dxdy f (x jk, y jk ) x j y k Summan till höger kallas alltså en Riemannsumma. Varje term f (x jk, y jk ) x j y k är volymen av en rätblock, enligt figuren ovan. Riemannsumman är summan av alla dessa volym. Se ett annat ex.: j,k

5 Approximation av dubbelintegral? Läs sidorna , egenskaper hos integraler. Gör följande enkla exempel (hemma) på att approximera en dubbelintegral med Riemannsumma med några rätblock. Quiz (hemma): Låt vara kvadraten x 2, y 2. Approximera dubbelintegralen (x 2 + y 2 ) dxdy med hjälp av en Riemannsumma med fyra delrektanglar. Finns det mer än ett sätt att göra detta? Ni kan få olika svar beroende på valet av punkterna (x jk, y jk ). 5 / 19

6 6 / 19 Två användbara egenskaper hos dubbelintegraler (sida 811) 1. Om = 1 2 så är f (x, y) da = f (x, y) da + f (x, y) da, 1 2

7 6 / 19 Två användbara egenskaper hos dubbelintegraler (sida 811) 1. Om = 1 2 så är f (x, y) da = f (x, y) da + f (x, y) da, 1 2 vilket kan användas i beräkningar, då är mer komplicerad, och kan delas upp i enklare delar.

8 6 / 19 Två användbara egenskaper hos dubbelintegraler (sida 811) 1. Om = 1 2 så är f (x, y) da = f (x, y) da + f (x, y) da, 1 2 vilket kan användas i beräkningar, då är mer komplicerad, och kan delas upp i enklare delar da = arean av. Kan användas för area beräkningar.

9 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Exempel 1. För = {(x, y) : x 2 och y 1} beräkna xy 2 dxdy. 7 / 19

10 7 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Exempel 1. För = {(x, y) : x 2 och y 1} beräkna xy 2 dxdy. xy 2 dxdy = {skriv om} = ( 2 ) y 2 x dx dy

11 7 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Exempel 1. För = {(x, y) : x 2 och y 1} beräkna xy 2 dxdy. xy 2 dxdy = {skriv om} = = ( [x y 2 2 /2 ] ) 2 dy = ( 2 ) y 2 x dx dy

12 7 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Exempel 1. För = {(x, y) : x 2 och y 1} beräkna xy 2 dxdy. xy 2 dxdy = {skriv om} = = ( [x y 2 2 /2 ] ) 2 dy = ( 2 ) y 2 x dx dy 2y 2 dy = 2 3. Quiz (hemma): Beräkna samma integral genom att först integrera m.a.p. y, sedan x.

13 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Quiz (här): För = {(x, y) : 1 x 3 och 2 y 4} beräkna (x + xy) dxdy. 8 / 19

14 8 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Quiz (här): För = {(x, y) : 1 x 3 och 2 y 4} beräkna (x + xy) dxdy. 3 4 (x + xy) dxdy = dx (x + xy) dy 1 2 = = = 32 [xy + xy 2 /2] 4 2 dx 8x dx

15 9 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Enkla områden Figur: Enkel i x-riktning Figur: Enkel i y-riktning

16 1 / 19 Hur räknar man ut dubbelintegraler? Enkla områden För enkla områden enligt bilderna ovan gör vi på följande sätt Enkel i x-riktning: Integrera först m.a.p. x-variabel. sedan m.a.p. y-variabel. Vi har då d h2 (y) f (x, y)da = f (x, y)dx dy. c h 1 (y) Enkel i y-riktning: Integrera först m.a.p. y-variabel. sedan m.a.p. x-variabel. Vi har då b g2 (x) f (x, y)da = f (x, y)dy dx. a g 1 (x)

17 , 13)17 Page 1 of 1 ubbelintegraler i enkla områden Låt vara triangeln med hörn i (, ), (, 1), (1, 1). Beräkna xyda. xyda = ( ) y x dx dy y = y ( [x 2 /2 ] 1 y dx ) dy 11 / 19

18 12 / 19 ubbelintegraler i enkla områden Quiz (här): Beräkna samma integral som ovan, dock m.a.p. y-variabel först. xyda =?? (? ) x y dy dx Quiz (här): Beräkna samma integral då är triangeln med hörn i (, ), (1, 1), (2, ) (Svar 1/3.)?

19 Quiz (hemma): Beräkna dubbelintegraler Låt vara området som ges av olikheterna y 1 x 2. Beräkna x dxdy och x 2 dxdy Finns det några symmetrier man kan utnyttja? (Facit: A.. B. 4/15.) 13 / 19

20 , 22(53 14 / 19 Trippelintegraler: Enkla fallet Beräkna volymen hos den tetraeder som begränsas av plan som passerar genom punkterna A : (1,, ), B : (, 2, ) C : (,, 3) samt koordinatplanen: z =, x =, y =.

21 Trippelintegraler: Enkla fallet Lösning Volymen ges av en trippelintegral av funktionen f (x, y, z) = 1 över tetraedern, eller en dubbelintegral av det givna planet (varför?). Vi provar med trippelintegralen. Vi måste först hitta gränserna för x, y, z-variabler för att beräkna integralen (med dv som volymelement) f (x, y, z)dv, T= tetraeder, f 1. T Ekvationen för planet genom ABC måste tas fram, som blir 6x + 3y + 2z = 6 (gör detta hemma). Vi ser att < z < (6 3y 6x)/2. Vidare varierar x, y i triangeln AOB. 15 / 19

22 , 18) 16 / 19 Trippelintegraler: Enkla fallet Lösning: Låt vara triangeln AOB. Vi får då (6 3y 6x)/2 f (x, y, z)dv = dz da = T Nu blir det en vanlig dubbelintegral över 6 3y 6x da. 2 Linjen genom AB ges av y = 2 2x, och därför är = { < x < 1, < y < 2 2x}

23 17 / 19 Trippelintegraler: Enkla fallet Lösning fortsättning: = y 6x da = 2 [ 6y 3 2 y 2 6xy ( 2 2x ] 2 2x dx = 3 ) 6 3y 6x dy dx 2 (1 2x + x 2 )dx = 1

24 ubbelintegraler Användning av symmetri Quiz (här): : Vad blir (utan att räkna) dubbelintegralerna x dxdy, y dxdy, om är cirkelskivan som ges av x 2 + y 2 1? (ax + by) dxdy Se flera exempel i de gamla tentorna. Uppgift 3b) i Tentamen Uppgift 2b) i Tentamen / 19

25 19 / 19 ubbelintegraler minitenta 1) Beräkna integralen dx x e y 2 dy Går det att byta integrationsordning? 2) Beräkna arean av området som ges av = {(x, y) : y 2 1 x 1 y 2 } 3) Beräkna volymen av den kropp som ligger mellan ytorna z = 4 x 2 och z = x + y då x 1 och y 1