2x ex dx. 0 = ln3 e

Transkript

1 Institutionen för Matematik Lösningsförslag till tentamen i SF627, Matematik för ekonomer, del 2, 6 hp Räkna inte denna uppgift om du är godkänd på lappskrivning 3 Visa att funktionen f (x) = x + e x är konvex och bestäm funktionens minsta värde. Vi har f (x) = e x och f (x) = e x >, vilket innebär att f är en konvex funktion. Ur ekvationen f (x) = får vi en stationär punkt x = till f och konvexiteten medför att f () = 2 är funktionens minsta värde. Svar: Beräkna integralen ( 2e e 2x 2x ) 2x + + ex dx. ( 2e e 2x 2x ) 2x + + ex Svar: ln3 e +. dx = = [ ln(2x + ) e x] = ln3 e +. ( ) 2 2x + + e x dx = 3. En person lånar 5 kronor vid början av år noll och skall betala tillbaka lånet genom lika stora amorteringar i slutet av varje år. Om räntan är 4%, hur stor blir den årliga amorteringen? Låt x vara den årliga amorterangen. Vi har x ( +,4) k = x ( ( +,4) ) = 5 x 664,55,4 Svar: 664,55 kronor.

2 4. Ekvationen 3x 2z + ln(x + 2y + z 3) = 6 (*) definierar en funktion z = z(x,y) sådan att z(2,) =. Bestäm linjär approximation till z(x,y) kring punkten (2,). Linjär approximation ges av z(2,) + z x(2,)(x 2) + z y(2,)(y ). Implicit derivering av (*) m.a.p x ger 3 2z + z x x + x + 2y + z 3 = och för x = 2,y =,z = får vi z x(2,) = 4. Implicit derivering av (*) m.a.p y ger 2z 2 + z y y + x + 2y + z 3 = och för x = 2,y =,z = får vi z y(2,) = 2. Linjär approximation ges av z 4(x 4) + 2((y 2). Svar: z 4x + 2y. 5. Betrakta funktionen Visa att f (x,y) f (,2). f (x,y) = x 2 xy + (y 2) 2 + y. Vi vill visa att funktionen f antar ett minsta värde i punkten (,2). Vi har f x = 2x y, f y = x+2(y 2)+ och f x(,2) =, f y(,2) =, vilket innebär att (,2) är en stationär punkt till f. Vi får f xx = 2 >, f yy = 2 >, f xy = och f xx f yy ( f xy) 2 = 3 > i hela planet, vilket medför att (,2) är en minimipunkt för f.

3 6. Ekvationen x + yz + e 2x z = 2 (*) definierar en funktion z = z(x,y) sådan att z(,) = 2. Bestäm derívatorna z x(,) och z xy(,). Implicit derivering av (*) m.a.p x ger och för x =,y = och z = 2 fås z x(,) = 3. Implicit derivering av (*) m.a.p y ger + yz x + (2 z x)e 2x z = (**) z + yz y z ye 2x z = och för x =,y = och z = 2 fås z y(,) = 2. Implicit derivering av (**) m.a.p y ger z x + yz xy z xye 2x z z y(2 z x)e 2x z = och för x =,y =,z = 2,z x = 3 och z y = 2 fås z xy(,) = 5. Svar: z x(,) = 3, z xy(,) = Beräkna arean av det ändliga område i xy-planet som begränsas av kurvan och x-axeln. y = x 4x 3 Ur ekvationen x 4x 3 = får vi skärningspunkterna mellan x-axeln och kurvan: x = och x = 3. På intervallet x 3 är y. Arean ges av 3 (x [ 4x 3)dx = 2 x2 ] 3 (4x 3)3/2 = 6 3. Svar: 3 ae.

4 8. För vilka värden på konstanten a antar funktionen minsta värde i punkten (,)? f (x,y) = a(x a) 2 + a(y a) 2 + xy y 2 + 3x + 5y Vi undersöker först för vilka a-värden är (,) en stationär punkt för f. Vi har f x = 2a(x a) + y + 3 f y = 2a(y a) + x 2y + 5 och ur f x(,) = f y(,) = får vi 2a( a) + 4 = alltså antingen a = eller a = 2. Punktens karaktär undersöks med hjälp av andraderivator: f xx = 2a, f yy = 2a 2, f xy =. För a = får vi f xx <, f yy < och f xx f yy ( f xy) 2 > (i hela xy-planet) alltså (,) är en maximipunkt för f. För a = 2 har man f xx >, f yy > och f xx f yy ( f xy) 2 > (i hela xy-planet) alltså (,) är en minimipunkt för f. Svar: a = Du vinner på lotteri och kan välja mellan att få kr om året i år, med förste utbetalningen idag och alltså totalt utbetalningar, eller 75 kr direkt i handen. Årsräntan är 5%. a. Vilken av alternativen ger högst nuvärde? b. Vad skulle den årliga utbetalningen behöva vara för att nuvärdet av utbetalningarna skulle vara 75 kr? c. Vad är nuvärdet av den sista utbetalningen på kr? ( +,5) a. PV = = ( ( +,5) ) = ,5) k,5 PV 2 = 75. b. Låt x vara den sökta utbetalningen. Då har vi x x( +,5) PV = = ( ( +,5) ) = 75, +,5) k,5 vilket ger x c. PV = ( +,5) Svar: a. Första alternativet har högst nuvärde. b. Den årliga utbetalningen skulle behöva vara kr. c. Nuvärdet av sista betalningen är kr.

5 . En konsument har nyttofunktionen u(x,y) = px + qy, då han konsumerar kvantiteterna x respektive y av två varor. Priserna på de två varorna är p respektive q och totalt spenderar han m på de två varorna. Antag att konsumenten maximerar sin nytta och bestäm de maximala kvantiteterna x och y samt marginalnyttan av konsumtionen uttryckta i p,q och m. Maximera nyttan px + qy, under bivillkoret px + qy = m, där p och q. Lagrangefunktionen är L (x,y) = px + qy λ(px + qy m) och vi skall lösa ekvationssystemet L x = p 2 px λ p = () L y = q 2 λq = (2) qy px + qy = m (3) Ekvationerna () och (2) ger λ = 2 px = 2 och px = qy. Insatt i ekvation (3) ger qy detta x = m 2p, y = m samt marginalnyttan λ =. 2q 2m Svar: x = m 2p, y = m 2q, marginalnyttan λ = 2m.