Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter.

Transkript

1 GNSKAPR HOS UBBLINTGRALR. Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter. å gäller:., 0 om arean() =0 ( dvs. om är en nollmängd) i. ii. 3. Om, 0 då är, 0 4i. Om, 0 då är, 0 I detta fall (alltså endast om, är en icke negativ funktion) gäller, där,, :,, 0, d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden och ytan, ) ( se bilden ovan). 4ii. Om kroppen K består av punkter som ligger ovanpå mellan två ytor, och, där,, dvs,, :,,,, då gäller,, 5. (monotonicitet) Om,, för alla, då är,, 6.,, av 7

2 7. (additivitet),,, ä. 8. (linearitet),,,, Uppgift. Bestäm värdet av integralen a) 3 där är sträckan mellan punkterna A(0.0) och B(,). b) där är cirkellinjen {(,y), }. (Lägg märke till att består av de punkter som ligger på cirkellinjen och inte på hela cirkelskivan. ärmed är arean()=0 ) Lösning: a) ftersom arean()=0 har vi, enligt egenskapen att 3 0. b) 0 eftersom arean() =0 Uppgift. Bestäm och rita en integrationsmängd så att integralen 4 blir störst. ( u behöver inte beräkna integralen.) Tips. Använd egenskaper 3, 4 och 7. Lösning: Vi väljer det största område där integranden Alltså väljer vi = cirkeln som definieras av 4. av 7

3 Förklaring: Låt vara ett godtyckligt integrationsområde och, 4. Vi ska visa att,, i) Först antar vi att är en delmängd av. å gäller = F ( där F = \ se nedanstående figur) och, enligt 7,,,, F ftersom, 0 på är alla ovanstående integraler icke-negativa (egenskap 4) och därför är,, ii) Allmänt fall. Låt vara ett godtyckligt integrationsområde. och, \ å är ( se figuren) och,,, 3 av 7

4 där, 0 om, ligger i och, 0,. ärför, 0 och, 0 som medför att,,, Vi har därmed visat att,, för ett godtyckligt integrationsområde. Alltså, är störst om vi väljer så att består av de punkter som satisfierar olikheten, Anmärkning. Ovanstående lösning är inte entydig. Om K är en mängd som har arean =0 ( så kallade nollmängd) och \ ( eller ) så har dubbelintegral över samma värde som dubbelintegral över. Uppgift 3. Bestäm och rita en integrationsmängd så att integralen. blir störst. ( u behöver inte beräkna integralen.) Svar: 0 dvs är det elliptiskt område som definieras av. (Samma förklaring som i Uppgift.) Uppgift 3. a) Bestäm och rita en integrationsmängd som ligger inuti kvadraten K, så att integralen blir störst. b) Beräkna integralen för detta. 4 av 7

5 Svar a) består av de punkter som ligger i kvadraten K och som satisfierar 0 eller (Samma förklaring som i Uppgift.) b) d ( y ) dy = y y d = + 4 = d 8 5 Uppgift 4. Om vi vet att, 38 där är ( sluten) kvadrat 0, 0 bestäm, då definieras av a) 0, 0 ( öppen mängd), b) 0, 0 ( varken öppen eller sluten mängd), Lösning a) Skillnaden mellan mängderna och består av randpunkter som vi betecknar med R dvs R = \. å är arean(r)=0 och därför, 0. R = R, arean R =0. Vi har 5 av 7

6 ,,,, 0, Alltså, =, = 38 ( enligt antagande) Svar a) 38 b) = R, arean R =0.,,,, 0, Alltså, =, = 38 ( enligt antagande) Svar b) 38 Uppgift 5. Beräkna volymen av den kropp som definieras av a) K = {(, y, z) : 0, 0 y, y+ z e } b) K = {(, y, z) : 0, 0 y, e + + 3y + z e + + 3y + 5} Svar: a) Funktionen, 3 + y + e är icke negativ på. ärför, e 3 + y+ b) Vi betecknar, 3,, 3 5 Kroppen K ligger mellan två ytor, och, där,, på. 6 av 7

7 ,, Ovanstående egenskaper kan enkelt bevisas med hjälp av dubbelintegralens definition (Riemannsummor). Som ett eempel bevisar vi i nedanstående uppgift. Uppgift 6. Bevisa ovanstående egenskap :. Bevis: nligt antagande är, för,. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal mätbara, ej överlappande, delmängder i i väljer en godtycklig punkt ( i, y i ). och i varje För tillhörande Riemannsumma gäller, Alltså har varje Riemannsumma konstant värde = Arean(). ärför dubbelintegral har också samma värde Arean()., lim, lim lim Arean arean, vad skulle bevisas. 7 av 7