2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/"

Transkript

1 Nästan vanliga tal 1. Beräkna Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) ( ) = = Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/ gnr Lösning. Om man kan förkorta med a då gäller detsamma för bråken /1001 = /1001 samt 11/1001. Det sista bråket kan förkortas med 11. Således 1001/ = (1001/11)/( /11) = 91/ Bestäm produkten av alla rötter till ekvationen 3x x =0 Lösning. Ekvationen 3x x =0 har 4 reella rötter då ekvationen 3u u+2001=0 har 2 olika positiva rötter. Enligt Vietas sats är rötternas produkt lika med 2001/3= Beräkna integralen ( x 3x + 7x + 500,25) dx 2 Lösning. Man kan stryka bort de tre första termerna i integranden då udda potenser ger 0 om de integreras över ett symmetriskt intervall kring 0. Den sista termen ger arean av rektangel av längden 4 och höjden 500,25, vilket ger svaret Man vet att talen a,b,c är olika. Bestäm derivatan för funktionen f ( x a)( x b) ( x a)( x c) ( x c)( x b) f ( x) = + + ( c a)( c b) ( b a)( b c) ( a c)( a b) Lösning. Funktionen f(x) ser ut som ett andragradspolynom. Observera dock att f(a)= f(b)= f(c)=1. Ekvationen f(x)=1 har minst tre rötter, således måste termerna av första samt andra graden vara lika med noll. Det återstår bara fallet att funktionen f(x) är en konstant, och alltså gäller att f (x)=0. Knep och knåp 1. Ett skogsavverkningsföretag vill avverka en tallskog, men miljöaktivisterna börjar att protestera. Då försöker företagets VD lugna ner dem: 99% av träden i skogen är tallar. Vi kommer endast att såga ner tallar. När vi blir färdiga kommer 98% av alla kvarstående träd att vara tallar. Hur stor andel av skogen planerar företaget att avverka? Lösning. 1% av träden i skogen är inte tallar. Efter avverkningen kommer andelen av icke tallar vara 2%, dvs den andelen kommer att fördubblas utan att antalet icke tallar förändras. Detta betyder att antalet träd i skogen kommer att halveras, dvs företaget planerar att såga ner 50% av skogen. 2. Kung Rurik hade tre söner. Bland kungens ättlingar hade 999 personer exakt 2 söner och inga döttrar. De övriga ättlingarna hade inga barn alls. Hur många ättlingar hade Rurik sammanlagt?

2 Lösning. Alla ättlingarna förutom Ruriks söner var sönerna till de 999 fäderna. Således är deras antal lika med 2 999=1998. Tillsammans med Ruriks tre söner blir det 2001 ättlingar sammanlagt. 3. En familj kom till en bro under nattetid. Pappa kan komma över bron på 1 minut, mamma på 2 minuter, lillebror på 5 minuter, medan mormor endast på 10 minuter. De har bara en ficklampa. Bron är så liten att bara en eller två personer kan vistas på den samtidigt. Hur kan de alla komma över bron på 17 minuter sammanlagt? Villkor: a) Om två personer går samtidigt då går de med den minsta av de två hastigheterna. b) Man får inte gå över bron utan en ficklampa. c) Man kan inte belysa vägen från långt håll. d) Man får inte bära varandra. e) Man får inte kasta ficklampan. Lösning. Det behövs minst 3 övergångar fram och 2 tillbaka. Om mormor och lillebror går var för sig eller om någon av dem kommer tillbaka då krävs det minst =18 min. Mormor och lillebror kan inte vara det första eller det sista paret, annars skulle någon av dem komma tillbaka med ficklampan. Nu återstår det praktiskt taget en enda möjlighet: pappa och mamma går fram över bron först (på 2 min), sedan kommer mamma tillbaka (på 2 min), sedan går mormor och lillebror fram (på 10 min), och pappa återvänder (på 1 min). Till slut går pappa och mamma fram (på 2 min). Det blir sammanlagt precis 17 minuter. 4. Den första siffran i ett 10-siffrigt tal är lika med antalet ettor i talets decimalutveckling, den andra siffran är lika med antalet tvåor, den tredje med antalet treor, o.s.v., den nionde siffran är lika med antalet nior, och den tionde siffran med antalet nollor. Bestäm det 10-siffriga talet. Lösning. Låt oss beteckna med a 0,a 1,a 2,,a 9 antalet förekomster i talet T av siffran 0,1,2,, 9. Låt oss också beteckna antalet nollor med n, och antalet ettor med e, dvs a 0 =n och a 1 =e. Talet T består av 10 siffror sammanlagt: a 0 nollor, a 1 ettor osv, således gäller a 0 +a 1 +a a 9 =10 (E1) Å andra sidan låt oss samla siffrorna av T i grupperna enligt antalet förekomster i T. Antag att siffran j förekommer exakt 3 gånger. Då står trean i T på j:te plats. Således gäller att antalet olika siffror som förekommer exakt tre gånger är lika med antalet treor i T. Men antalet treor är a 3. Således upptar dem siffrorna som förekommer tre gånger exakt 3a 3 platser i T. Samma gäller för de siffror som förekommer 1 gång, 2 gånger osv. Detta medför ekvationen a 1 +2a a 9 =10 (E2) Om vi endast betraktar positiva termer i E2: s vänsterled då är den minsta termen åtminstone 1, den näst minsta åtminstone 2 osv. Således har vi högst 4 positiva termer, eftersom annars överstiger summan i vänsterledet =10. Med exakt 4 positiva termer gäller E2 om och endast om a 1 =a 2 =a 3 =a 4 =1. I detta fall innehåller T minst 4 ettor, dvs a 1 >1. Motsägelse! Således har vi högst 3 positiva termer i (E2). Då har vi minst 6 nollor i T, dvs a 0 =n 6. Eftersom det finns siffran n i T är a n >0. Å andra sidan gäller na n <10 samt n>5. Således är

3 a n =1. Vi har redan minst en etta i T. Om också a 1 =1, då har vi minst 2 ettor, dvs a 1 >1 Motsägelse! Således a 1 =e>1. Då finns siffran e i T, således a e >0. Då har vi redan tre positiva termer i (E2): a 1, ea e samt na n. Fler kan det inte finnas. Således är a 0 =n=6, a 6 =1, a e =1 samt a 1 =e=2. Vi får alltså T= a) Man vill hänga en tavla på en vägg. Ett snöre är fastgjort vid tavlans två övre hörn. Hur kan man linda snöret på två spikar så att tavlan hänger stabilt, men skulle ramla ner om man tog bort antingen den ena eller den andra av de två spikarna? (Både snöret och spikarna ska vara ovanför tavlan). b) Samma fråga med tre spikar (tavlan skulle ramla ner om man tog bort vilken som helst av de tre spikarna). Lösning. Låt oss beskriva lösningen på följande sätt: vi genomlöper snöret från det vänstra hörnet till det högra, och när snöret går ovanför den i:te spiken till höger skriver vi H i, och när snöret går till vänster skriver vi V i. a) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2. Om man tar bort den första spiken, då försvinner både H 1 och V 1 och då tar V 2 och H 2 ut varandra. Samma sak gäller om man tar bort den andra spiken. b) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2 H 3 V 2 H 1 H 2 V 1 V 3. Indelning i kvadrater och rektanglar 1. Dela upp en kvadrat i a) 9; b) 7; c) 6; d) 8 mindre kvadrater (ej obligatoriskt lika stora). Svar. 2. Dela upp en kvadrat i a) 10; b) 15; c) 17 mindre kvadrater. Svar. 3. Visa att det är omöjligt att dela upp en kvadrat i a) 2; b) 3; c)* 5 mindre kvadrater. Lösningar. a,b) I varje hörn av kvadraten måste en delkvadrat ligga och en delkvadrat kan inte täcka två hörn samtidigt. Således behövs det minst 4 delkvadrater. c) Om det finns en glipa mellan två delkvadrater som täcker två hörn vid samma kvadratssida, då skulle det behövas ytterligare delkvadrater för att täcka glipan. Två glipor vid olika sidor kan inte täckas av samma delkvadrat. Det finns bara en delkvadrat förutom de 4 hörndelkvadraterna. Alltså finns det minst tre sidor utan glipor, dvs hörndelkvadraterna ligger där tätt intill varandra. Låt den ursprunliga kvadraten ha storleken 1 och låt hörnkvadraterna ha storlekar a,b,c,d. Antag att en glipa saknas mellan a och b, mellan b och

4 c samt mellan c och d. Då gäller att a+b=b+c=c+d=1, vilket medför att a=c, b=d. Om a>0,5 då är a+c>1. Detta skulle betyda att a och c överlappade varandra kring medelpunkten av kvadraten. Således är a 0,5, och av samma anledning är b 0,5. Detta medför att a=b=c=d=0,5, dvs kvadraten är uppdelad endast i 4 delkvadrater. 4. Visa att det går att dela upp en kvadrat i a) 1000; b) godtycklig antal dock större än 5 mindre kvadrater. Lösning. a) Dela kvadraten i 10 10=100 lika stora delkvadrater. Dela sedan varje delkvadrat i 10 mindre delkvadrater som i 2a). b) Observera att om vi delar upp en delkvadrat i 4 lika stora mindre delkvadrater då ökar antalet delkvadrater med 3. Kalla denna operation för fyrdelning. Nu gör vi så här. Först skriver vi om n på formen n=3k+r, där k är ett heltal och resten r är lika med 0, 1 eller 2. Om r=0 då tar vi indelningen i 6 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. Om r=1 då tar vi den ursprungliga kvadraten och upprepar fyrdelningen k gånger. Om r=2 tar vi indelningen i 8 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. 5. a) En rektangel är uppdelad i två mindre rektanglar som är likformiga med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. b) En rektangel är uppdelad i en kvadrat och en mindre rektangel som är likformig med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. Lösning. a) Båda delrektanglarna måste ligga på tvären, annars blir de inte likformiga med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektanglarna ha sidorna a och b där sidan b är gemensam. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna 2a och b och vi får ekvationen 2a/b=b/a. Svaret blir då b = 2 a. b) Delrektangeln måste ligga på tvären, annars blir den ej likformig med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektangeln ha sidorna a och b där sidan b är gemensam med kvadraten. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna a+b och b och vi får ekvationen (a+b)/b=b/a. Låt b/a=x, då kan vi skriva om ekvationen 1/x + 1 = x, x 2 x 1=0. Svaret blir då b 1+ 5 = (gyllene snittet). a 2 6. a) Hur kan man dela upp en kvadrat i fem rektanglar så att två av dem aldrig har en gemensam sida? b) Antag dessutom att alla de ovanstående rektanglarna har samma area. Visa att en av rektanglarna är en kvadrat. Lösningar. a)

5 b) Den centrala delrektangeln har sidorna b 1 a 3 resp. b 2 a 4. Antag att b 1 b 2, säg, b 1 >b 2. Eftersom b 1 a 2 =b 2 a 3 gäller a 2 <a 3. Eftersom a 2 +b 2 =a 3 +b 3 gäller b 2 >b 3. Detta medför på samma sätt att b 3 >b 4, vilket i sin tur ger oss b 4 >b 1. Men då får vi kedjan b 1 >b 2 >b 3 >b 4 >b 1 vilket är en motsägelse. På samma sätt är b 1 <b 2 omöjligt. Således b 1 =b 2. På samma sätt härleder vi att a 3 =a 4. Då är sidorna i den centrala rektangeln lika stora, dvs den är en kvadrat. 7. Rektanglarna på bilderna a) och b) nedan är uppdelad i kvadrater. Man vet att sidan i den minsta av kvadraterna är lika med 1. Bestäm sidorna av de övriga kvadraterna. Lösning. a) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7a. Vi härleder sambandet genom att addera delkvadraternas storlekar på båda sidorna av någon sträcka. Då får vi i tur och ordning: b=a, c=a+b 1=2a 1, d=c 1=2a 2, e=d 1=2a 3. Sambandet e=a+1 ger oss då ekvationen 2a 3=a+1. Ur detta får vi a=4, b=4, c=7, d=6, e=5. b) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7b. På samma sätt som i punkten a) får vi b=a 1, c=a 2, d=2a 3, e=a+1. Då är e+1=c+f får vi f=e+1 c=4. Vidare gäller g=a+5, h=a+9. Sambandet c+d=f+h ger oss ekvationen 3a 5=a+13. Ur detta får vi a=9, b=8, c=7, d=15, e=10, f=4, g=14, h=18. Observera att alla kvadrater är olika! 8. Är det möjligt att dela upp en kvadrat i 3 likformiga men ej lika rektanglar? Lösning. Ja, det är möjligt. Betrakta indelningen av enhetskvadraten på bilden. 1 1 y x Delrektanglarna är likformiga sinsemellan om = =. Då är y=x(1 x) och likheten 1 x x y 1 1 x(1 x) = är då ekvivalent med tredjegradsekvationen x 3 2x 2 +3x 1=0. Eftersom 1 x x vänsterledet är negativt i punkten x=0 och positivt i punkten x=1 så finns det en rot mellan 0 och 1. Den roten ger oss de sökta storlekarna på delrektanglarna.

6 9. En kvadrat är uppdelad i 100 mindre kvadrater. Alla kvadrater förutom en är enhetskvadrater. Bestäm storleken av den ursprungliga kvadraten. Lösning. Antag att man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och ej skär den särskilda delkvadraten. Då måste sträckan delas i enhetsintervall av sina skärningspunkter med alla vågräta sidor. Således är kvadratens storlek ett heltal. Om man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och skär den särkilda delkvadraten, då får vi på samma sätt att storleken av den särskilda delkvadraten också är ett heltal. Vi har alltså två heltal: n är storleken av den ursprungliga kvadraten och m är storleken av den särskilda kvadraten. Differensen av deras areor n 2 m 2 blir 100. Vi skriver om detta som ekvationen (n m)(n+m)=100. Talen n m och n+m är av samma paritet och n+m>n m. Då finns det bara ett sätt att faktoruppdela 100=2 50. Ur ekvationssystemet n m=2, n+m=50 fås lösningen m=24, n=26, vilket är svaret. 10. * Dela upp en kvadrat i mindre kvadrater så att inga tre av dem är lika. Lösning. Först tar vi en kvadrat av storleken 65 och delar upp den i två kvadrater av storlekar 32 resp. 33 och två rektanglar av storlekar Sedan delar vi upp var och en av de två rektanglarna i olika kvadrater enligt schemat från lösningen 7b.

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Lösning till fråga 5 kappa-06

Lösning till fråga 5 kappa-06 Lösning till fråga 5 kappa-06 Figurer till uppgift a) ligger samlade efter uppgiften. Inledning Betrakta först N punkter som tillhör den slutna enhetskvadraten inlagd i ett koordinatsystem enligt figur

Läs mer

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Kvalificeringstävling den 28 september 2010

Kvalificeringstävling den 28 september 2010 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 28 september 2010 Förslag till lösningar Problem 1 En rektangel består av nio smårektanglar med areor (i m 2 ) enligt figur

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 69, 1986 Årgång 69, 1986 Första häftet 3420. Två ljus av samma längd är gjorda av olika material så att brinntiden är olika. Det ena brinner upp på tre timmar och det andra på fyra timmar.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara

Läs mer

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2014 Junior. 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt?

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2014 Junior. 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt? Trepoängsproblem 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt? A: a < b < c B: a < c < b C: b < a < c D: b < c < a E: c < b < a 2 Sidolängderna i

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Kvalificeringstävling den 30 september 2014 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

A B C D E. 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. A B C D E

A B C D E. 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. A B C D E N G A RA Kängurutävlingen 2015 Benjamin Trepoängsuppgifter 1 Vilken figur är skuggad till hälften? Slovakien 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. Vilken av följande bilder är inte

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Facit åk 6 Prima Formula

Facit åk 6 Prima Formula Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

Känguru 2016 Student gymnasieserien

Känguru 2016 Student gymnasieserien sid 1 / 10 NAMN GRUPP Poäng: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal! Så om du t.ex. svarar

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3

Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat

Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat Liten tävling Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat Uttryck talet 2013 genom att bara använda fyror. Försök att använda så få fyror som möjligt. Tillåtna operationer är de fyra

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Matteklubben Vårterminen 2015, lektion 6

Matteklubben Vårterminen 2015, lektion 6 Matteklubben Vårterminen 2015, lektion 6 Regler till Matematisk Yatzy Matematisk Yatzy är en tävling där man tävlar i att lösa matematikproblem. Målet i tävlingen är att få så mycket poäng som möjligt

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 65, 982 Årgång 65, 982 Första häftet 3260. På var och en av rutorna på ett schackbräde (med 8 rutor) ligger en papperslapp. Kan man flytta papperslapparna så att samtliga kommer att ligga

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 63, 198 Årgång 63, 198 Första häftet 318. Visa att x8 + 4x 6 + 7x 4 + 6x 2 + 3 x 6 + 3x 4 + 4x 2 3 för alla reella tal x. + 2 2 3181. Figuren nedan är gjord av en kvadrat och dess omskrivna

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

4-4 Parallellogrammer Namn:..

4-4 Parallellogrammer Namn:.. 4-4 Parallellogrammer Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat bl.a. med linjer och vinklar. En linje är ju någonting som bara har en dimension, längd. Men när två linjer skär varandra och det bildas

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaB vt2001 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2001 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 Förord Skolverket har endast

Läs mer

Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 NAMN KLASS / GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala

Läs mer

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Nämnarens adventskalender 2009, lösningar

Nämnarens adventskalender 2009, lösningar Nämnarens adventskalender 2009, lösningar 1. Här är tre sätt: Det sista sättet är ett som bygger på att man tar bort två tändstickor. Finns det fler sätt? 2. Den väger 160 g. 800-480=320g, dvs halva mängden

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien)

A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien) Trepoängsproblem 1. Andrea föddes 1997 och hennes yngre syster Charlotte 2001. Skillnaden i ålder mellan systrarna är med säkerhet A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Känguru 2012 Benjamin sid 1 / 8 (åk 6 och 7)

Känguru 2012 Benjamin sid 1 / 8 (åk 6 och 7) Känguru 2012 Benjamin sid 1 / 8 NAMN KLASS Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC. Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1 Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 30 cm?

1 Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 30 cm? Kängurutävlingen 0 Student Trepoängsproblem Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 0 cm? Water level (cm) 0 0 0 0 0 0 0 0 -

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Årgång 85, 2002. Första häftet

Årgång 85, 2002. Första häftet Elementa Årgång 85, 2002 Årgång 85, 2002 Första häftet 4060. Dorotea, Fredrika, Nora och Ulrika har tillsammans 117 glaskulor. Uppgifterna om hur många kulor var och en äger är ytterst knapphändiga. Man

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Känguru 2011 Cadet (Åk 8 och 9)

Känguru 2011 Cadet (Åk 8 och 9) sida 1 / 7 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Gissa inte, felaktigt

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

δx 1, (1) u 1 + u ) x 1 där den andra termen är hastighetsförändringen längs elementet.

δx 1, (1) u 1 + u ) x 1 där den andra termen är hastighetsförändringen längs elementet. Föreläsning 3. 1 Töjningstensorn I denna föreläsning kommer vi konsekvent att använda oss utav Cartesisk tensornotation i vilken vi benämner våra koordinater med (x 1, x 2, x 3 ) och motsvarande hastighetskomponenter

Läs mer

Avdelning 1, trepoängsproblem

Avdelning 1, trepoängsproblem Avdelning 1, trepoängsproblem 1. Vilket är ett jämnt tal? A: 2009 B: 2 + 0 + 0 + 9 C: 200 9 D: 200 9 E: 200 + 9 Frankrike 2. Var är kängurun? A: I cirkeln och i triangeln, men inte i kvadraten. B: I cirkeln

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Blandade uppgifter om tal

Blandade uppgifter om tal Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer