Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
|
|
- Göran Bergqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område där obekanta funktionen u ( uppfyller givna villkor i randpunkter till området Ett sådant problem kallas randvärdesproblemet Exempel på ett randvärdesproblem: Bestäm funktionen u ( som satisfierar ekvationen u( u( 0, 0 x, 0 y b (ekv1) y och följande randvillkor: V 1: u ( 0, 0, för 0 y b V: u (, 0 för alla 0 y b, Villkor 3: u ( 0) 0 för 0 x, Villkor 4: u ( b) x 3 för 0 x, Vi säger att villkoren V1, V och V3 är homogena medan V4 är icke-homogen Några typer av homogena partiella differentialekvationer (PDE) med givna randvillkor, t ex värmeledningsekvation, vågekvation och aplaces ekvation, kan man lösa med hjälp av Fouriermetoden Först använder man variabelseparation för att bestämma sk produktlösningar, som satisfierar ekvationen och homogena villkor Därefter bildar man en serie (oändligt summa) av sådana lösningar, och bestämmer koefficienter i serien så att även icke homogena villkor blir uppfyllda Här förklarar vi första delen av Fouriermetoden, dvs vi förklarar hur man bestämmer produktlösningar dvs lösningar av typen u( Y (, 1 av 1
2 som uppfyller ekvationen och givna homogena villkor Som en inledning betraktar vi ordinära DE med konstanta koefficienter av typen y y( 0 som förekommer oftast i Fouriermetoden ösningens typ beror på om är 0, negativt eller positivt tal Exempel 1 ös följande DE: a) y 0 b) y 4y( 0 c) y 4y( 0 ösning: a) y 0 y A y At B rt b) y 4y( 0 löser vi med hjälp av ansatsen y e som ger den karakteristiska t t ekvationen r 4 0 r Därmed är y1 e och y e två baslösningar och t t slutligen y Ae Be är den allmänna lösningen Anmärkning: Vi kan också använda följande linjära kombinationer som baslösningar t t t t e e e e ya cosh t och yb sinh( och ange den allmänna lösningen med hjälp av hyperboliska funktioner: y Acosht Bsinh t Sådana lösningar förenklar bestämning av konstanter A och B i några fall rt c) y 4y( 0 löser vi med hjälp av ansatsen y e som ger den karakteristiska ekvationen r 4 0 r 0 i Därmed är y1 cos( och y sin( två baslösningar och slutligen y Acost Bsin t är den allmänna lösningen i den här fallet Exempel Om vi betraktar ekvationen y y( 0 i allmänt fall ( är vilket som helst helt tal), analyserar vi tre möjliga fall i) 0, ii) 0 och iii) 0, och löser varje fall separat i) 0 ger (som ovan) y At B ii) Om 0 betecknar vi y där är ett positivt tal och får (som i exempel1) t t Ae Be (Alternativt kan vi använda y Acosh( Bsinh( ) iii) Om 0 betecknar vi där är ett positivt tal och får (som i exempel y Acos( Bsin( av 1
3 I nedanstående uppgifter förklarar vi bestämning av produktlösningar med hjälp av variabelseparation Uppgift 1 a) Bestäm alla produktlösningar u( Y till följande PDE u x t u x t k (, ) (, ), 0 x, t 0 (ekv1) t, där k>0 är en konstant b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för alla t 0, Villkor : u (, 0 för alla t 0, ösning a) Vi börjar med produktansatsen och variabelseparation åt u( Y (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får kx ( Y Y ( Nu separerar vi variabler och får X ( 1 Y ( k Y (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av t, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med (Vi betecknar konstanten med för att efterlikna beteckning i kursboken, annars kan vi använda ) Alltså X ( 1 Y ( k Y (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: Från X ( och 1 Y ( k Y får vi 3 av 1
4 X X 0 (ekv a) och Y ky 0 (ekv b) ösningen till (ekv a) beror på Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y C Därmed blir u( Y = C( Ax B) (notera att CA är en konstan eller u( Ax B II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Från (ekv b) har vi Y k Y 0 som ger Y Ce k t Därmed u( Y =( Ae III) Om 0 kan vi beteckna Be ) x x e k t, där 0 där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y k Y 0 som ger Y k t Ce Därmed u( Y =( Acos( ) Bsin( ) ) e k t, där 0 Svar a) Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): I) u( Ax B II) u ( =( Ae Be ) e t, där 0 x x III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) ) e t, där 0 (just nu vilket som helst positivt tal) (A, B är godtyckliga reella tal) b) 4 av 1
5 Frågan är vilka av ovanstående lösningar uppfyller också villkoren V1 och V Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för alla t 0, som X ( 0) Y 0 för alla t 0 Detta ger X ( 0) 0 eller Y 0 Om Y 0 har vi u ( 0 Den här triviala lösningen uppfyller (ekv1) och båda homogena villkor V1 och V (Vi har därmed funnit en lösning till problemet, den triviala lösningen u ( 0 ) På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 för alla t 0, medför X ( ) Y 0 och därmed X ( ) 0 eller Y 0 Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u( 0 som vi har redan fått II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom A B 0 Ae Be 0 medför A 0, B 0 ger X 0 och u ( 0 (den triviala lösningen som vi har redan fåt III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin( och därmed 5 av 1
6 n k t n u ( XY Be sin( där n 1,,3,4, (och B en konstant vilken som helst, även 0 tillåts eftersom den triviala lösningen är också lösningen till probleme Svar b) hels k t n u ( Be sin( n, där n 1,,3,4, (och B en konstant vilken som är produktlösningarna som uppfyller (ekv1) och homogena villkor V1 och V Uppgift a) Bestäm alla produktlösningar u( Y till följande PDE k u( u( t, 0 x, t 0 (ekv1), där k > 0 är en konstant b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för alla t 0, Villkor : u (, 0 för alla t 0, ösning: Vi börjar med produktansatsen och variabelseparation åt u( Y (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får k X ( Y( Y eller, efter variabelseparation, X ( 1 Y k Y (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av t, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med (Vi betecknar konstanten med för att efterlikna beteckning i kursboken, annars kan vi använda ) Alltså X ( 1 Y ( k Y (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: 6 av 1
7 Från X ( och 1 Y ( k Y får vi X X 0 (ekv a) och Y k Y 0 (ekv b) Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y Ct D Därmed blir u( Y = ( Ax B)( Ct D) II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Från (ekv b) har vi Y k Y 0 som ger Y Ce kt De kt Därmed u( Y =( Ae III) Om 0 kan vi beteckna Be )( Ce x x kt kt De ), där 0 där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y k Y 0 som ger Y C cos( k Dsin( k Därmed u( Y =( Acos( ) Bsin( ) )( C cos( k Dsin( k ), där 0 Svar a) Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): I) u( ( Ax B)( Ct D) II) u ( = ( Ae Be )( Ce x x kt kt De ), där 0 III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) )( C cos( k Dsin( k ), där 0 (just nu vilket som helst positivt tal) A, B, C och D är godtyckliga reella konstanter 7 av 1
8 b) Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för alla t 0, som X ( 0) Y 0 för alla t 0 Detta ger X ( 0) 0 eller Y 0 Notera att Y 0 ger u ( 0 som är den triviala lösningen till (ekv1) men som uppfyller homogena villkor V1 och V Alltså har vi funnit en lösning, den triviala lösningen u ( 0 På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 för alla t 0, medför X ( ) Y 0 och därmed X ( ) 0 och Y 0 ( Y 0 ger den redan funna triviala lösningen u ( 0 ) Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u( 0 som vi har redan fått II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom A B 0 Ae Be 0 medför A 0, B 0 som ger X 0 och u ( 0 (som vi har redan fåt III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin(, där n 1,,3,4, och B en konstant 8 av 1
9 Från III har vi n n n u ( u( Y =( Bsin( )( C cos( k Dsin( k ), Vi ersätter B C med E och B D med F och får n n n Svar b) u ( = sin( [ E cos( k F sin( k ] Uppgift 3 a) Bestäm alla produktlösningar u( Y ( till följande PDE ös PDE med tillhörande randvillkor: u( u( 0, 0 x, 0 y b (ekv1) y b) Bestäm de produktlösningar som uppfyller (ekv 1) och följande homogena villkor: Villkor 1: u ( 0, 0, för 0 y b Villkor : u (, 0 för alla 0 y b, ösning a) åt u( Y ( (P1) Vi substituerar P1 i (ekv1) och får X ( Y ( Y ( 0 Vi separerar variabler och får X ( Y ( Y ( (*) Eftersom vänsterledet beror av x och högerledet enbart av y, måste de vara konstanta och ha samma värde som vi betecknar med Alltså X ( Y ( Y ( (**) där är ett reellt tal (just nu vilket som hels Från (**) får vi två enkla ODE med konstanta koefficienter: Från X ( och Y ( Y ( får vi X X 0 (ekv a) 9 av 1
10 och Y Y 0 (ekv b) Vi betraktar tre fall 0, 0 och 0 I) Om 0 blir ovanstående ekvationer X 0 och Y 0 som ger X Ax B och Y Cy D Därmed blir u( Y ( = ( Ax B)( Cy D) II) Om 0 kan vi av praktiska skäll beteckna där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Ae Be Vi kan även använda X Acosh( ) Bsinh( ) som är ibland enklare att hantera Från (ekv b) har vi Y Y 0 som ger Y C cos( Dsin( Därmed u( Y ( =( Ae Allternativt kan vi skriva u ( ( Acosh( B sinh( ) III) Om 0 kan vi beteckna Be ) C cos( Dsin(, där 0 x x ) C cos( Dsin(, där är ett positivt tal Från (ekv a) får vi X X 0 som gör X Acos( ) Bsin( ) Från (ekv b) får vi Y Y 0 som ger Y C cosh( Dsinh( Därmed u( Y ( =( Acos( ) Bsin( ) )( C cosh( Dsinh( ), där 0 Sammanfattningsvis har vi fått följande produktlösningar till (ekv1): Svar a) I) u( ( Ax B)( Cy D) II) u ( = ( Acosh( Bsinh( ) ) C cos( Dsin(, där 0 III) u ( ( Acos( ) Bsin( ) )( C cosh( Dsinh( ), där 0 (just nu är vilket som helst positivt tal) 10 av 1
11 b) Frågan är vilka av ovanstående lösningar uppfyller också villkoren V1 och V Först anpassar vi V1 och V till vår produktlösning Eftersom u( Y ( kan vi skriva V1: u ( 0, 0, för 0 y b som X ( 0) Y ( 0 för 0 y b Detta ger X ( 0) 0 eller Y ( 0 Om Y ( 0 då u ( 0 som uppfyller ekv1 och båda villkor V1,V Alltså har vi fått en lösning till b delen den triviala lösnigen u ( 0 På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, 0 medför X ( ) Y ( 0 och därmed X ( ) 0 eller Y ( 0 (Notera att Y ( 0 ger u( 0 som vi redan har fåt Nu undersöker vi vilka produktlösningar som uppfyller V1 : X ( 0) 0 och V : X ( ) 0 I) Om X Ax B då får vi från V1 och V att B=0 och A=0 Därför blir X 0 som ger den triviala lösningen u ( 0) 0 som vi redan har fåt II) På liknande sätt kan vi visa att typ II lösningar också leder till u ( 0 eftersom Från villkor V1 har vi: A cosh( 0) B sinh(0) 0 som ger A 0, därefter B sinh( ) 0 som ger B 0, eftersom sinh( ) 0 endast om =0 (notera skillnaden mellan den hyperboliska och den trigonometriska sinusfunktionen) Därför endast triviala lösningen från fall II III) Kvarstår lösningar av typ III dvs X Acos( ) Bsin( ) (och därmed Y C cosh( Dsinh( ) Vi ska bestämma alla värden på så att X uppfyller både V1 och V V1 : Från X ( 0) 0 har vi A cos( 0) Bsin(0) 0 A 0 Alltså X Bsin( ) V : Från X ( ) 0 har vi Bsin( ) 0 Härav sin( ) 0 (eftersom B=0 leder till triviala lösningen), och därför 11 av 1
12 n n där n 1,,3,4, (notera att 0 enligt antagande) n Därför är X Bsin(, där n 1,,3,4, och B en konstant Härav n n n u( Y ( = sin( [ C cosh( Dsinh( ], är de sökta produktlösningar De uppfyller ekv1, V1 och V n n n Svar b) u ( = sin( [ C cosh( Dsinh( ], n 1,,3,4, 1 av 1
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.
VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
SUBSTITUTIONER I DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Innehåll: I) Allmänt om substitutioner i förstaordningens DE II) Ekvationer av tpen ( ) F( ) ------------------------------------------------------------------------------------
Läs merPartiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem
Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merKap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik),
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN juni 0 HF006 och HF008 Tid :-7: Moment: TEN (Analys), hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF008, lärare: Fredrik Bergholm och Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF006,
Läs merb) (2p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen Uppgift 3. ( 4 poäng) a ) (2p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y
TENTAMEN Datum: 6 april 00 TEN: Differentialekvationer, komplea tal och Taylors formel Kurskod HF000, HF00, 6H0, 6H000, 6L000 Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ
Läs mer1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014
TENTAMEN HF00 och HF008 TEN jan 04 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Richard Eriksson Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och anals,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs merx(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merEnvariabelanalys 5B Matlablaboration
Mariana Dalarsson, ME & Johan Svenonius, IT Envariabelanalys 5B47 - Matlablaboration 7-- Kurs: 5B47 Handledare: Karim Daho Uppgift Situationen kan illustreras med följande figur: Följande krafter verkar
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs mera (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.
TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift
Läs merSTABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 7 juni 2011 Tid: 13:15-17:15 Moment: TEN2 (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys,
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN april 07 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merUppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).
TETAME 08-Okt-, HF006 och HF008 Moment: TE (Linjär algebra), hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF008, Linjär algebra och anals HF006 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats:
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merTENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 0 aug 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A, B,
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012
TENTAMEN HF006 och HF008 TEN 0 dec 0 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Svante Granqvist Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merUppgifter 9 och 10 är för de som studerar byggteknik
INLÄMNINGSPPGIFT MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, HF003 007/08 ( DIFFERENTIAL EKVATIONER ) armin@sth.kth.se www.sth.kth.se/armin tel 08 790 80 Inlämningsuppgift består av två uppgifter. Individuellt
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merINLÄMNINGSUPPGIFT 1 MATEMATIK 2, HF1000 ( DIFFERENTIAL EKVATIONER)
INLÄMNINGSPPGIFT MATEMATIK, HF000 ( DIFFERENTIAL EKVATIONER) armin@sth.kth.se www.sth.kth.se/armin tel 08 790 80 Inlämningsuppgift består av tre uppgifter. Individuellt arbete. Du väljer tre av nedanstående
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 9 jan 07 Tid -8 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merMATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN
TENTAMEN Datum: 0 maj 007 Kurs: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H000, 6L000, 6H0 TEN (Differential ekvationer, komplexa tal) Skrivtid: :5-7:5 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som
Läs mery = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,
MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE,.0hp, 2018-08-13 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merProgram: DATA, ELEKTRO
Program: DATA, ELEKTRO TENTAMEN Datum: 0 aug 007 Kurser: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H3000, 6L3000, MATEMATIK 6H30 TEN (Differential ekvationer, komplea tal) Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:
Läs merFEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA april 2011
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (7-65753) PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA34 8 april SKRIVTID: 8-3 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer Mikael Hindgren 10 september 2019 Differensekvationer Exempel 1 En talföljd y n} uppfyller yn+1 2y n 0 y 0 3 Bestäm en formel för y n.
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merMATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna
Läs merSida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
Sida av 7 ALLMÄNNA VEKTORRUM VEKTORRUM Definition Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns i) en additionsoperation som till varje uu VV och vv VV ordnar uu vv VV ii) en operation kallad multiplikation
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade
Läs merOrdinära differentialekvationer
Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström 2002 01 15 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer 8 2.1 Separabla ekvationer....................................
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs mer