MA2047 Algebra och diskret matematik
|
|
- Hanna Håkansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer Mikael Hindgren 10 september 2019
2 Differensekvationer Exempel 1 En talföljd y n} uppfyller yn+1 2y n 0 y 0 3 Bestäm en formel för y n. y n+1 2y n y n} y 0 y 1 y 2...} } } y n 3 2 n Allmänt: Differensekvationen y n+1 + ay n 0 har den allmänna lösningen y n y 0 ( a) n Anm: Differensekvationer kallas också rekurrensekvationer. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 2 / 20
3 Differensekvationer Exempel 2 (Komplexitet för binär sökning) N n Antal element i en ordnad lista som kan genomsökas med högst n tester Nn+1 2N n N 1 1 Nn+1 2N n 0 N 1 1 N n C 2 n N 1 C 2 1 C 1 2 N n 2 n 1 n 1 log 2 N n n log 2 (N n) + 1 Komplexiteten för binär sökning O(log N) Telefonkatalog med 1 miljon namn n högst 21 tester krävs! Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 3 / 20
4 Differensekvationer Exempel 3 En talföljd y n} uppfyller yn+1 2 y n y 0 1 y n? Mathematica: y n n y n} / / / / / /128...} Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 4 / 20
5 Linjära differensekvationer Definition 1 En differensekvation är linjär om den kan skrivas på formen L(x n) h n (1) där L är en operator på talföljden x n} med egenskapen L(ax n + by n) al(x n) + bl(y n) a b konstanter (1) kallas homogen om h n 0 annars inhomogen. Av satsen följer: Om x n och y n är två lösningar till en linjär differensekvation så är också ax n + by n en lösning för alla tal a och b. Ex 1: y n+1 2y n är linjär. Ex 3: y n+1 2 y n är ickelinjär. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 5 / 20
6 Linjära differensekvationer Exempel 4 x n+1 + 2nx n 2 n 1:a ordn linjär och inhomogen x n+2 + n 2 x n+1 3x n 0 2:a ord linjär homogen x n+3 + 3x n+2 + 4x n+1 2x n 3 n + 2n 3:dje ordn linjär inhomogen x n+2 + xn+1 2 3x n 0 2:a ordn ickelinjär Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 6 / 20
7 Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 5 Lös differensekvationen yn+2 4y n+1 + 4y n 0 y 0 1 y 1 0. Vi söker alla lösningar dvs den allmänna lösningen till differensekvationen: y n+2 + py n+1 + qy n 0 p q godtyckliga konstanter (2) Motsvarande 1:a ordningens ekvation y n+1 + ay n 0 hade den allmänna lösningen y n C( a) n Vi testar därför om y n Cr n är en lösning till (2) Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 7 / 20
8 Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Insättning av y n Cr n i (2): y n+2 + py n+1 + qy n Cr n+2 + pcr n+1 + qcr n Cr n (r 2 + pr + q) 0 y n Cr n 0 C 0 eller r 2 + pr + q 0 Karakteristisk ekvation Anm: En linjär homogen differensekvation har alltid en trivial lösning y n 0. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 8 / 20
9 Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Man kan visa: Sats 1 Den homogena differensekvationen y n+2 + py n+1 + qy n 0 har den allmänna lösningen y n C1 r n 1 + C 2 r n 2 r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r n 1 r 1 r 2 där r 1 och r 2 är rötter till den karaktäristiska ekvationen r 2 + pr + q 0 och C 1 och C 2 godtyckliga konstanter. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 9 / 20
10 Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 1 (forts) yn+2 4y n+1 + 4y n 0 y 0 1 y 1 0. Karaktäristisk ekvation: r 2 4r + 4 (r 2) 2 0 r 1 r 2 2 Allmän lösning enligt Sats 1: y n (C 1 n + C 2 )2 n y 0 1 (C C 2 )2 0 1 C 2 1 y 1 0 (C C 2 )2 1 0 C 1 1 Den sökta lösningen är y n (1 n)2 n. Sats 1 y n C 1 r1 n + C 2r2 n r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r1 n r 1 r 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 10 / 20
11 Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 2 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 0 y 0 0 y 1 1 Karaktäristisk ekvation: r 2 3r r 1 1 r 2 2 Allmän lösning enligt Sats 1: y n C 1 1 n + C 2 2 n C 1 + C 2 2 n Sats 1 y n C 1 r1 n + C 2r2 n r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r1 n r 1 r 2 y 0 0 C 1 + C C 1 + C 2 0 C 1 C 2 y 1 1 C 1 + C C 2 + 2C 2 C 2 1 Den sökta lösningen är y n 2 n 1. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 11 / 20
12 Mer om linjära differensekvationer Sats 2 L(x n) h n och L(y n) g n L(x n + y n) h n + g n Sats 3 Om y pn är en lösning till L(y n) h n (3) (partikulärlösning) så ges den allmänna lösningen till (3) av y n y hn + y pn där y hn är den allmänna lösningen till L(y n) 0. Exempel 3 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n x n y 0 1 y 1 0 (4) då a) x n 2 3 n b) x n 2 2 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 12 / 20
13 Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 3 (a) 1 y hn C 1 + C 2 2 n enligt Ex 2 2 Ansats: y pn A3 n. Insättning i (4): y n+2 3y n+1 + 2y n A3 n+2 3A3 n+1 + 2A3 n A3 n ( ) y pn 3 n. 2A3 n 2 3 n A 1. 3 Allmän lösning enligt Sats 2: y n y hn + y pn C 1 + C 2 2 n + 3 n 4 y 0 C 1 + C C 1 + C C 1 C 2 y 1 C 1 + C C 1 + 2C C 2 + 2C C C 1 3 C 2 3 Den sökta lösningen är y n n + 3 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 13 / 20
14 Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 3 (b) Samma metod som i (a) men ansatsen y pn A2 n ingår nu i y hn (är lösning till homogena ekvationen) och fungerar inte. Ny ansats: y pn An2 n. Insättning i (4): y n+2 3y n+1 + 2y n A(n + 2)2 n+2 3A(n + 1)2 n+1 + 2An2 n y pn n2 n. A2 n (( )n + 8 6) 2A2 n 2 2 n A 1. Allmän lösning enligt Sats 2: y n y hn + y pn C 1 + C 2 2 n + n2 n y 0 C 1 + C C 1 + C 2 1 C 1 1 C 2 y 1 C 1 + C C 1 + 2C C 2 + 2C C C 1 4 C 2 3 Den sökta lösningen är y n 4 + (n 3)2 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 14 / 20
15 Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 4 Lös differensekvationen yn+2 5y n+1 + 6y n 2n + 1 Svar: y n n n y 0 1 y 1 1 Exempel 5 Lös differensekvationen yn+2 4y n+1 + 3y n 4n + 4 Svar: y n 3 n n 2 2n y 0 1 y 1 0 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 15 / 20
16 Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 6 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n 2n y 0 0 y 1 1 Enligt Sats 2 är y n y hn + y p1 n + y p2 n allmän lösning till L(y n) y n+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n 2n där y p1 n och y p2 n är partikulärlösningar till L(y n) 2 3 n resp. L(y n) 2n Enligt Ex 3 är y hn C 1 + C 2 2 n och y p1 n 3 n Eftersom y hn innehåller konstantterm (C 1 ) fungerar inte ansatsen y p2 n an + b. Ansatsen y p2 n n(an + b) an 2 + bn ger efter insättning i L(y n) 2n konstanterna a b 1 Bestämning av C 1 och C 2 med hjälp av givna värden på y 0 och y 1 ger den sökta lösningen y n n + 3 n + n 2 + n + 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 16 / 20
17 Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Sammanfattning Partikulärlösning y pn till y n+2 + py n+1 + qy n h n 1 h n Ca n : y pn Aa n om inte y hn innehåller sådan term y pn Ana n om y hn C 1 a n + C 2 b n y pn An 2 a n om y hn (C 1 n + C 2 )a n 2 h n polynom: y pn polynom p(n) av samma grad som h n om inte y hn innehåller konst. term C y pn np(n) om y hn innehåller konstantterm C men inte Cn y pn n 2 p(n) om y hn C 1 n + C 2 3 h n f n + g n: Använd sats 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 17 / 20
18 Exempel: Rekursiv algoritm för sortering Exempel 7 (Bubble sort) Bestäm effektiviteten # jämförelser (y n) som krävs för att sortera en lista t 1 t 2 t 3... t n} (Ex: } n 5) av n st reella tal i storleksordning mha Bubble sort. Rekursiv metod: Jfr t 1 med t 2 : t 1 > t 2 byt plats t 1 < t 2 gör inget Jfr (ev nya) t 2 med t 3 : t 2 > t 3 byt plats t 2 < t 3 gör inget. Resultat: Totalt n 1 jämförelser Största talet längst till höger. Börja om med listan t 1 t 2 t 3... t n 1 } nya värden. Ex: }. En runda ger }. Börja om med } Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 18 / 20
19 Exempel: Rekursiv algoritm för sortering Exempel 7 (Bubble sort forts) Rekursionsformel: yn y n 1 + n 1 y 1 0 yn y n 1 n 1 y 1 0 y hn C 1 n C enligt tidigare Partikulärlösning: Ansats y pn an 2 + bn eftersom y hn innehåller C Allmän lösning: y n y hn + y pn C + n2 n. Villkoret y ger C 0. n(n 1) y n 2 Anm: Totala antalet jämförelser: y n n 1 Aritmetisk summa} n(n 1) 2 Stämmer! Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 19 / 20
20 Differensekvationer i Mathematica Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n y 0 0 y 1 1 Lösning till homogena ekv: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]0y[n]n] Allmän lösning: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]2*3^ny[n]n] Sökt lösning: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]2*3^ny[0]0y[1]1}y[n]n] Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 20 / 20
21 . '. ypn. '. Yau 3A EX 4) LS diffenensehutibnen 3) Aum. lsg : 2h et Ynez Yu yhntypn 5Yuqt6Yu Yo I 121 Yi y q.zoeez.zotozc.es I 160 Y L 3 't C 2 't ) Yun : r 3 re 2 3 ( C 1) t 2ft 3 Cz I C 5ccz.in ii " :*.is/::::::i...acnt2)tb5(acneiltb)t6(antb)n(a5at6a ) t Zatb 5A 5bt6b I 2am Za 2 & saez 93 " 1424 ht 2 n Ent
22 . acute n' Yan ha ehu 4 8h Yb ' Ok 11g 2. n' n' 31 EXT ) Los ditennsehutione.ir 31 Allan. Yuta Yo Yyue t3yu Yueh Yu : yhntypn C tears " 2h Cft o o %c Gee ca ' ' Y Karch t : r? her t 30 Y Yhnr C c I I cis Gt3 Cz Et 343. r I r3 2C 20 C O q I " " C Int Yuu Lz g.so 3. 3 Cz sont boy : "! Yu 3 2n Standard 2) thou : auiabr.ypnantboifnnhcr.me ( h auth an 't bn ) Finns inte '!. Yun Ins : Yuen Lyne t3yu ) I b Lutz ) ( aches ) 't bluet ) ) +3 Can 't by 13 nz( a) a tu Yat ( b 136 ) that 2b Ya 43 On ' 2b Until I # 91 Eia. I I Ypn 2h
1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning 6 hp ITE/MPE-lab MA2047 Algebra och diskret matematik Mikael Hindgren Onsdagen den 26 oktober 2016 035-167220 Skrivtid: 9.00-13.00 Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om kombinatorik Mikael Hindgren 24 september 2018 Vad är kombinatorik? Huvudfråga: På hur många sätt kan en viss operation utföras? Några exempel: Hur många gånger
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs mery = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merEnvariabelanalys 2, Föreläsning 8
Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Differentialoperatorer D: Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidare. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolkas formellt
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merMS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I
MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad
Läs merRekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.
Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om restklassaritmetik Mikael Hindgren 19 september 2018 Exempel 1 Klockan är nu 8.00 Vad är klockan om 78 timmar? Vad var klockan för 53 timmar sedan? 8 + 78
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om funktioner och relationer Mikael Hindgren 1 oktober 2018 Funktionsbegreppet Exempel 1 f (x) = x 2 + 1, g(x) = x 3 och y = sin x är funktioner. Exempel 2 Kan
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merRekursion och induktion för algoritmkonstruktion
Informationsteknologi Tom Smedsaas 22 januari 2006 Rekursion och induktion för algoritmkonstruktion Att lösa ett problem rekursivt innebär att man uttrycker lösningen i termer av samma typ av problem som
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merLösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter
Läs merAlgebra och talteori MMGL31. Repetition. Idag. Föreläsning 9 VT FLS och primtalstestning. Carmichaeltal. Rabin-Miller test.
Algebra och talteori MMGL Föreläsning 9 VT 008 Samuel Bengmark Repetition FLS och primtalstestning Carmichaeltal Rabin-Miller test F-funktionen Idag Ordning av ett element i Z m Primitiv rot Index (diskret
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018 roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merExponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden
Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merBlock 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Kursintroduktion Mikael Hindgren 4 september 2019 Allmän information Genväg till kursplatsen i Blackboard: tinyurl.com/ma2047ht19 Senaste kursplatsen är alltid öppen
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merHögre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen
Institutionen för matematik, KTH 05020 Tillägg för 5B209/HT05/E.P. Högre ordnings ekvationer och system av :a ordningen Vi har hittills lärt oss lösa linjära ekvationer med konstanta koefficienter och
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner Mikael Hindgren 7 oktober 08 Enhetscirkeln Definition (Vinkelmåttet radianer) l.e. Den vinkel som motsvarar en båge med längden l.e.
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merProgramkonstruktion och Datastrukturer
Programkonstruktion och Datastrukturer VT 2012 Tidskomplexitet Elias Castegren elias.castegren.7381@student.uu.se Problem och algoritmer Ett problem är en uppgift som ska lösas. Beräkna n! givet n>0 Räkna
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merAllmän teori, linjära system
KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014 Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t)
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merx 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.
HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som
Läs merTDDI16 Datastrukturer och algoritmer. Algoritmanalys
TDDI16 Datastrukturer och algoritmer Algoritmanalys 2017-08-28 2 Översikt Skäl för att analysera algoritmer Olika fall att tänka på Medelfall Bästa Värsta Metoder för analys 2017-08-28 3 Skäl till att
Läs merx + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merSkriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: p. ger betyget 3, p. ger betyget 4 och 40 p. eller mer ger betyget
Matematik Chalmers tekniska högskola 0-08-7 kl. :00-8:00. Tentamen TMV036 Analys och linjär algebra K, Kf, Bt, del B Telefonvakt: Hossein Raufi, telefon 0703-08830 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten.
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs mer= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum:
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merVersion 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg
Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merSortering. Brute-force. Sortering Ordna element enligt relation mellan nyckelvärden
Sortering Brute-force Sortering Ordna element enligt relation mellan nyckelvärden Flera olika algoritmer med olika fördelar Brute-force Gå igenom alla permutationer och hitta den där elementen ligger i
Läs mer= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5
Läs merFöreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis
ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 25 mars 2008. DEL I 1. (3p Bestäm antalet binära ord av längd
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merSAMMANFATTNING TATA82 Diskret matematik
SAMMANFATTNING TATA82 Diskret matematik LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 2016 Senast reviderad: 2018-05-27 Författare: Viktor Cheng och Erik Frank Innehållsförteckning
Läs mer