Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis

Transkript

1 ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats: Summor av konstanter Låt a R. Det gäller då att a a 1 an En annan vanligt förekommande summa är summor där differensen mellan termerna är konstant: Definition: Aritmetisk summa Vi säger att summan av a i är aritmetisk om det gäller att a i+1 a i b för något b R för alla i i summan. Aritmetiska summor kan beskrivas med: (bi + c) (bm + c) + (b(m + 1) + c) (bn + c) im för b, c R. Exempel: Summan (4i + 1) är aritmetisk med b a i+1 a i 4. 1

2 ht01 För aritmetiska summor kan vi hitta en formel för att beräkna summans värde. Sats: Formel för aritmetiska summor Låt s n a 1 + a a n vara en aritmetisk summa med n termer. Då gäller att: a i n(a 1 + a n ) Bevis: Eftersom summan är aritmetisk gäller att a i bi + c. Vi har således att: s n (b + c) + (b + c) (nb + c) s n (nb + c) + ((n 1)b + c) (b + c) Där vi skrivt summan framlänges och baklänges. Vi adderar dessa uttryck vilket ger: s n (b + c) + (nb + c)+ + (b + c) + ((n 1)b + c)+ + (3b + c) + ((n )b + c) (nb + c) + (b + c) Vi ser att varje rad blir lika med (n + 1)b + c och eftersom det är n rader får vi när vi summerar raderna att: s n n( (n + 1)b + c ) n( (b + c) + (nb + c) ) n(a 1 + a n ) Detta ger att s n n(a 1+a n), V.S.V. Exempel: Beräkna summan 1 i3(5i ). Lösning: Den första termen blir a , och den sista termen blir a n Det är n termer i summan. Vi använder detta för att beräkna summan: 1 i3 (5i ) 19( ) 110 Om kvoten mellan termerna i en summa är konstant får vi en annan typ av summa: Definition: Geometrisk summa

3 ht01 Summan av a i är geometrisk om det gäller att a i+1 a i geometriska summor på formen: r för något r R för alla i. Vi kan skriva br i br m + br m br n im för b, r R. Exempel: Summan i är geometrisk, med r a i+1 a i. Vi kan ta fram en allmänn formel även för geometriska summor: Sats: Formel för geometriska summor Låt s n a 1 + a +... a n vara en geometrisk summa med n termer, där 1 r a i+1 a i. Då gäller att: s n a i a 1 1 r n 1 r Bevis: Eftersom summan är geometrisk måste a i a 1 r i 1 och vi kan skriva: s n a 1 + a 1 r + a 1 r a 1 r n 1 rs n a 1 r + a 1 r + a 1 r a 1 r n Från detta kan vi beräkna: s n rs n a 1 a 1 r n s n (1 r) a 1 (1 r n ) 1 r n s n a 1 1 r V.S.V. Exempel: Beräkna summan 9 i3 3 i. Lösning: Vi beräknar a , r 3 och n , och använder detta i 3

4 ht01 formeln för geometriska summor: 9 i3 3 i Den sista typ av summa vi tar upp är s.k. teleskopsummor, vilket betecknar summor där många termer tar ut varandra. Det finns inte någon strikt definition, så låt oss ta ett exempel: Exempel: Beräkna summan 1 ( i (i 1) ). Lösning: Vi utvärderar summan: 1 ( i (i 1) ) Vi kan se att alla termer utom 0 och 1 kommer att ta ut varandra så 1 ( i (i 1) ) Svar: Summan är lika med 441. Induktionsbevis Vi vill ofta visa att någonting är sant för alla naturliga tal n. Tillexempel visade vi förra gången att n a i n(a 1+a ) för geometriska summor för alla n. Vi ska här gå igenom induktionsbevis som är en allmänn metod för att visa denna typ av påståenden. Induktionsbevis har följande form: Låt säga att vi har ett påstående som vi vill veta om det är sant för alla n. Låt P (k) beteckna att utsagan är sann för k. Induktionsbasen: Induktionsbevis fungerar genom att först visa att utsagan är sann för det minsta k:et, ofta k 1. Vi börjar alltså med att visa P (1). Induktionssteget: Vi visar sedan att P (k) P (k + 1), dvs om påståendet är sant för k är det även sant för k + 1. Att P (k) är sann kalls för induktionsantagandet. Slutsats: Om det P (1) är sann och (P (k) P (k + 1)) är sann måste (P (1) P ()) vara sann. Om både P (1) och (P (1) P ()) är sann så måste även P () vara sann. Men 4

5 ht01 det gäller också att P () P (3), så P (3) är också sann. På detta sätt kan vi gå till ett gotyckligt stort k och konstatera att P (n) måste vara sann för alla n 1. Exempel: Visa mha induktion att: i n+1, för n 1 Lösning: Vi börjar med att visa induktionsbasen dvs: P (1): 1 i 1. Så P (1) är sann. Vi visar sedan induktionssteget mha induktionsantagandet: P (k) P (k + 1): Vi beräknar k+1 k i i + k+1 Vi använder induktionsantagandet för att skriva om k i k+1 : k+1 k i i + k+1 k+1 + k+1 k+1 (k+1)+1 Så P (k) P (k + 1) är sann. Tillsammans innebär P (1) och P (k) P (k + 1) att P (n) är sann för alla n 1. Exempel: Visa med induktion att: i n(n + 1)(n + 1), för alla n N. Lösning: P(1): V.L. 1 i 1 1 5

6 ht01 H.L. 1(1 + 1)( 1 + 1) Så P (1) är sann. P (k) P (k + 1): Vi beräknar: k+1 i k i + (k + 1) Induktionsantagande k(k + 1)(k + 1) + (k + 1) k(k + 1)(k + 1) + (k + 1) (k + 1)[ k(k + 1) + (k + 1) ] (k + 1)[ k + k + k + ] (k + 1)(k + )(k + 3) (k + 1)( (k + 1) + 1 )((k + 1) + 1) Så P (k) P (k + 1) är sann. Vi har genom induktion visat att i n(n + 1)(n + 1), för alla n N. Exempel: Visa mha induktion att (n ) n för alla n 4. Lösning: Vi börjar med att visa P (1) som i det här fallet är när n 4. ( ) 4 4 Så P (1) är sann.

7 ht01 Vi visar sedan P (k) P (k + 1). Vi beräknar: (k + 1 ) (k + 1) (k ) + (k ) + 1 (induktionsantagande, (k ) k) k + (k ) + 1 3k 3 (Använd att k 4 3k k+4) k k + 1 k + 1 Så P (k) P (k + 1). Svar: Vi har mha induktion bevisat att (n ) n för alla n 4. 7