Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl
|
|
- Ellinor Lundström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser: (OBS: Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning är 37p.) 13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 28 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst betyget A Observera: Generellt gäller att för full poäng krävs korrekta och väl presenterade resonemang. Tentan består av 10 frågor i tre delar. DEL I Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2018 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i. Att lösa en uppgift som en på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng. 1. (3p) Bestäm samtliga lösningar (m, n) till den diofantiska ekvationen 24m + 29n = 2. För att hitta en partikulärlösning använder vi Euklides algoritm och läser sedan outputen baklänges: och därför är Alltså är 29 = = = 4 + 1, 1 = 5 4 = 5 ( ) = = 5 ( ) 24 = = , så (m, n) = ( 12, 10) är en lösning till vår ekvation. Samtliga lösningar ges då enligt känd sats av för godtyckliga k Z. 29 m = 12 + k = k gcd(24, 29) 24 n = 10 k = 10 24k gcd(24, 29)
2 2 2. (3p) En kiosk säljer fyra olika sorters godisbitar som kostar 4 kr styck. Du ska fylla en godispåse med sådana, och du ska spendera exakt 40 kr på detta. Hur många olika godispåsar kan du skapa? (Ordningen som godisarna läggs in i påsen på spelar ingen roll. Ditt svar ska ges som ett heltal.) Låt x i beteckna antalet godisbitar av sort i som väljs. Då är antalet olika godispåsar samma som antalet heltalslösningar till ekvationen med x i 0. Denna ekvation är ekvivalent med 4x 1 + 4x 2 + 4x 3 + 4x 4 = 40 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10, och enligt känd sats ges antalet heltalslösningar till denna ekvation, med x i 0, av ( ) ( ) = Ett direkt bevis för detta kan ses genom metoden prickar och pinnar : vi har 10 stycken prickar i en rad motsvarande platser i påsen och vi behöver lägga 3 pinnar mellan dem för att dela upp dem i 4 grupper, motsvarande hur många av varje sorts godis vi ska ta. Alltså har vi 13 positioner totalt, och vi ska välja 3 av dessa för pinnar, vilket leder till ovan svar. Svar: ( 13 3 ) = = = (3p) Betrakta gruppen G = (Z 60, +). (a) (1p) Bestäm en delgrupp H till G sådan att varje nollskilt element i H har ordning 5. (Skriv ned samtliga element i delgruppen.) (b) (2p) Låt K vara en cyklisk delgrupp till G som innehåller både elementen 4 och 57 men som annars har så få element som möjligt. Bestäm en generator för K. På denna fråga speciellt väger motiveringen tyngre än själva svaret. (a) Ett element av ordning 5 i G är 12. Dessutom har multiplarna (förutom 0) av 12 i gruppen också ordning 5, så vi kan ta H = 12 = {0, 12, 24, 36, 48}. (b) Eftersom K är en delgrupp, och därför sluten under addition, så måste K innehålla elementent = 1. Eftersom 1 genererar hela Z 60 så är faktiskt K = Z 60. Alltså är 1 en generator för K.
3 3 4. (3p) En linjär binär kod C har kontrollmatris H = a b c där a, b, c {0, 1}. (a) (1p) Bestäm en trippel (a, b, c) sådan att koden C är 1-felsrättande. Hur många möjligheter för en sådan trippel (a, b, c) finns det? (b) (1p) Bestäm antalet ord i koden C för ditt val av (a, b, c) ovan. (c) (1p) Rätta ordet i koden, med ditt val av (a, b, c) ovan, om det går. Om det inte går, motivera varför så är fallet. (a) Enligt känd sats är C 1-felsrättande omm matrisen H inte innehåller 0-kolonnen och inga två kolonner är lika. Därför måste a = 1, pga att den annars skulle vara lika med kolonn nr 6. Parametrarna b, c kan däremot väljas godtyckligt under dessa krav. Vi väljer (a, b, c) = (1, 0, 0). Enligt multiplikationsprincipen finns det 2 2 = 4 sådana tripplar. (b) Antalet ord i C är, enligt känd sats, 2 n rang(h) = = 2 6 = 64, där n är antalet kolonner i H och rangen är 4 eftersom de första fyra kolonnerna uppenbarligen är linjärt oberoende (vilket ger rang 4), och det endast finns 4 rader (vilket ger rang 4). (c) Vi provar att rätta ordet genom att multiplicera H med det: H = 0110, vilket är kolonn nr 7 i H. Alltså kan vi enligt känd sats rätta ordet genom att ändra på bit nr 7 i ursprungsordet, och därigenom få ordet (3p) K m,n betecknar den kompletta bipartita grafen med m noder i bipartitionens ena del och n noder i den andra, där m, n 1. Bestäm för vilka par (m, n) det gäller att K m,n har (a) en Eulerkrets. (b) en Eulerväg. (a) Enligt känd sats har en sammanhängande graf en Eulerkrets omm varje nod har jämn grad. I K m,n har varje nod i den ena delen grad n och i den andra delen grad m. Alltså finns en Eulerkrets omm både m och n är jämna. (b) Enligt känd sats har en sammanhängande graf en Eulerväg omm precis 0 eller 2 noder har udda grad. Det första fallet faller under analysen i (a), så här tittar vi på vilka K m,n har precis 2 noder med udda grad. Eftersom K m,n har precis m noder med grad n, och precis n noder med grad m, och inga andra noder, så tittar vi alltså på fallen där antingen både m och n är udda eller precis en av dem är det. Om båda är udda, då får vi en Eulerväg omm m = n = 1, eftersom det annars skulle finnas fler än 2 noder med udda grad. Om precis en av m, n är udda, säg n är udda, då har vi precis två noder med udda grad omm m = 2, eftersom det finns m noder med grad n. Symmetriskt så gäller samma sak med m och n utbytta. Detta ger att det finns en Eulerväg i K m,n omm (m, n) = (jämn, jämn), (udda, 2), (2, udda), eller (1, 1).
4 4 DEL II 6. (4p) En talföljd definieras rekursivt genom Visa att a 1 = 1 a n+1 = a n + 6n för n 1 a k = 3k 2 3k + 1 för alla k 1. Vi bevisar detta via induktion, med påståendet för varje k = 1, 2, 3,... P (k) : a k = 3k 2 3k + 1 Basfall: Vi kollar att P (1) stämmer. Vänsterledet i påståendet är då a 1 = 1, enligt definition, och högerledet beräknas till = 1. Dessa led är lika, och därför stämmer påståendet. Induktionssteg: Vi antar nu ( induktionsantagandet ) att P (k) stämmer för något visst tal k 2, och visar att P (k + 1) då håller. I påståendet P (k + 1) så har vi enl def VL = a k+1 = a k + 6k ind-ant = (3k 2 3k + 1) + 6k = 3k 2 + 3k + 1 HL = 3(k + 1) 2 3(k + 1) + 1 algebra = (3k 2 + 6k + 3) 3k = 3k 2 + 3k + 1. Eftersom VL och HL stämmer överens så är P (k + 1) sant. Slutsats: Eftersom vi vet att P (1) stämmer enligt basfallet, så ger induktionssteget att P (2) stämmer. Alltså ger induktionssteget att P (3) också stämmer. Osv. Alltså stämmer P (k) för alla k (a) (2p) Ett RSA-krypto har parametrar n = 55 och krypteringsnyckel e = 17. Bestäm dekrypteringsnyckeln d och dekryptera meddelandet b = 5. (b) (2p) Låt p = 5 och q = 21, från vilka beräknas n = 105 m = 80. Med krypteringsnyckel e = 7 har beräknats dekrypteringsnyckel d = 23. Använd dessa nycklar för att kryptera meddelandet a = 3 och sedan dekryptera resultatet. Finn en anledning till att du ej fick tillbaka ursprungsmeddelandet. (a) Vi faktoriserar n för att hitta p = 5, q = 11, och bestämmer därför m = (p 1)(q 1) = 4 10 = 40. Vi beräknar d genom att hitta inversen till e modulo 40, via Euklides algoritm: och därför är 40 = = = = 5 + 1, = 6 ( ) = = 3 ( ) 17 =
5 5 Alltså är 17 1 = 7 = 33 i Z 40. Vi dekrypterar meddelandet b genom att beräkna b d mod n: a = b 33 = 5 33 = Vi beräknar 5 32 genom repeterad kvadrering modulo 55: 5 2 = = 25 2 = 625 = = 20 2 = 400 = = 15 2 = 225 = = 5 2 = 25 Alltså är det dekrypterade meddelandet. a = 25 5 = 125 = 15 (b) Vi krypterar a till ett meddelande b genom b = a e mod n, så Upprepad kvadrering som tidigare: Alltså är b = 3 7 mod = = 81 = 24. b = 3 7 = = = = 6 3 = 18 = 87. Nu dekypterar vi b genom att beräkna b d mod n: Enligt tidigare strategi, mod 105: Alltså är, mod 105, = ( 18) 23 = = = 324 = = 9 2 = = 81 2 = = = = 51 2 = = = 81 b d = = = = = = 3 81 = 243 = 33. Detta är inte samma som ursprungsmeddelandet a = 3. Anledningen till detta är att krypotot inte utformats enligt reglerna för RSA, då q = 21 = 3 7 inte är ett primtal. Detta leder till att antagandena i RSA-varianten av Fermats lilla sats inte uppfylls, och därmed håller inte nödvändigtvis slutsatsen hos denna sats längre (vilket den uppenbarligen inte gör här).
6 6 8. En sammanhängande planär graf kallas löjlig om varje nod har grad åtminstone 2 och den har en plan ritning med totalt 3 områden, ytterområdet medräknat. (a) (1p) Rita en löjlig graf med 10 noder. (b) (3p) Visa att en löjlig graf inte kan ha en nod med grad 5 eller mer. (a) Till exempel (b) Låt G vara en löjlig graf med v noder och e kanter. Enligt Eulers formel för plana ritningar av sammanhängande planära grafer gäller då att v e + 3 = 2, eftersom antalet områden i en plan ritning av en löjlig graf är 3. Alltså är e = v + 1 i en löjlig graf. Enligt handskakningslemmat är dessutom 2e = x V d(x), där V betecknar grafens nodmängd och d(x) är graden av en nod x V. Låt t V vara vilken nod som helst; vi vill visa att d(t) 4. Eftersom d(x) 2 för alla x i en löjlig graf, så ser vi att 2v + 2 = 2e = d(x) = d(t) + d(x) d(t) + 2(v 1). x V x V \{t} Alltså är d(t) 4, vilket är det vi ville visa.
7 7 DEL III Om du i denna del använder eller hänvisar till satser från kursen skall dessa citeras, ej nödvändigtvis ordagrant, där de används i lösningen. 9. (5p) Det påhittade spelet Calvinball spelas i lag, med 3 personer i varje lag. Varje spelare har åtminstone en utav rollerna anfallsspelare, försvarsspelare, löpare, målvakt, och sprinter. Varje roll måste finnas med precis 1 gång i varje lag. Observera att varje spelare måste ha åtminstone en roll, men kan ha flera. 9 personer ska delas upp i tre icke-namngivna lag, med roller utdelade i varje lag. På hur många sätt kan detta ske? Svaret ska uttryckas som ett explicit heltal eller en produkt av explicita heltal. Eftersom rollfördelningen inom lagen kan ske på samma antal sätt oberoende av laguppdelningen, så säger multiplikationsprincipen att vi kan räkna antalet sätt att dela upp personerna i lag och sedan multiplicera detta med antalet sätt att fördela rollerna bland lagen. Enligt definitionen av multinomialkoefficienter finns det ( 9 3,3,3) sätt att dela upp 9 personer i tre namngivna grupper. Eftersom vi inte bryr oss om namnen på lagen så får vi i vårt fall dela detta antal med 3! (då varje uppsättning lag kommer ha räknats detta antal gånger bland de namngivna grupperna). Alltså är antalet sätt att dela upp i 3 lag = 1 3! ( ) 9 3, 3, 3 här har vi använt satsen att ( ) n n! = k 1,..., k m k 1! k m!. = 9! 3! 4 = ! 2 = = 280; I varje lag finns det sedan 3! S(5, 3) sätt att fördela rollerna: det finns S(5, 3) sätt att dela upp de 5 rollerna i 3 icke-tomma högar (enligt definitionen av dessa Stirlingtal), och för varje av dessa sätt finns det 3! sätt att fördela högarna bland de 3 personerna i laget. Det gäller i varje av de 3 lagen, och sätten är oberoende av varandra; alltså är enligt multiplikationsprincipen antalet sätt att fördela rollerna i de 3 lagen = ( 3! S(5, 3) ) 3. Stirlingtalet S(5, 3) kan beräknas via rekursionen S(n, k) = S(n 1, k 1)+kS(n 1, k) och randvärdena S(n, 1) = S(n, n) = 1 till S(5, 3) = 25: n k Antalet sätt att fördela rollerna inom de tre lagen är alltså ( 3! S(5, 3) ) 3 = Enligt multiplikationsprincipen är alltså antalet sätt att dela upp lag och fördela roller på exakt Svar:
8 8 10. (5p) Låt G vara mängden av alla funktioner f : Q Q som har formen f(x) = ax + b, där a, b Q och a 0. Låt beteckna sammansättning av funktioner, så att om f(x) = ax+b och g(x) = cx+d då är f g funktionen (f g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b. Detta gör (G, ) till en grupp. (a) (1p) Bestäm identitetselementet i G och finn inversen till funktionen h(x) = 3x + 5. (b) (1p) Ge ett exempel på ett element i G som har ordning 2. (c) (3p) Bestäm samtliga element i G som har ändlig ordning. För delpoäng, visa att inget element i G har ordning 3. (a) Identitetselementet är funktionen e(x) = x: för godtyckligt f G gäller att (e f)(x) = e(f(x)) = f(x) och (f e)(x) = f(e(x)) = f(x); med andra ord är e f = f e = f för alla f G, vilket är definitionen av att e är ett identitetselement. Inversen till h är en funktion g(x) = ax + b sådan att h(g(x)) = e(x) = x = g(h(x)). Vi har att g(h(x)) = g(3x + 5) = 3ax + 5a + b och h(g(x)) = 3ax + 3b + 5. Dessa är lika med funktionen x omm a = 1/3 och 3b + 5 = 0, dvs b = 5/3. Alltså är inversen till h (b) Funktionen f(x) = x har ordning 2, eftersom g(x) = 1 3 x 5 3. (f f)(x) = f(f(x)) = f( x) = x = e(x). (c) Sats: ett element g i en grupp har ändlig ordning omm g n = id för något heltal n 1. I vårt fall innebär det att ett element f G, säg f(x) = ax + b, har ändlig ordning omm f (n) (x) = (f f f)(x) = x }{{} n kopior av f för något n 1. Koefficienten av x i f (n) (x) är uppenbarligen a n, eftersom vi multiplicerar x-termen med a varje gång vi gör f. Alltså måste a n = 1 för något n, om f ska ha ändlig ordning. Bland rationella tal a så har denna ekvation endast de möjliga lösningarna a = 1 och a = 1 (med den senare endast om n är jämnt), och vi undersöker nu vilka f, med dessa värden på a, faktiskt har ändlig ordning. Om a = 1, dvs f(x) = x + b, då är f (n) (x) = x + bn, vilket är lika med identitetselementet x för något n 1 omm b = 0. Alltså är det enda elementet f = x + b med ändlig ordning identitetselementet. Om a = 1, dvs f(x) = x + b, då är f (2) (x) = f( x + b) = ( x + b) + b = x,
9 9 oavsett b. Alltså har alla sådana funktioner f ordning 2 (eftersom ingen sådan funktion har ordning 1). För att summera: om f(x) = ax + b har ändlig ordning, då måste a = ±1. Bland de f med a = 1 är f(x) = x det enda elementet med ändlig ordning, och bland de f med a = 1 så har samtliga f(x) = x + b ändlig ordning. Svar: funktionerna f(x) = x och f(x) = x + b för godtyckliga b Q.
Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
Läs merLösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den juni 015, kl 1.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF6 och 5B8, torsdagen den 2 oktober 2, kl 4-9 Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel:
Läs merHjalpmedel: Inga hjalpmedel ar tillatna pa tentamensskrivningen. 1. (3p) Los ekvationen 13x + 18 = 13 i ringen Z 64.
Matematiska Institutionen KTH Losning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF och B8, torsdagen den oktober, kl.-.. Examinator Olof Heden. Hjalpmedel Inga hjalpmedel ar tillatna pa tentamensskrivningen.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF63, den 25 maj 2 kl 8.-3.. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = =
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF630, den 20 maj 2009 kl 08.00-3.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs mer, S(6, 2). = = = =
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 17 april 2010 kl 09.00-14.00. Examinator: Olof Heden. DEL I 1.
Läs merEfternamn förnamn pnr programkod
KTH Matematik Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr programkod Kontrollskrivning 4B till Diskret Matematik SF6, för CINTE, vt28 Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merx 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF131 och SF130, den 10 januari 2011 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.
Läs merEfternamn förnamn ååmmdd kodnr
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn ååmmdd kodnr Lösning till kontrollskrivning 5A, den 15 maj 2014, kl 13.00-14.00 i SF1610 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 25 mars 2008. DEL I 1. (3p Bestäm antalet binära ord av längd
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs mer1. (3p) Bestäm den minsta positiva resten vid division av talet med talet 31.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 7 juni 2011 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.
Läs merEfternamn förnamn pnr årskurs
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr årskurs Lösning till kontrollskrivning 4A, den 8 oktber 23, kl.-2. i SF6 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel tillåtna. Minst
Läs mer1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. a b c d e. a a b c d e
1 Lösning till MODELLTENTA DISKRET MATEMATIK moment B FÖR D2 och F, SF1631 resp SF1630. DEL I 1. (3p) Ett RSA-krypto har de offentliga nycklarna n = 33 och e = 7. Dekryptera meddelandet 5. Lösning: Vi
Läs merTentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2
Tentamen TMV20 Inledande Diskret Matematik, D/DI2 208-0-27 kl. 4.00 8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anton Johansson, telefon: 5325 (alt. Peter Hegarty 070-5705475)
Läs merEfternamn förnamn pnr årskurs
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr årskurs Lösning till kontrollskrivning 4B, 2 oktober 2012, 08.45 09.45, i SF1610 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merIX Diskret matematik
Lösning till tentamen 101213 IX1500 - Diskret matematik 1 Betrakta det finska ordet m a t e m a t i i k k a. Hur många arrangemang av bokstäverna i detta ord innehåller varken orden matematik eller matte?
Läs mer18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.
HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som
Läs merEfternamn förnamn pnr årskurs
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr årskurs Lösning till kontrollskrivning 5A, den 15 oktber 2013, kl 09.00-10.00 i SF1610 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel
Läs merEfternamn förnamn pnr årskurs
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr årskurs Kontrollskrivning 3A, den 2 oktber 2013, kl 11.00-12.00 i SF1610 Diskret matematik för CINTE och CMETE. Inga hjälpmedel tillåtna. Minst
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merEfternamn förnamn pnr kodnr
KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr kodnr Lösning till kontrollskrivning 5A, 21 maj 2015, 13.15 14.15, i SF1610 Diskret matematik för CINTE, CMETE mfl. Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merσ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56).
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Övningstenta i Algebra och Kombinatorik 7,5 hp 2015-11-24 Exempel på hur tentan skulle kunna se ut om alla uppgifter var från
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 208-0-2 kl. 4:00 8:00. Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Alternativ (induktionsbevis): Vi inför predikatet P (n) : 2 + 2 3 + + n(n
Läs merTentamen TMV210/MMGD10 Inledande Diskret Matematik, D1/GU
Tentamen TMV210/MMGD10 Inledande Diskret Matematik, D1/GU 2015-10-24 kl. 8.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Matteo Molteni, telefon: 0703 088 304 Hjälpmedel:
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4 4.7 Vi visar först att A 2n 3 2 n 2 med ett induktionsbevis. Basfall: n 0 Vi har att 3 2 0 2 A 0, och alltså gäller likheten för n 0. Induktionssteget: Antag
Läs mer1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning 6 hp ITE/MPE-lab MA2047 Algebra och diskret matematik Mikael Hindgren Onsdagen den 26 oktober 2016 035-167220 Skrivtid: 9.00-13.00 Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merInstitutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 1) Beräkna x 4 + 2x 3 + 3 för alla värden på x i Z 5. Lösning: Det nns bara fem
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 2018-08-31 kl 1:00 18:00 1 Om argumentet inte är giltigt går det att hitta ett motexempel, dvs en uppsättning sanningsvärden för vilka alla hypoteserna är
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merNÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1
Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.
Läs merModelltentamen. Ditt svar ska vara ett ändligt uttryck utan summationstecken.
SF2715 Tillämpad kombinatorik, våren 2009 Jakob Jonsson Modelltentamen Denna modelltentamen är tänkt att illustrera svårighetsgraden på en riktig tentamen. Att en viss typ av uppgift dyker upp här innebär
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del II 17 oktober
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2005 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 2 november 2005 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del V
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001 1. Låt M = {0, 1, 2,..., 99} och definiera en funktion f : M
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merAlgebra och kryptografi Facit till udda uppgifter
VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 1
Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som
Läs merDiskret Matematik A för CVI 4p (svenska)
MITTHÖGSKOLAN TFM Tentamen 2004 MAAA98 Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 3 juni 2004 Denna tentamen omfattar 10 frågor, där varje fråga kan ge 12 poäng. Delfrågornas poäng
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merLösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om restklassaritmetik Mikael Hindgren 19 september 2018 Exempel 1 Klockan är nu 8.00 Vad är klockan om 78 timmar? Vad var klockan för 53 timmar sedan? 8 + 78
Läs merAlgebra och talteori MMGL31. Repetition. Idag. Föreläsning 9 VT FLS och primtalstestning. Carmichaeltal. Rabin-Miller test.
Algebra och talteori MMGL Föreläsning 9 VT 008 Samuel Bengmark Repetition FLS och primtalstestning Carmichaeltal Rabin-Miller test F-funktionen Idag Ordning av ett element i Z m Primitiv rot Index (diskret
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merMATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh. Lösningsförslag Algebra och kombinatorik
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh Lösningsförslag Algebra och kombinatorik 015-01-16 Uppgift 1 Vi noterar att 31 är ett primtal, så Z 31 är en kropp.
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II 1 Modulär- eller kongruensaritmetik Euklides algoritm RSA-algoritmen G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 2 Grupper och permutationer
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merFöreläsning 9: Talteori
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2009-11-11 Skribent(er): Ting-Hey Chau, Gustav Larsson, Åke Rosén Föreläsare: Fredrik Niemelä Den här föreläsningen handlar
Läs merMITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 9 januari 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merMITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007
MITTUNIVERSITETET TFM Modelltenta 2007 MA014G Algebra och Diskret Matematik Skrivtid: 5 timmar Datum: 1 oktober 2007 Den obligatoriska delen av denna (modell)tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan
Läs merKap.6 Grafer. Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning
Kap.6 Grafer Allmänna begrepp: graf, delraf, multigraf, enkelgraf, riktad graf, nodsgrad vandring, väg, stig, krets, cykel sammanhängande graf, sammanhängande komponenter Speciella grafer: komplett graf,
Läs merTeori :: Diofantiska ekvationer v1.2
Teori :: Diofantiska ekvationer v1. 1 Definitioner och inledande exempel Låt oss börja med att göra klart för vad vi menar med en diofantisk ekvation: S:def+ex Definition 1.1. Betrakta ekvationen D:diofantiskEkv
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merCarl Olsson Carl Olsson Linjär Algebra / 18
Linjär Algebra: Föreläsn 1 Carl Olsson 2018-03-19 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 1 / 18 Kursinformation Kurschef Carl Olsson arbetsrum: MH:435 tel: 046-2228565 epost: calle@maths.lth.se Carl Olsson
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 7 juni 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 september 20 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II 23 september 20 / G. Gripenberg
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merSF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 9 mars 2009
SF2703 Algebra grundkurs Lösningsförslag med bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 9 mars 2009 (1) a) Definiera vad som menas med centralisatorn till ett element g i en grupp G. (1) b) Visa att
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del II
Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:
Läs merRSA-kryptering och primalitetstest
Matematik, KTH Bengt Ek augusti 2016 Material till kurserna SF1630 och SF1679, Diskret matematik: RSA-kryptering och primalitetstest Hemliga koder (dvs koder som används för att göra meddelanden oläsbara
Läs merSF2715 Applied Combinatorics// Extra exercises and solutions, Part 2
SF2715 Applied Combinatorics// Extra exercises and solutions, Part 2 Jakob Jonsson April 5, 2011 Ö Övningsuppgifter These extra exercises are mostly in Swedish. If you have trouble understanding please
Läs merSAMMANFATTNING TATA82 Diskret matematik
SAMMANFATTNING TATA82 Diskret matematik LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 2016 Senast reviderad: 2018-05-27 Författare: Viktor Cheng och Erik Frank Innehållsförteckning
Läs merOm plana och planära grafer
KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merFöreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis
ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:
Läs mer3. Bestäm med hjälpa av Euklides algoritm största gemensamma delaren till
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Isac Hedén, isac@math.uu.se Prov i matematik Vi räknar ett urval av dessa uppgifter vid vart och ett av de tio lektionstillfällena. På kurshemsidan framgår
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs mer