SF1625 Envariabelanalys

Transkript

1 Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017

2 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon om konvergenskriterier.

3 Talföljder Talföljder

4 Talföljder En talföljd är en följd av tal, t ex ( ) 1 ( 1 2 n = 2, 1 4, 1 ) 8,... n=1 En serie är en oändlig summa av tal, t ex n=1 1 2 n =

5 Talföljder: konvergens/divergens En talföljd (a n ) är konvergent om det finns ett reellt tal L sådant att lim a n = L n Talföljden är divergent om oegentligt (± ) eller icke-existerande gränsvärde. Exempel: Eftersom lim = 0 så är talföljden 2n gränsvärdet 0. n 1 ( ) 1 2 n konvergent med

6 Fråga 1 Konvergerar talföljden ( cos 1 ) n A. Ja B. Nej C. Vet ej

7 Fråga 1 Konvergerar talföljden ( cos 1 ) n A. Ja, konvergerar mot 1 B. Nej C. Vet ej

8 Fråga 2 Talföljden är A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej ( ) sin n n

9 Fråga 2 Talföljden ( ) sin n n är A. Konvergent, gränsvärdet är 0 B. Divergent C. Vet ej

10 Talföljder: talet e Sats Talföljden (1 + 1 n )n är växande och konvergerar mot talet e.

11 Serier Serier

12 Delsummor och konvergens För en serie a n definierar man den N:te delsumman n=1 s N = N a n. n=1 Man säger att serien är konvergent om talföljden av delsummor (s N ) är konvergent. Om s N s så säger man att seriens summa är s.

13 Delsummor och konvergens För en serie a n definierar man den N:te delsumman n=1 s N = N a n. n=1 Man säger att serien är konvergent om talföljden av delsummor (s N ) är konvergent. Om s N s så säger man att seriens summa är s. Exempel. För serien s N = N n=1 n=1 1 är den N:te delsumman 2n 1 2 n = N = N 1 1. = N 2 Eftersom s N 1 så är serien konvergent med summa 1.

14 Geometrisk serie Geometrisk serie: ab n = a + ab + ab 2 + ab n=0 Den N + 1:a delsumman är S N = a + ab + ab ab N och den geometriska seriens summa är gränsvärdet av delsummorna: S = lim N S N

15 Geometrisk serie Geometrisk serie: ab n = a + ab + ab 2 + ab n=0 Den N + 1:a delsumman är S N = a + ab + ab ab N och den geometriska seriens summa är gränsvärdet av delsummorna: S = lim N S N Med formeln för en geometrisk summa får vi abn+1 1 S = lim = a N b 1 1 b om b < 1 och då är serien konvergent. Om b 1 är serien divergent. (Förra exemplet: a = 1/2 och b = 1/2)

16 Fråga 3 Vad konvergerar mot? A. 4 B. 5 C. 6 D. Inget, divergent E. Vet ej

17 Fråga 3 Vad konvergerar mot? A. 4 B. 5 C. 6 D. Inget, divergent E. Vet ej = 2 n=0 ( ) 2 n = = 6

18 Konvergenskriterier Konvergenskriterier

19 Fråga 4 Avgör om cos π n n=3 är konvergent eller divergent. A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej

20 Fråga 4 Avgör om cos π n n=3 är konvergent eller divergent. A. Konvergent B. Divergent (eftersom termerna inte går mot 0) C. Vet ej

21 Nödvändigt villkor för konvergens Nödvändigt villkor för konvergens: termerna går mot 0. n=1 a n konvergerar = lim n a n = 0 eller ekvivalent lim a n 0 = n a n divergerar n=1

22 Två viktiga konvergenskriterier Det finns flera olika kriterier för konvergens av serier. De viktigaste är: Jämförelse: Om 0 a n b n och b n är konvergent, så är a n konvergent. Cauchy s integralkriterium: Om f är positiv, kontinuerlig och avtagande på intervallet x 1 så har f (n) n=1 och 1 f (x) dx samma konvergensegenskaper, dvs antingen är båda konvergenta eller så är båda divergenta.

23 Cauchy s integralkriterium Cauchy s integralkriterium

24 Viktigt exempel Sats Serien k=1 1 k p är konvergent om p > 1. Divergent om p 1. Bevis. Jämför med integralen 1 x p dx. 1

25 Exempel Den harmoniska serien k=1 1 k är divergent (räcker alltså inte att termerna går mot 0 för konvergens). Serien k=1 1 k 2 är konvergent. Baselproblemet frågade efter seriens värde. Euler (1734) visade att värdet är π2 6.

26 Fråga 5 Avgör om k=2 A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej 1 k ln k är konvergent eller divergent.

27 Fråga 5 Avgör om k=2 A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej 1 k ln k är konvergent eller divergent. Jämför med integral. Variabelsubstitution u = ln x.

28 Fråga 6 Avgör om det är sant att π 2 < m=1 1 < π + 1 m(m + 1) 2 A. Sant B. Falskt C. Går inte att avgöra utan mer information D. Vet ej

29 Fråga 6 Avgör om det är sant att π 2 < m=1 1 < π + 1 m(m + 1) 2 A. Sant B. Falskt C. Går inte att avgöra utan mer information D. Vet ej Jämför med integral. Variabelsubstitution u = x.

30 Jämförelsekriterier Jämförelsekriterier

31 Fråga 7 Avgör om k=1 A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej π e k är konvergent eller divergent. + 1

32 Fråga 7 Avgör om k=1 A. Konvergent B. Divergent C. Vet ej π e k är konvergent eller divergent. + 1

33 Sammanfattning Talföljder: gränsvärde. Konvergens/divergens. Serie: summa = gränsvärdet av delsummorna. Konvergens/divergens. Geometrisk serie: explicit formel Konvergenskriterier: Nödvändigt krav för konvergens: termerna går mot 0. Cauchy s integralkriterium: f (k) beter sig som f (x) dx k=1 Jämförelsekriteriet: a k b k k = k=1 1 a k k=1 a Gränsjämförelsekriterie: om lim k k b k = L: beter sig som k=1 a k k=1 b k b k