Föreläsning 1, Differentialkalkyl M0029M, Lp

Transkript

1 Föreläsning 1, Differentialkalkyl M0029M, Lp Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet, Inst för teknikvetenskap och matematik Staffan Lundberg M0029M H17 1/ 50

2 Allmän information Föreläsningar: Staffan Lundberg, TVM. Telefon: Rum: E882. E-post: Canvas: Examinator: Mikael Stenlund. Staffan Lundberg M0029M H17 2/ 50

3 Mål/Förväntat studieresultat Efter kursen skall skall studenten kunna bevisa, formulera och använda binomialsatsen samt genomföra induktionsbevis. kunna använda centrala begrepp och metoder inom differentialkalkyl i en variabel på extremvärdesberäkningar, kurvritning, bevis av olikheter, gränsvärdesberäkningar, analys av funktioner och uttryck, inverser, approximationer av funktioner mm. kunna bevisa centrala satser inom området differentialkalkyl i en variabel. Staffan Lundberg M0029M H17 3/ 50

4 Mål/Förväntat studieresultat, forts kunna tolka derivatan som hastighet och andraderivatan som acceleration samt tillämpa detta på problem med kopplade hastigheter. kunna hantera och bevisa centrala egenskaper hos elementära funktioner och deras inverser. kunna härleda metoder för numerisk lösning av ekvationer i en variabel. visa förmåga att identifiera och lösa problem med hjälp av de metoder som lärs ut i kursen. Staffan Lundberg M0029M H17 4/ 50

5 Kurslitteratur, omfattning I M0029M används Dunkels m.fl.: Mot bättre vetande i matematik. Studentlitteratur, senaste upplagan. Adams Robert A: Calculus, A Complete Course. Addison-Wesley, senaste upplagan. Dunkels m.fl.: Derivator, integraler och sånt. Studentlitteratur, andra upplagan eller senare. M0029M omfattar 36 föreläsningar. Staffan Lundberg M0029M H17 5/ 50

6 Canvas vår lärplattform i M0029M Canvas är LTUs officiella lärplattform. Anm Du kan ladda ner mina slides från staff. lund Staffan Lundberg M0029M H17 6/ 50

7 Examination Kursen examineras med en sluttentamen om maximalt 30 poäng. Gränsen för godkänd är normalt 14 poäng. Man kan få upp till två bonuspoäng från överbryggningskursen (proppen). Inga hjälpmedel tillåtna under tentamen. Staffan Lundberg M0029M H17 7/ 50

8 Kursregistrering Viktig Information Du måste själv ta initiativ till kursregistrering på webben Länk till kursregistrering Du ska registrera dig på: Differentialkalkyl M0029M Kursregistrering gör du under läsperiodens tre första dagar om institutionen inte meddelat annan registreringstid. Staffan Lundberg M0029M H17 8/ 50

9 Kursregistrering, forts. När du blev antagen, fick du ett användarkonto för att kunna logga in på MITT LTU. För support med användarkonto, kontakta Servicedesk tfn Staffan Lundberg M0029M H17 9/ 50

10 Att studera matematik Att studera matematik vid ett tekniskt universitet är en krävande sysselsättning. Plugg, utantillkunskaper, kreativitet. Staffan Lundberg M0029M H17 10/ 50

11 Att studera matematik Att studera matematik vid ett tekniskt universitet är en krävande sysselsättning. Plugg, utantillkunskaper, kreativitet. Hårt arbete utanför skoltid. Staffan Lundberg M0029M H17 10/ 50

12 Att studera matematik Att studera matematik vid ett tekniskt universitet är en krävande sysselsättning. Plugg, utantillkunskaper, kreativitet. Hårt arbete utanför skoltid. Men erfarenheten visar att arbetet lönar sig. Staffan Lundberg M0029M H17 10/ 50

13 Förbättra inlärningen Introduktion Var rädd om känslan. När man skapar varaktiga minnen är känslan det kanske allra viktigaste. Man minns bättre om man upplever inlärningen som positiv. Sprid ut pluggandet. Inför tentor är det viktigt att inte memorera allting dagen före. Då kommer kunskapen bara bli tillfällig. Fokusera. Det kan vara svårt när mycket händer runt omkring en. Försök att inte omedelbart titta på och svara på plingen i dina tekniska prylar. Sätt upp mål. Det är lättare att hitta motivation till att lära sig om man sätter upp mål. Sov, träna och ät bra. För att hjärnan ska klara alla processer som måste ske för att bilda nya minnen är det viktigt med energi och vila. Se därför till att hålla dig i form och att du får tillräckligt med sömn. Staffan Lundberg M0029M H17 11/ 50

14 Till sist Stäng av mobiltelefonerna. Staffan Lundberg M0029M H17 12/ 50

15 Vad är matematik? Matematik, en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. definitionnitionen kan kommenteras på följande sätt. Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer, men också för att den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas art id= Nationalencyklopedin Staffan Lundberg M0029M H17 13/ 50

16 Matematiken är deduktiv Matematiken är en deduktiv vetenskap, dvs från ett antal axiom härleds med hjälp av logiska resonemang nya resultat, s.k. satser. Däremot arbetar en matematiker ofta induktivt: Utifrån en iakttagelse, formuleras en hypotes. Målet är därefter att söka bevisa hypotesen med diverse logiska tankegångar. en som vetenskap har sina anor från i antiken, där stoikerna formulerade regler för korrekt tänkande. Dessa regler är giltiga än i dag. Vi ska bekanta oss lite mer med hur man kan resonera för att komma fram till ny matematisk kunskap och bevisa att ett påstående stämmer. Staffan Lundberg M0029M H17 14/ 50

17 Exempel Vi betraktar två positiva tal a och b. Vi bildar A = a+b 2 resp.g = ab. a b A G Det tycks vara så, att A G. Gäller det generellt? Staffan Lundberg M0029M H17 15/ 50

18 Hypotes Om a, b > 0, så gäller att A G. Hur visar vi att denna hypotes är sann? Ett angreppssätt: Studera A G = a+b 2 ab = 1 2 (a+b 2 ab) Ett önskemål: A G 0. Vi konstaterar: Differensen är kvadratisk, dvs. 1 2 (a+b 2 ab) = 1 2 ( a b) 2 0 Vi är klara! Staffan Lundberg M0029M H17 16/ 50

19 Sammanfattning Låt oss sammanfatta detta genom att skriva: Sats Antag att a och b är positiva tal och att Då gäller att A G. A = a+b 2 resp.g = ab. Staffan Lundberg M0029M H17 17/ 50

20 Bevis. För alla positiva tal a och b gäller A G = a+b ab = 2 = a+b 2 1 ab = (a+b 2 ab) = = 1 2 ( a b) 2 0. Det betyder att A G, och vi är klara. Staffan Lundberg M0029M H17 18/ 50

21 Exemplet visar på ett induktivt resonemang: Man utgår från en iakttagelse, formulerar en hypotes, bevisar en sats. Staffan Lundberg M0029M H17 19/ 50

22 Utsagor en sysslar med villkor och regler i det matematiska argumenterandet, som uttrycks med hjälp av s.k. påståenden eller utsagor. Exempel A Luleå D Luleå är en dansk stad B 2+3 E 2+3=5 C x 2 + y 2 F x 2 + y 2 = r 2 A-C är inga utsagor. D-F är däremot utsagor, eftersom de har ett sanningsvärde. Utsagan F har ett sanningsvärde, beroende av värdena hos vissa variabler. Den är en öppen utsaga. Påståendena D och E är exempelpel på slutna utsagor: de har ett fixt sanningsvärde (dvs sant eller falskt). Staffan Lundberg M0029M H17 20/ 50

23 Operatorer Med hjälp av s.k. logiska operatorer kan man bilda nya utsagor. Vi listar här de vanligaste operatorerna. Logiska operatorer Symbol Läs Namn och konjunktion eller disjunktion icke negation medför implikation ekvivalent ekvivalens Staffan Lundberg M0029M H17 21/ 50

24 Implikation, ekvivalens och negation Utsagan Om Malin spelar fiol så får hon applåder kallas en sammansatt utsaga. Sådana påståenden är byggda av enkla utsagor. Sanningsvärdet hos en sammansatt utsaga beror på sanningsvärdena hos de enkla utsagorna. Definition Utsagan U V kallas implikation. Man läser U implicerar (medför) V. Staffan Lundberg M0029M H17 22/ 50

25 Exempel Om x < 0, så gäller x 2 > 0. Vi skriver: x < 0 x 2 > 0. Staffan Lundberg M0029M H17 23/ 50

26 Definition Utsagan U V kallas ekvivalens. Denna utsaga utläses U är ekvivalent med V och är en förkortning av utsagorna U V och V U. Exempel x 2 < 9 3 < x < 3. Staffan Lundberg M0029M H17 24/ 50

27 Man behöver ibland formulera motsatsen till ett påstående, dvs att negera ett påstående. Till utsagan U behöver man konstruera negationen icke-u, som betecknas U. U skall vara s/f om U är f/s. Exempel U U x = 2 x 2 x > 2 x 2 Alla fåglar kan flyga Det finns (minst) en fågel, som inte kan flyga Staffan Lundberg M0029M H17 25/ 50

28 Nedanstående svit är förmodligen välbekant. x 2 4x+3 = 0 (x 2) 2 1 = 0 (x 2) 2 = 1 x 2 = ±1 x 1 = 3, x 2 = 1. Staffan Lundberg M0029M H17 26/ 50

29 som logisk tankegång Anmärkning Ekvationen x 2 4x+3 = 0 är en öppen utsaga. När vi löser ekvationen, är detta liktydigt med att vi skall finna x, så att utsagan blir sann. Staffan Lundberg M0029M H17 27/ 50

30 Metodik Ersätt den föreskrivna utsagan med ekvivalenta utsagor. Staffan Lundberg M0029M H17 28/ 50

31 Metodik Ersätt den föreskrivna utsagan med ekvivalenta utsagor. Upprepa processen tills vi har en såpass enkel utsaga så att vi ser lösningen. Staffan Lundberg M0029M H17 28/ 50

32 x 2 4x+3 = 0 UTSAGA A (x 2) 2 1 = 0 UTSAGA B (x 2) 2 = 1 UTSAGA C x 2 = 1 eller x 2 = 1 UTSAGA D x 1 = 3 eller x 2 = 1. Staffan Lundberg M0029M H17 29/ 50

33 , forts Vi betraktar följande rotekvation. x = x+2 x 2 = x+2 x 2 x 2 = 0 x = 1/2± 1/4+2 x 1 = 1, x 2 = 2. Staffan Lundberg M0029M H17 30/ 50

34 Vi prövar lösningarna. x = 1 x = 2 V.L. H.L. V.L. = H.L. Anmärkning Varifrån kom den falska roten x = 1? Staffan Lundberg M0029M H17 31/ 50

35 Analys av processen x = x+2 OBS! Enkelriktad pil! x 2 = x+2 x 2 x 2 = 0 x = 1/2± 1/4+2 x 1 = 1, x 2 = 2. Staffan Lundberg M0029M H17 32/ 50

36 Anmärkning Kvadrering gör att utsagorna inte blir ekvivalenta! Vid ekvationer av denna typ måste alltid lösningarna prövas! Exempel Lös om möjligt ekvationen 2x2 + x 2 = x. Staffan Lundberg M0029M H17 33/ 50

37 Fem myror är fler än fyra elefanter Vad är en mängd? Svar: En samling skilda objekt, kallade mängdens element. För att beskriva en mängd, sätter man dess element inom mängdklammer, t. ex M = {1, 2, 3}, där ordningsföljden är betydelselös. Ett alternativt sätt beskriva en mängd är M = {x : x heltal och 1 x 3}. Anm I stället för kolon används alternativt ett vertikalt streck. Staffan Lundberg M0029M H17 34/ 50

38 Exempel Exempel tillhör N = {0, 1, 2, 3,...} mängden av naturliga tal Z = {..., 3, 2, 1, { 0, 1, } 2, 3,...} mängden av heltal p Q = : p, q Z, q 0 mängden av rationella tal q A = {x : 0 x 1} A är mängden av alla x, sådana att... A = {x R : 0 x 1} A är mängden av alla x som tillhör de reella talen, sådana att... Staffan Lundberg M0029M H17 35/ 50

39 Venndiagram, snitt Man brukar åskådligggöra mängder med s.k. Venndiagram. Mängderna finns i en s.k. grundmängd U, symboliserad av en yttre ram. A x y x A y / A A B = {x (x A) (x B)} A B A snitt B Staffan Lundberg M0029M H17 36/ 50

40 Venndiagram mängdminus, komplement A\B = {x (x A) (x / B)} A B A förutom B A = U \ A A A komplement Staffan Lundberg M0029M H17 37/ 50

41 Venndiagram union, delmängd A B = {x (x A) (x B)} A B A union B B B A A B är en delmängd av A Staffan Lundberg M0029M H17 38/ 50

42 Exempel Antag att A = {1/2, 1, 2,π} och B = {1/2, 1,π}. Ange 1 A B, 2 A B, 3 A\B, Staffan Lundberg M0029M H17 39/ 50

43 Tomma/disjunkta mängder Den tomma mängden, med beteckning, är innehållslös men inte betydelselös. Jfr talet 0, som inte är helt oviktigt. Det gäller att A för alla mängder A. Om snittet mellan mängderna A och B är tomt, dvs om A B =, sägs A och B vara disjunkta. Staffan Lundberg M0029M H17 40/ 50

44 Exempel Antag att A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} samt C = {7, 8, 9}. Bestäm 1 A B 2 A B 3 B C 4 A C 5 A C Staffan Lundberg M0029M H17 41/ 50

45 Kvantorer Påståendet För alla x gäller x >2 uttrycks symboliskt x : x > 2. Påståendet Det existerar (minst) ett x sådant att x >2 uttrycks symboliskt x : x > 2 Symbolerna och kallas kvantorer. Staffan Lundberg M0029M H17 42/ 50

46 Summa- och produkttecken Ett bekvämt sätt att skriva summor av diverse taluppsättningar, är att använda s.k. summatecken. Exempel Betrakta n j j=1 Heltalsparametern j kallas summationsindex. I exemplet löper j från 1 (nedre summationsgräns) till n (övre summationsgräns). Vi skriver n j = n. j=1 Staffan Lundberg M0029M H17 43/ 50

47 Vi kan med produkttecken skriva produkter på ett kompakt sätt. Exempel Betrakta 4 j=1 I exemplet löper j från 1 till 4. Vi skriver 4 a j = a 1 a 2 a 3 a 4. j=1 a j Staffan Lundberg M0029M H17 44/ 50

48 Anmärkning Beteckningen på summationsindex kan man välja helt godtyckligt: n n n a j = a k = j=1 k=1 ν=1 är exempel på ekvivalenta summabeskrivningar. Summationsindex behöver inte ha startvärdet 1: Summan kan exempelvis beskrivas 5 a ν = 1 j 2 1 (k 1) 2 eller 1 j=1 1 (m+3) 2. k=2 m= 2 Staffan Lundberg M0029M H17 45/ 50

49 , inledn Definition En talföljd {a k } k=n k=1 = a 1, a 2,...,a n är en ändlig (eller oändlig) följd av tal, element, uppställd enligt någon föreskriven regel. Exempel 5 differens: 4 9 differens: 4 13 differens: Ovanstående talföljd är en aritmetisk talföljd, som kännetecknas av att differensen mellan ett element och närmast föregående är konstant. Staffan Lundberg M0029M H17 46/ 50

50 Aritmetisk serie Definition En aritmetisk serie karakteriseras av att differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. Exempelvis (konstant differens d = 3) Exempel Beräkna summan s = Staffan Lundberg M0029M H17 47/ 50

51 Lösningsförslag Aritmetisk serie, differens d = 4. Serien består av sju termer. Addera! s = s = s = = 7 30 }{{} 7 termer Vi får s = sista termen. = 105. Notera att 30 2 är medelvärdet av första och Staffan Lundberg M0029M H17 48/ 50

52 Sammanfattning Om s n = a a n är en aritmetisk summa med n termer så är s n = n a1 + a n 2. Minnesregel: Antal termer gånger medelvärdet av första och sista termen. Staffan Lundberg M0029M H17 49/ 50

53 Avslutande exempel Skriv med summatecken och beräkna summan: Staffan Lundberg M0029M H17 50/ 50