7, Diskreta strukturer

Transkript

1 Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015

2 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner Derivator, integraler Dierentialekvationer Diskreta modeller Program-modeller Mängder, relationer, funktioner Träd, grafer Språk, automater Logik Funktioner Datastrukturer Objektorienterade modeller Inledning 7, Diskreta strukturer 2/37

3 Diskreta strukturer Logik logiska uttryck och resonemang Mängder, funktioner och relationer Formella språk, reguljära uttryck och grammatiker Turingmaskiner och frågan om P = NP Inledning 7, Diskreta strukturer 3/37

4 Symbolen = π = f(x) = x + 1 x 2 = = = 3 x = x + 1 Inledning 7, Diskreta strukturer 4/37

5 Symbolen = π = f(x) = x + 1 NB! denierar f, inte x f = x x + 1 f = λx. x + 1 Inledning 7, Diskreta strukturer 5/37

6 Satslogik Mål: Efter att ha studerat detta kapitel och arbetat med övningar och programmeringsuppgifter skall du kunna 1 översätta påståenden i naturligt språk till satslogisk notation. 2 konstruera enkla bevis med naturlig härledning 3 avgöra om ett komplicerat bevis är korrekt konstruerat 4 analysera ett uttryck när regler för precedens och associativitet är givna. Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 6/37

7 Satslogik Att använda logiska uttryck (jfr Boolesk algebra) för att modellera logiska resonemang. Att beskriva hur man drar slutsatser från en mängd premisser. Uttryck består av påståenden, som kan vara sanna eller falska, och operatorer. Satslogiken behandlar bara påståendena som sådana, vi kommer sen att utöka detta till predikatlogik, med större uttryckskraft. Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 7/37

8 Översätt från naturligt språk till satslogiskt uttryck Identiera påståenden och ge dem namn (satsvariabler) Identiera operatorer (konnektiv) Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 8/37

9 Exempel: EM i fotboll 2008 Om Sverige vinner över eller spelar oavgjort mot Ryssland så går Sverige till kvartsnal. Detta är en sammansättning av tre stycken påståenden. Det blir tydligare med formuleringen Om Sverige vinner över Ryssland eller om Sverige spelar oavgjort mot Ryssland så går Sverige till kvartsnal. p q r Sverige vinner över Ryssland Sverige spelar oavgjort mot Ryssland Sverige går till kvartsnal Om p eller q, så r. Detta kan skrivas som (p q) r Satslogik : Inledning 7, Diskreta strukturer 9/37

10 Satslogik p, q,... variabler och eller inte, om... så, implicerar ekvivalent Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 10/37

11 Satslogiska uttryck P, Q,... står för godtyckliga satslogiska uttryck. p, q,... variabler (P Q) och, konjunktion (P Q) eller, disjunktion P inte, negation (P Q) om... så, implikation (P Q) ekvivalens Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 11/37

12 Elektriska kretsar Seriekoppling: Paralellkoppling: Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 12/37

13 ... och mängdlära B B B A A A A B A B B A Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 13/37

14 Aktivitet Om Sverige vinner mot Ryssland så får Sverige möta Holland i kvartsnalen och om Sverige förlorar så får Ryssland möta Holland. p q r s Sverige vinner över Ryssland Sverige förlorar mot Ryssland Sverige möter Holland i kvartsnalen Ryssland möter Holland i kvartsnalen (p r) (q s) Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 14/37

15 Grundläggande begrepp satslogik premisser slutsatser satslogiska uttryck satsvariabler sanningsvärden, T, F, (1, 0), (, ) sanning, falskhet operatorer (konnektiv),,,,, Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 15/37

16 Exempel på uttryck p q p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p p) (p q) p (p (p q)) ( p (p q)) Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 16/37

17 Sanningstabeller P P F T T F P Q P Q P Q P Q P Q F F F F T T T F F T F F F T F T T F T T T T T T Satslogik : Satslogiska uttryck 7, Diskreta strukturer 17/37

18 Resonemang och härledningar Satser och bevis Logisk implikation Direkt härledning Indirekt härledning Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 18/37

19 En primtalssats Två tal är primtalstvillingar om båda är primtal och skillnaden mellan dem är 2. Låt P = det nns oändligt många primtalstvillingar Q = det nns oändligt många primtal Sats P Q Är P sann? Det vet ingen. P skulle kunna vara falsk. Är Q sann? Ja, det bevisade Euklides för 2300 år sedan. Är satsen sann, dvs är det en sats? Ja, det skall vi strax bevisa. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 19/37

20 En primtalssats Direkt bevis Låt P = det nns oändligt många primtalstvillingar Q = det nns oändligt många primtal Sats P Q Bevis. Antag att det nns oändligt många primtalstvillingar. Alla par har olika första komponent. Alla förstakomponenter är primtal. Alltså nns det oändligt många primtal. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 20/37

21 Det nns oändligt många primtal Motsägelsebevis (Indirekt bevis, reductio ad absurdum). Jag har lånat och översatt Euklides bild från hans presentation på en vetenskaplig konferens i Alexandria 280 f. Kr. Sats Det nns oändligt många primtal. Bevis. 1 Antag att det ej nns oändligt många primtal. 2 Då nns det ett största primtal. Kalla det p. 3 Låt q vara produkten av de första p talen, q = p!. 4 Då är q + 1 inte delbart med något av dem. 5 Alltså är q + 1 också ett primtal och större än p. 6 Men (5) motsäger (2). Alltså måste (1) vara falskt. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 21/37

22 En primtalssats till P = det nns ändligt många primtalstvillingar Q = det nns ett största primtalstvillingpar Sats P Q Är P sann? Förmodligen inte Är Q sann? Om inte P så inte Q Är satsen sann, dvs är det en sats? Ja: en ändlig mängd har ett största element. Det är alltså så at både premiss och slutsats kan vara falska i en sats som vi kan bevisa. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 22/37

23 När är P Q sann? När är P Q sann? P är sann och Q är sann P är falsk och Q är sann P är falsk och Q är falsk Det är bara fallet P är sann och Q är falsk som inte kan förekomma. Detta motiverar Denition P Q P Q T T T F T T F F T T F F Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 23/37

24 ,, eller När man använder i matematiken, P Q, så nns det alltid en orsaksrelation mellan P och Q. I satslogiken skriver vi P Q och det behöver inte nnas någon relation alls mellan P och Q. P och Q innehåller variabler som kan anta sanningsvärden, men vi bortser helt från vad variablerna står för. I satslogiska härledningar använder vi för logisk konsekvens (eller sekvent). När en mängd premisser P 1, P 2,..., P n leder till slutsatsen Q skrivs det {P 1, P 2,..., P n } Q. Tecknet kan utläsas alltså. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 24/37

25 Tautologier Ett påstående som är sant för alla värden av ingående variabler kallas en tautologi. T ex p p. P är en tautologi skrivs ibland P Motsatsen till tautologi är motsägelse T ex p p. Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 25/37

26 Aktivitet Det är inte uppenbart att R = ( p q) (( p q) p) är en tautologi, men en sanningstabell verierar att så är fallet. p q p q p q p q ( p q) p R F F T T T F T T F T T F F T F T T F F T T T T T T T F F T T T T Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 26/37

27 Sats (Kommutativitet) P Q Q P P Q Q P Sats (Associativitet) (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) Sats (Dubbel negation) P P Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 27/37

28 Aktivitet Visa att p p q och p q p inte är ekvivalenta. p q p q p p q p q p F F F T T F T F T T T F F F T T T T T T Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 28/37

29 Sats (Distributivitet) P (Q R) P (Q R) (P Q) (P R) (P Q) (P R) Sats (de Morgans lagar) (P Q) (P Q) P Q P Q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 29/37

30 Aktivitet Vilka uttryck är tautologier? p (q r) (p q) (p r) Ja (p q) r (p r) (q r) Nej Om inte, ge motexempel. p = F, q = T, r = F (p q) r (p r) (q r) F F T F T F F Samt de två fallen då p = T och q = F Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 30/37

31 Aktivitet När gäller det att (p q) r och p (q r) är olika? För p = q = r = F och p = F, q = T, r = F Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 31/37

32 Naturlig härledning, inferensregler En logisk härleding är att givet en mängd förutsättningar med hjälp av inferensregler härleda en slutsats För varje operator (konnektiv) nns regler som introducerar eliminerar Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 32/37

33 Inferensregler för P Q P [ E (modus ponens, MP )] Q P Q Q [modus tollens (MT )] P Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 33/37

34 Instanser av inferensregler för p p q [ E ] q (p q) (p q) r [ E ] r Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 34/37

35 Inferensregler för P Q [ E1 ] P P Q [ E2 ] Q P Q [ I ] P Q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 35/37

36 Härledningar med Bevis av kommutativa lagen: P Q Q P p q [ E2 ] q q p p q [ E1 ] p [ I ] p q p q p p q q Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 36/37

37 Sammanfattning Satslogik begrepp sanningstabeller räknelagar Naturlig härledning direkt bevis indirekt bevis (mostägelsebevis) inferensregler Nästa föreläsning Mer om naturlig härledning och inferensregler Satslogikens begränsningar, predikatlogik Satslogik : Resonemang och härledningar 7, Diskreta strukturer 37/37