Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Transkript

1 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers, Analys i en variabel, som gås igenom lv 1 (se även PB, analys i lera varaiabler, appendix A1; exempel och bevis genomgås på öreläsningen 1 SATSLOGIK Vi skall örsöka att skapa ett entydigt (vetenskapligt språk med hjälp av vardagssvenskan genom att inöra strängt deinierade termer (sk acktermer, grundbegrepp och "operatorer" ör att generera nya termer 11 UTSAGOR DEF En MATEMATISK UTSAGA är en utsaga som är antingen sann eller alsk ("tertium non datur" och vars sanningshalt kan avgöras på ett objektivt sätt [ "DEFINITION" är ett astslående vad ett visst begrepp skall betyda ] EX 1 Betrakta öljande uttryck: A: 1+ = 3 B : 1+ = 5 C : < 3 och D : det regnar E : 006 är ett stort tal F : skål F är ingen utsaga; A tom E är utsagor, men D och E är inte matematiska utsagor (sanningshalten kan ej avgöras objektivt; A, B, C är matematiska utsagor: A och C är sanna, B är alsk; vi accepterar här redan begrepp som 1,,3,5, +, =, < mm EX För varje reellt tal x är A ( x : x = 5 en matematisk utsaga, ty ör varje reellt tal x 5 kan det avgöras om A ( x är sann eller alsk, t ex är A ( alsk, A ( sann A ( x kallas "öppen utsaga" ty den innehåller en ri variabel x, som måste deklareras ("x reellt tal" inledande matematisk analys TMA970 1

2 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära 1 LOGISKA OPERATORER Med hjälp av logiska operatorer kan vi bilda nya matematiska utsagor: symbol läs namn dvs: om P och Q är matematiska utsagor så skall och (and konjunktion även P Q, P Q, P, P Q och P Q eller (or disjunktion vara matematiska utsagor icke (not negation Vi deinierar dessa utsagor genom att ange medör implikation sanningsvärdet ör alla möjliga sanningsvärden ekvivalent ekvivalens på P och Q : Vi skriver 0 ör "alsk" resp 1 ör "sann": P Q P Q P Q P Q P Q P Komplicerade utsagor kan ota örenklas med hjälp av regler ( ormler, dvs ersättas med ekvivalenta, enklare utsagor Två utsagor är ekvivalenta om de har samma sanningstabell (dvs samma sanningsvärde ör alla möjliga sanningsvärden av alla ingående utsagor: SATS För matematiska utsagor P, Q, R gäller: 1 ( P Q (( P Q ( Q P ( ( P P 3 ( P Q (( P Q 4 ( P Q (( Q ( P 5 P ( Q P 6 ( P ( Q R (( P Q ( P R a ( ( P Q (( P ( Q 7 (de Morgan b ( ( P Q (( P ( Q a ( P ( Q R (( P Q ( P R 8 (distributivitet b ( P ( Q R (( P Q ( P R inledande matematisk analys TMA970

3 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära 13 EXEMPEL PÅ BEVIS A INDIREKT BEVIS Man visar att utsagan " P Q " är sann (P, Q matematiska utsagor genom att visa att den ekvivalenta utsagan " Q P " är sann EX 1 Visa att ör ett naturligt tal m gäller: Om m är delbart med 3 så är även m delbart med 3 B MOTSÄGELSEBEVIS Man visar att P är sann (P en matematisk utsaga genom att visa att ( P, en alsk utsaga P är alsk EX Visa att 3 inte är ett rationellt tal (dvs 3 Q, se sid 4 EX 3 Visa att det inns oändligt många primtal C INDUKTIONSBEVIS Man visar att P ( n är sann (P en öppen matematisk utsaga ör alla n N (dvs ör alla naturliga tal n, se sid 4, genom att visa att I P ( 1 är sann II Om P ( m är sann ör alla m p, p ett godtyckligt ixt tal p N, m N (se sid 4 så är även P ( p +1 sann III Induktionsaxiomet (inört av Peano ( säger att då alla (oändligt många! utsagor P ( n ( n N är sanna Ett induktionsbevis består alltså av tre steg: steg 1: "induktionsörankring": visa att P ( 1 är sann (man kan börja med ett annat heltal än 1 steg : "induktionssteget": visa P ( p P( p +1 ör godtyckligt ixt p N ( p 1! steg 3: "induktionsprincipen": den ger att då P ( n är sann ör alla n N inledande matematisk analys TMA970 3

4 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära MÄNGDALGEBRA 1 MÄNGDER Den "naiva mängdläran" skapades av Cantor Han deinierade (1895: "En MÄNGD M är en sammanattning av bestämda objekt, verkliga eller tänkta, som kallas ELEMENT I M, till en enhet" Vi lägger till: Det måste på ett objektivt sätt kunna avgöras om ett x är element i M eller inte Denna grundläggande "elementrelation" betecknas med : DEF 1 Vi skriver resp x M om x är element i M (x tillhör M, x ligger i M x M om x ej är element i M Vi betraktar här endast mängder som är deinierade genom matematiska utsagor och därmed väldeinierade För en öppen matematisk utsaga P sätter vi S P = { x : P( x är sann} = { x : P( x } = mängden av alla x sådana att P ( x är sann S kallas "sanningsmängden till P", "{" och "}" kallas "mängdparenteser" P EX M = { x : x = 1 x = x = 3} Vi skriver kort M = { 1,,3}, dvs vi skriver helt enkelt upp mängdens element mellan mängdparenteserna om det är möjligt DEF Låt M vara en mängd Vi säger M är en ÄNDLIG mängd, om antalet element i M är ändligt, resp M är en OÄNDLIG mängd om antalet element i M ej är ändligt Viktiga mängder är (och kommer alltid att betecknas så: DEF 3 Ø = { x : x x} den TOMMA mängden N = { 1,,3,4, } de NATURLIGA TALEN (obs: vi tar ej med 0 Z = { 0,1, 1,,,3, 3, } HELTALEN Q = { m n : m, n heltal, n 0} de RATIONELLA TALEN R (eller IR de REELLA TALEN För a, b IR, a b inör vi INTERVALL-beteckningarna [ a, b] = { x IR : a x b}, ] a, b [ = { x IR : a < x < b}, [ a, b [ = { x IR : a x < b}, ] a, b] = { x IR : a < x b}, [ a, [ = { x IR : a x}, ] a, [ = { x IR : a < x}, ], b] = { x IR : x b}, ], b [ = { x IR : x < b} Dessa mängder kallas slutet intervall resp öppet intervall resp halvöppet intervall OBS och är ej element i R För a IR gäller [ a, a] { a} I (ej reella tal, = ], [ = och ] a, a [ = Ø, [, ] R a är odeinierat! inledande matematisk analys TMA970 4

5 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära MÄNGDOPERATORER Vi översätter nu operatorerna,,,, mellan utsagor till operatorer mellan mängder I det öljande skall alla x ligga i en grundmängd U ("universum", tex U = IR DEF 1 För mängder A, B deinieras ( A = SP, B = SQ, P, Q matematiska utsagor 1 (union: A B = { x : x A x B} ( SP Q = SP SQ (snitt: A B = { x : x A x B} ( SP Q = SP SQ 3 (delmängd: ( A B (( x A ( x B ( P( x Q( x, x U 4 = (likhet: ( A = B (( x A ( x B ( P( x Q( x, x U 5 c (komplement: A c = { x : x A} ( S = ( c Vidare skriver vi och P S P A B ör ( A = B A B (äkta delmängd ör ( A B ( A B EX 1: a { 1,,3} = {,3,1 } = { 1,,,1,3,3,1, } osv (det spelar ingen roll hur vi skriver upp elementen i en mängd b Z = N { n : n N} { 0} c c ( ],0] = ] 0, [ ( U = IR d Ø N Z Q R (sista inklusionen: ex sid 3 Det underlättar mycket att åskådliggöra mängder som punktmängder i planet (Venndiagram eter den brittiske logikern John Venn, , se öreläsningen Vi deinierar nu ytterligare några operatorer som vi kommer att ha nytta av: DEF För två mängder A, B deinierar vi a MÄNGDDIFFERENSEN \: A \ B = { x : x A x B} (alla x som ligger i A men inte i B b den SYMMETRISKA MÄNGDDIFFERENSEN : A B = (A \ B ( B \ A För mängder gäller motsvarande regler som ör utsagor: SATS För mängder A, B, C gäller 1 ( A = B (( A B ( B A c c B = U \ B, A \ B = A B 3 A B = B A 4 A B = ( A B \ ( A B c c c a ( A B = A B 5 c c c b ( A B = A B (de Morgan a A ( B C = ( A B ( A C 6 b A ( B C = ( A B ( A C (distributivitet inledande matematisk analys TMA970 5

6 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Regel 4 visar att den operator ör utsagor som motsvarar, är XOR (exclusive or: ( P XOR Q (( P Q ( ( P Q (( P ( Q ( Q ( P, alltså "antingen P eller Q men ej bägge" (P och Q två matematiska utsagor Till sist konstruerar vi två nya, viktiga mängder: DEF 3 Låt M, N vara två mängder 1 Mängden P( M = { A : A M} = mängden av alla delmängder till M kallas POTENSMÄNGDEN AV M Mängden M N = {( m, n : m M n N} = mängden av alla "ordnade par" ( m, n med m M och n N kallas KARTESISKA MÄNGDPRODUKTEN AV M och N EX a Alltid gäller Ø P( M och M P( M (M en mängd b IR IR = {( x, y : x IR y IR } är "planet", betecknas I R c A = { a, b, c, d, e,, g, h}, B = { 1,,3,4,5,6,7,8 }: A B = rutorna på en schackbräda Då kan vi deiniera "relation" och, som speciell relation, "unktion": DEF 4 Låt M, N vara två mängder 1 En delmängd R M N kallas RELATION FRÅN M TILL N, D R = { x M : det inns y N så att ( x, y R} kallas DEFINITIONSMÄNGD, V R = { y N : det inns x M så att ( x, y R} kallas VÄRDEMÄNGD till R; vi skriver även xry ör ( x, y R ( "y står i relation R till x" En relation R M M kallas (BINÄR RELATION PÅ M En relation M N kallas AVBILDNING (eller FUNKTION FRÅN M TILL N om är "höger- entydig", dvs om ör x M, y1 N, y N gäller (( xy 1 ( xy ( y1 = y I så all inns det till varje x i :s deinitionsmängd precis ett y i :s värdemängd som står i relation till x, dvs vi kan se som en tillordning : x y som ordnar till varje x D ett entydigt bestämt y V ; ör att ramhäva detta skriver vi y = ( x ("y är en unktion av x" i stället ör x y och (vi använder något missbrukligt samma symbol : : M läs: " är en avbildning rån M till N som ordnar till N x ( x ett element x D elementet y = ( x V " Observera att vi använder pilen ör avbildningen ("rån M till N" och pilen ör den elementvisa tillordningen (" ordnar till x bildpunkten ( x " Själva relationen kallas GRAFEN TILL och betecknas G : G = ( x, y M N : x D y ( x En avbildning : M M med D = M { } = kallas UNITÄR OPERATOR PÅ M och en avbildning D = M M kallas BINÄR OPERATOR PÅ M : M M M med inledande matematisk analys TMA970 6

7 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära EX 3 a Ordningsrelationen < ("mindre än" på I R är halvplanet < = ( x, y IR : y x är positivt IR I ; kompelementet { } R = IR R \ < är relationen "större än eller lika med" (rita! b Funktionen "kvadrera" skriver vi upp så här: : IR IR ; här är = IR V = [ 0, [ x x c Additionen + är avbildningen D, = {( x, x : x IR }, G (rita! + : IR IR IR ( x, y x+ y (en binär operator på I R Binära relationer spelar en viktig roll i tex switchnätteorin Vi nämner en speciell relation som gör det möjligt att dela upp en mängd i "klasser" av element som anses vara likvärdiga i en viss mening: DEF 5 En relation ~ M M på M kallas a REFLEXIV om x ~ x ör alla x M b SYMMETRISK om x ~ y y ~ x ör alla x M, y M c TRANSITIV om (( x ~ y ( y ~ z ( x ~ z ör alla x M, y M, z M d EKVIVALENSRELATION PÅ M om ~ är relexiv, symmetrisk och transitiv EX 4 a är en ekvivalensrelation på mängden av alla matematiska utsagor b = är en ekvivalensrelation på P ( M (M en mängd c "Modulo-räkning" ger en ekvivalensrelation på Z : låt p N, m Z, n Z ; man säger "m är kongruent n modulo p", bet m n(mod p, om m n = kp ör något k Z ; "kongruent modulo p" är en ekvivalensrelation på Z, tal som ger samma rest vid division med p är ekvivalenta Ett exempel är klockan: vi räknar modulo 1 Satslogik och mängdlära är två viktiga, självständiga matematiska discipliner Men de "unkar" på samma sätt som (är specialall av, exempel på, modeller ör en mera generell matematisk struktur (= mängd av vissa objekt med operationer som lyder vissa regler, nämligen en "Boolesk algebra" Man skriver operationerna då "algebraiskt" ( +, George Boole ( : The Mathematical Analysis o Logic (1847 An Investigation o the Laws o Thought (1854 inledande matematisk analys TMA970 7

8 Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära ÖVNINGAR 1 a Visa ( (( x < y ( y < x ( x = y ( x IR, y IR b Bestäm sanningsmängderna SP, S Q och S R till P ( x : ( x > x ( ( x > 1, R ( x : ( x > x ( ( x > 1 och Q ( x : ( x = 3x x = ( x IR ( ( c Visa att ör matematiska utsagor P, Q, R gäller: c1 (( P Q R (( P R ( Q R c ( P Q ((( P Q Q (( Q P P (Dummett's identitet a Bestäm A B, A B, A \ B, B \ A och A B ör A = { 1,,3,4}, B = { 3,4,5} b Bestäm A B, A B, A \ B, B \ A och A B ör A = [ 8,9], B = ] 5, [ c Bestäm P ( M ör M = { 1,,3} d Bestäm A B och B A ör A = { 1,}, B = {,3,4} e Bestäm A B och B A ör A = [ 0,1], B = [ 1, [ (rita! Förenkla öljande uttryck ör mängder A, B: 1 A \(B \ A, A \(A \ B, 3 A (A\ B, 4 A (A\ B, 5 A (B\ A, 6 A (B\ A, 7 (A\ B ( B A B c c A (B\ A, 8 ( c g Visa att det inte inns någon surjektiv (alltså inte någon bijektiv avbildning : M P( M, M en mängd [ledning: studera { x M : x ( M } ] h Låt M, N vara mängder, X, A M, Y, B N ; visa att ( X Y ( A B = ( X A ( Y B och ( X Y ( A Y = ( X A Y SVAR 1b S S = IR, S = ],0 [ P = Q R a { 1,,3,4,5}, { 3,4}, { 1,}, { 5}, { 1,,5} b [ 8, [, ] 5,9], [ 8, 5], ] 9, [, [ 8, 5] ] 9, [ c {,{ 1 }, { }, { 3}, { 1,}, { 1,3}, {,3}, { 1,,3 }} d A B = {( 1,,( 1,3,( 1,4,(,,(,3,(,4 } B A = {(,1,(,,( 3,1,( 3,,( 4,1,( 4, } e A B = {( x, y : 0 x 1, y 1} B A = {( x, y : x 1, 0 y 1} 1 A, A B, 3 A, 4 A \ B, 5 A B, 6 /O, 7 A B, 8 A B inledande matematisk analys TMA970 8