En introduktion till logik

Transkript

1 FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017

2 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder.

3 Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument som är giltiga.

4 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn dricker kaffe eller te Hon dricker inte te Professorn dricker kaffe Det regnar eller blåser Det blåser inte Det regnar Dessa argument handlar om vitt skilda saker, men har samma form: (Premiss 1) P eller Q (Premiss 2) inte P (Slutsats) Q

5 Vad är ett giltigt argument? Preliminär definition: Om premisserna är sanna så måste slutsatsen vara sann. Eller: Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen inte är sann. Logik är studiet av giltiga argument, där giltigheten beror på argumentents form, snarare än på dess innehåll.

6 Argumenten ovan är båda giltiga, och giltiga i kraft av sin form. De har samma form, och vi gör detta tydligt genom att ersätta påståendena med schematiska bokstäver. (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) P eller Q inte P Q Om första premissen är sann så är (minst en av) P och Q sann, i kraft av betydelsen hos eller. Om andra premissen är sann så är P falsk, i kraft av betydelsen hos inte. Men då är Q sann, så argumentet är giltigt. Alla konkreta instanser av detta argument är alltså giltiga. Notation: Premisser Slutsats.

7 Ogiltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) P eller Q Q eller R P eller R Det regnar eller blåser Det blåser eller haglar Det regnar eller haglar Motexempel: Det blåser gör båda premisserna sanna, men har ingen bäring på slutsatsen. Alltså är argument av denna form ogiltiga det finns fall där alla premisser är sanna men där slutsatsen samtidigt är falsk. Notation: Premisser Slutsats.

8 Vår preliminära defintition av giltiga argument (eller relationen logisk konsekvens, som den också kallas) är både en praktiskt och teoretiskt användbar definition. För att den skall fungera har vi dock tvingats göra vissa val, och dessa val har även andra konsekvenser... Bivalens: Vi har antagit att varje påstående har precis ett av två sanningsvärden: sann eller falsk. Sanningsfunktionalitet: De logiska konstanter vi använt är sanningsfunktioner: sanningsvärdet hos en komplex sats bestäms entydigt av sanningsvärdena hos delarna, och sättet på vilka de satts samman.

9 Ex falso quodlibet (ur det falska vadsomhelst) (Premiss 1) Det regnar (Premiss 2) Det regnar inte (Slutsats) Fiskar har päls Enligt vår definition är detta ett giltigt argument! Dock är det tämligen oanvändbart. Kom ihåg: Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen inte är sann. Eftersom det inte finns någon situation i vilken båda premisserna är sanna samtidigt, så kan det inte heller finnas någon situation där båda premisserna är sanna samtidigt som slutsatsen är falsk. Alltså: giltigt!

10 Monotonicitet: Om ett argument är giltigt så fortsätter det vara giltigt även om vi lägger till ytterligare premisser. Om det inte finns någon situation i vilken alla premisser är sanna men slutsatsen falsk, så kan det inte heller finnas en situation där dessa premisser plus ytterligare några premisser är sanna och slutsatsen falsk.

11 Symbolisk logik Negation icke P P Disjunktion P eller Q (P Q) Konjunktion P och Q (P Q) Implikation Om P så Q (P Q) Parenteserna används för att göra mer komplexa satser entydigt läsbara. Jfr användningen av parenteser i matematik.

12 Meningen av de logiska symbolerna ges genom att vi anger sanningsvillkor för komplexa satser, i termer av sanningsvärden hos delsatserna. Dessa villkor kan sammanfattas i en sanningsvärdestabell: ϕ ψ (ϕ ψ) S S S S F F F S F F F F Varje rad beskriver en tilldelning av sanningsvärden till delsatserna. (Eller olika situationer, eller möjliga världar.) Notera att symbolen bara fångar en aspekt av meningen hos och. Jfr Vatten består av väte och syre.

13 ϕ ϕ S F F S ϕ ψ (ϕ ψ) S S S S F S F S S F F F ϕ ψ (ϕ ψ) S S S S F F F S F F F F ϕ ψ (ϕ ψ) S S S S F F F S S F F S ϕ ψ (ϕ ψ) S S S S F F F S F F F S

14 P Q (P Q) P Q S S S F S S F S F F F S S S S F F F S F Det finns ingen rad (sanningsvärdestilldelning, situation, möjlig värld) där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen är falsk. Alltså är argumentet giltigt: (P Q), P Q

15 P Q R (P Q) (Q R) (P R) S S S S S S S S F S S S S F S S S S S F F S F S F S S S S S F S F S S F F F S F S S F F F F F F Rad 6 representerar ett motexempel en möjlighet för slutsatsen att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna. Alltså är argumentet ogiltigt: (P Q), (Q R) (P R)

16 P Q R (P Q) (Q R) (P R) S S S S S S S S F S S S S F S S S S S F F S F S F S S S S S F S F S S F F F S F S S F F F F F F Rad 6 representerar ett motexempel en möjlighet för slutsatsen att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna. Alltså är argumentet ogiltigt: (P Q), (Q R) (P R)

17 En annan typ av argument (P Q) (Q R) (P R) Från första premissen kan vi få ut informationen P. Från andra premissen kan vi få ut R. Därför är vi berättigade att dra slutsatsen P R. Två sorters principer används här: Principer för vad som berättigar hävdandet av ett påstående av en viss form. (Introduktionsregler.) Principer för att få ut information ur påståenden av en viss form. (Eliminationsregler.)

18 Introduktions- och eliminationsregler för : ϕ ψ Intro (ϕ ψ) (ϕ ψ) Elim1 ϕ (ϕ ψ) Elim2 ψ

19 (P Q) Elim1 P (P R) (Q R) Elim2 R Intro Notation: (P Q), (Q R) (P R)

20 De bevisregler som visats ovan är sunda, i den meningen att om det som står ovanför strecket är sant, så är det som står under strecket också sant. Alltså kommer dessa regler aldrig att kunna ta oss från en sann premiss till en falsk slutsats. Vi skulle kunna hävda att detta argument är giltigt för att det är konstruerat med hjälp av regler som är korrekta.

21 När vi formellt har definierat relationen logisk konsekvens: Γ ϕ och relationen bevisbarhet: Γ ϕ är det naturligt att fråga sig hur de förhåller sig till varandra. I den bästa av världar har vi: Sundhet: Om Γ ϕ så Γ ϕ, och Fullständighet: Om Γ ϕ så Γ ϕ. Det vill säga: vi hoppas på att den syntaktiska och den semantiska analysen av giltighet sammanfaller!