En introduktion till predikatlogik

Transkript

1 FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017

2 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns ingen situation i vilken premisserna är sanna och slutsatsen falsk. Är argumentet satslogiskt giltigt?

3 Formalisera i satslogik: P : Alla människor är dödliga Q : Sokrates är en människa R : Sokrates är dödlig Intuitionen är att argumentet inte är satslogiskt giltigt: det verkar inte finnas någon koppling mellan premisser och slutsats.

4 Vi bevisar detta med hjälp av en sanningsvärdestabell: P Q R S S S S S F S F S S F F F S S F S F F F S F F F Det finns en rad i tabellen är P är sann, Q är sann och R falsk. Alltså: P, Q R.

5 Vi bevisar detta med hjälp av en sanningsvärdestabell: P Q R S S S S S F S F S S F F F S S F S F F F S F F F Det finns en rad i tabellen är P är sann, Q är sann och R falsk. Alltså: P, Q R.

6 Sokrates-argumentet är intuitivt giltigt, och verkar vara giltigt i kraft av sin form. Jämför med detta giltiga argument: (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla katter är djur Sokrates är en katt Sokrates är ett djur Om premisserna är sanna, så är slutsatsen också sann. Det verkar alltså finnas en logisk form hos detta argument som satslogiken inte är lämpad att uttrycka. Vi behöver ett mer detaljerat språk för att uttrycka den inre strukturen hos satserna ovan.

7 Predikatuttryck Jag introducerar nu predikatlogik genom ett antal exempel. De enklast tänkbara satserna är sådana som uttrycker att ett visst objekt har en viss egenskap. Exempel: Solen lyser Eiffeltornet är högt Sokrates är en katt Björnen sover Dessa satser är uppbyggda av uttryck som betecknar individer eller objekt (designators i Halbach), i kombination med uttryck som betecknar egenskaper (predicates i Halbach). Individer/konstanter: Solen, Sokrates, Eiffeltornet, Björnen Predikat:... lyser,... är en katt,... är högt,... sover

8 Predikatuttryck Något mer komplicerade satser kan uttrycka relationer mellan objekt: Leon ser Eiffeltornet Lisa är starkare än Pelle Mölndal ligger mellan Göteborg och Kungsbacka De uttryck som betecknar relationer kallas också predikat:... ser är starkare än ligger mellan... och...

9 Kvantifikatoruttryck Alla människor är dödliga Det är aldrig kallt Någon katt är glad Vissa hundar skäller Vad har dessa uttryck för logisk form? Uttryck som alla, någon, aldrig, varje, vissa kallas kvantifikatoruttryck eller kvantifikatorer. (Det finns väldigt många fler kvantifikatoruttryck...) Predikatlogiken har tillgång till två kvantifikatorer: Allkvantifikatorn: för alla, varje Existenskvantifikatorn: det finns minst en, någon

10 Variabler Variabler används ofta i samband med kvantifikatoruttryck. Alla människor är dödliga kan formuleras om till För alla x gäller att om x är människa så är x dödlig Någon katt är glad kan formuleras som Det finns ett x sådant att x är en katt och x är glad Exemplen ger en idé om den (predikat)logiska formen hos dessa uttryck.

11 Språket L 2 Definition (Predikatsymboler) P k, Q k, R k, P1 k, Qk 1, Rk 1, Pk 2,... är predikatsymboler, där k är någon av sifforna 0, 1, 2, 3,... Om k = 0 så kan denna siffra utelämnas. En sådan symbol fungerar precis som en satssymbol i L 1. Exempel: P R 1 P 1 P 2 1 Q 3 P 2 3

12 Språket L 2 Definition (Ställighet) Det övre indexet på en predikatsymbol uttrycker hur många platser predikatet har. Detta kallas predikatets ställighet (arity på engelska). Exempel: P 2 har ställighet 2 och kan därför uttrycka relationer som... är längre än.... R3 1 har ställighet 1 och kan därför uttrycka egenskaper som... är glad. P har ställighet 0 och kan uttrycka påståenden som Lisa vet att det regnar.

13 Språket L 2 Definition (Konstanter) a, b, c, a 1, b 1, c 1, a 2,... är konstanter. Definition (Variabler) x, y, z, x 1, y 1, z 1, x 2,... är variabler. Definition (Termer) Varje variabel och varje konstant är en term.

14 L 2 Definition (Atomära L 2 -formler) Om Z är en n-ställig predikatsymbol och t 1,..., t n är termer, så är Zt 1... t n en atomär L 2 -formel. Exempel: P 1 a R 1 3 x Q2 xc 1 P är atomära L 2 -formler. P 1 ab Q 2 x är ej atomära L 2 -formler: i båda fallen är ställigheten fel.

15 Språket L 2 Definition (L 2 -formler) 1 Varje atomär L 2 -formel är en L 2 -formel. 2 Om ϕ och ψ är L 2 -formler så är ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) och (ϕ ψ) också L 2 -formler. 3 Om ϕ är en L 2 -formel och v är en variabel så är vϕ och vϕ också L 2 -formler. Exempel: P ( xq 1 x Q 2 ab) y(p 1 y P 1 y) x zr 2 7 zx

16 Exempel Hur konstrueras formeln ( xq 1 x Q 2 ab)? Q 1 är en 1-ställig predikatsymbol och x är en term. Då är Q 1 x en atomär formel, och därmed en formel. Eftersom x är en variabel så är xq 1 x en formel. Q 2 är en 2-ställig predikatsymbol och a och b är termer. Då är Q 2 ab en formel. Men eftersom xq 1 x och Q 2 ab är formler, så är ( xq 1 x Q 2 ab) en formel.

17 Exempel Hur konstrueras formeln y(p 1 y P 1 y)? P 1 är en 1-ställig predikatsymbol och y är en term. Då är P 1 y en formel. Eftersom P 1 y är en formel så är P 1 y en formel. Så då är (P 1 y P 1 y) en formel. Eftersom y är en variabel så är y(p 1 y P 1 y) en formel.

18 Definition (Fria och bundna variabler) 1 Varje variabel i en atomär formel är fri. 2 Om en variabel är fri i ϕ och ψ så är den också fri i ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) och (ϕ ψ). 3 I formlerna vϕ och vϕ är v bunden (dvs inte fri). Om någon annan variabel är fri i ϕ så är den också fri i vϕ och vϕ. Exempel: x är fri i P 1 x. x och y är fria i Q 1 x P 2 1 ya. x är bunden i xp 1 x. x är bunden, men y fri, i xq 2 1 xy.

19 Definition En L 2 -formel är en L 2 -sats omm ingen variabel förekommer fritt i formeln. Exempel: xp 1 x P 1 a y 1 xr 2 xy 1 yr 2 yc 2 är satser. P 1 x xr 2 xy R 2 yc 2 är formler, men inte satser.

20 Språket L = Definition (Atomära L = -formler) 1 Varje atomär L 2 -formel är en atomär L = -formel. 2 Om t och s är termer så är t = s en atomär L = -formel. Exempel: a = b x = c 2 z = y P 1 x Klassen av L = -formler kan nu definieras från atomära L = -formler på samma sätt som L 2 -formler definieras från atomära L 2 -formler.

21 Övningsuppgifter Vilka av följande uttryck är atomära formler? Vilka är (komplexa) formler? Ange deras huvudtecken. Är det några av uttrycken som är satser? 1 R 2 xyz 2 P 2 xy P 2 yx 3 (Q 1 a xp 2 ax) 4 x 2 (P 1 2 x 2 R 1 3 x 2) 5 R 2 xx 6 xr 2 1 xy (P1 y P 1 y) 7 x yr 2 xy P 8 xr 1 x P 1 xc 3 9 y 3 z(r (Q 2 xy 3 P 1 y 3 )) 10 y 3 zr x(q 2 xy 3 P 1 y 3 )