8. Naturlig härledning och predikatlogik
|
|
|
- Marie Jansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 8. Naturlig härledning och predikatlogik Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013
2 Outline 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik 8. Naturlig härledning och predikatlogik 2/48
3 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik Inledning Substitution Härledningsregler Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 3/48
4 Rekapitulation Modellering med satslogik Operatorer kontra relationer (t ex, ; <) Tautologier och räknelagar Naturlig härledning med inferensregler för Implikationsoperatorn och dess sanningstabell Precedens för operatorer Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 4/48
5 Implikationsoperatorn Denition P Q P Q T T T F T T F F T T F F (P Q) (P Q) P Q Den sista enligt de Morgans lag Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 5/48
6 Operatorprecedens 1. icke, 2. och 3. eller 4. om... så, implicerar 5. ekvivalent Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 6/48
7 Associativitet = (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1) Men är exempel på en vänsterassociativ operator = (3 2) 1 och a b är högerassociativ 2 32 = 2 (32) = 512 Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 7/48
8 Associativitet Associativitet är en konvention för att kunna utelämna parenteser För vissa operatorer (t ex ) nns ingen vedertagen konvention och man måste sätta ut parenteser Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 8/48
9 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik Inledning Substitution Härledningsregler Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 9/48
10 Inferensregler för P Q [ E1 ] P P Q [ E2 ] Q P Q [ I ] P Q Ett bevisträd: p q [ E2 ] q q p p q [ E1 ] p [ I ] Sekvent {p q} q p Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 10/48
11 Regler för [P ] Q [ I ] P Q P P Q [ E ] Q Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 11/48
12 Inferensregler för P Q [P ] R R [Q] R [ E ] P [ I1 ] P Q Q [ I2 ] P Q Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 12/48
13 Introduktionsregel för [P ] R P [P ] R [ I ] Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 13/48
14 Eliminationsregler för P [ E ] P Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 14/48
15 Huvudsats för inferensreglerna Sats P är en tautologi omm P går att härleda utan några premisser. = P P Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 15/48
16 Aktivitet Indikera vilken regel som använts i varje nod. [p] [ I] p p p [ (p p)] [ I] [ p] [ I] p p [ (p p)] [ I] p [ E] p [ I] (p p) [ E] p p Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 16/48
17 Samma härledning i annan notation Visa att = p p. 1 (p p) 2 p 3 p p I, 2 4 F I, 1, 3 5 p I (RAA), 24 6 p 7 p p I, 6 8 F I, 1, 7 9 p I (RAA), p E, 9 11 F I, 5, (p p) I (RAA), p p E, 12 Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 17/48
18 Härledda regler Exempel (Modus Tollens, kontrapositiva lagen) Om studenten skriver godkänt på tentan så blir studenten godkänd på kursen. Studenten blev inte godkänd på kursen. Alltså skrev studenten inte godkänt på tentan. Exempel (Modus Tollendo Ponens, disjunktiv syllogism) Jag är på kontoret eller i karummet. Jag är inte på kontoret. Alltså är jag i karummet. Exempel (Modus Ponendo Tollens, konjunktiv syllogism) Man kan inte vara gift och ungkarl samtidigt. Jag är gift. Alltså är jag inte ungkarl. Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 18/48
19 Härledda regler Sats (Modus Tollens) {P Q, Q} P Bevis [P ] P Q Q [ E ] P Q [ I] Detta kallas ibland lagen om kontraposition: {P Q} ( Q P ) Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 19/48
20 Härledda regler Sats (Modus Ponendo Tollens, konjunktiv syllogism) Bevis (skiss) { (P Q), P } Q Motsägelsebevis; antag Q, och I ger motsägelse Sats (Modus Tollendo Ponens, disjunktiv syllogism) Bevis (skiss) {P Q, P } Q Gör sanningstabell för (P Q) ( P Q). Härledning lite mer komplicerad. T ex, visa { P } P Q och använd detta tillsammans med E och E, eller motsägelsebevis och E. Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 20/48
21 Sammanfattning E P Q P I {P, Q} P Q E {P Q, P R, Q R} R I P P Q E {(P Q), P } Q MP I {P Q} (P Q ) Hypotetisk härledning I (P F) P Indirekt härledning, RAA E P P Dubbel negation MT {P Q, Q} P MTP {P Q, Q} P MPT { (P Q), P } Q Inferensregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 21/48
22 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik Inledning Substitution Härledningsregler Predikatlogik 8. Naturlig härledning och predikatlogik 22/48
23 Satslogikens begränsning Exempel: slutsatserna 1 Allting är förgängligt Jorden är förgänglig 2 Sokrates är en modig losof Det nns modiga losofer kan inte bevisas satslogiskt, eftersom subjektet i slutsatsen inte är detsamma som subjektet i premissen. Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 23/48
24 Predikatlogik ( x. P (x)) för alla x gäller P (x) ( x. P (x)) det nns något x så att P (x) eller, om det inte framgår av sammanhanget vilka värden x kan anta ( x S. P (x)) för alla x i mängden S gäller P (x) ( x S. P (x)) det nns något x S så att P (x) Kvantorer:, Predikat: P (x), Q(x, y) Termer: f(x), g(0, y), f(g(x, T)) Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 24/48
25 Euklides, 300 f. Kr. Sats n. p. prime(p) p > n Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 25/48
26 Aktivitet Skriv ett uttryck som säger att 1 heltalet i är jämt. Använd, och = men inte divisions- eller restoperator. Svar n Z. i = 2n 2 för alla heltal så är kvadraten på talet är större än eller lika med talet. Svar n Z. n 2 n Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 26/48
27 Aktivitet Ibland måste man själv inse att det behövs kvantorer. Skriv ett uttryck som säger att summan av två heltal är alltid densamma oberoende av i vilken ordning operanderna tages. Svar n. m. n + m = m + n Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 27/48
28 Exempel Låt x och y vara vektorer. Vad betyder i. x i x i+1 i. j. i = j x i x j i. j. i j x i < x j i. x i = y i Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 28/48
29 Aktivitet Låt x och y vara vektorer med lika många element. Formulera med predikatlogik 1 Alla värden som nns i x nns också i y. i. j. x i = y j 2 Varje element i x är mindre än motsvarande element i y. i. x i < y i 3 Alla element i x är mindre än varje element i y. i. j. x i < y j 4 Det minsta elementet i x är större än det största elementet i y. i. j. x i > y j Predikatlogik : Inledning 8. Naturlig härledning och predikatlogik 29/48
30 Fria och bundna variabler prime(p) p > n p. prime(p) p > n ( p. prime(p)) p > n n. p. prime(p) p > n Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 30/48
31 Bundna variabler Denition Förekomsten av en variabel v i ett uttryck F är bunden om F innehåller ett uttryck på formen v. G eller v. G och förekomsten av v nns i denna form. En förekomst av en variabel som inte är bunden säges vara fri. Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 31/48
32 Aktivitet Markera fria förekomster av variabler i ( n. n > 0) (n = 0) Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 32/48
33 Substitution om e och t är uttryck och x är en variabel så är e[x\t] det uttryck man får när man i e ersätter alla fria förekomster av x med t Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 33/48
34 Substitution i aritmetiska uttryck Om n är en numerisk literal n[x\t] n Om ett uttryck bara består av en variabel, v, har vi två fall v[x\t] t om v och x är samma variabel (d v s x[x\t] t) v[x\t] v om v och x är olika variabler Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 34/48
35 Substitution i sammansatta aritmetiska uttryck De återstående fallen handlar om sammansatta uttryck. (e 1 + e 2 )[x\t] (e 1 [x\t] + e 2 [x\t]) (e 1 e 2 )[x\t] (e 1 [x\t] e 2 [x\t]) (e 1 e 2 )[x\t] (e 1 [x\t] e 2 [x\t]) (e 1 /e 2 )[x\t] (e 1 [x\t]/e 2 [x\t]) Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 35/48
36 Aktivitet Högerleden i de fyra sista denitionerna av substitution tillåter två tolkningar beträande hur mycket som skall utsättas för den sista substitutionen. Sätt ut parenteser så att det inte råder någon tvekan i (e 1 [x\t] + e 2 [x\t]) Vilken precedens skall substitutionsoperatorn ha relativt de aritmetiska operatorerna för att man skall kunna utelämna parenteserna i högerledet? Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 36/48
37 Aktivitet Utför substitutionerna (x x)[x\x + 1] = (x + 1) (x + 1) (y x)[x\y + 1] = (y (y + 1)) (x x)[x\x + 1][x\x + 1] = (((x + 1) + 1) ((x + 1) + 1)) Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 37/48
38 Stora och n P i P 1 P n = i {1,..., n}. P i i=1 n P i P 1 P n = i {1,..., n}. P i i=1 har samma relationer som till + Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 38/48
39 Substitution i kvantieringar Tre fall: 1. om v och x är samma variabel ( v. P )[x\t] ( v. P ) 2. om v och x är olika variabler och v inte är fri i t ( v. P )[x\t] ( v. P [x\t]) Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 39/48
40 Substitution med namnkollision 3. I det återstående fallet, när v förekommer som fri variabel i t måste man byta namn på kvantieringsvariabeln till ett nytt namn, z, som inte förekommer i P innan man kan substituera in t. ( v. P )[x\t] ( z. ((P [v\z])[x\t])) Predikatlogik : Substitution 8. Naturlig härledning och predikatlogik 40/48
41 Inferensregler i predikatlogik Reglerna från satslogiken gäller (men se upp med kvantorer) I, E I, E de Morgans lagar behöver utökas Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 41/48
42 Inferensregler, exempel Alla människor är dödliga. Jag är människa. Alltså är jag dödlig. ( E ) Låt t vara en triangel. Det går att bevisa att t har vinkelsumman 180. Alltså har alla trianglar vinkelsumman 180. ( I ) Jag har sett en vit dovhjort. Alltså nns det vita dovhjortar. ( I ) Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 42/48
43 Inferensregler för. x. P [ E ] P [x\t] där t inte får förekomma som bunden variabel i P. b. a. P (a, b) (T ex gäller inte [ E]. Motexempel: P (a, b) a > b.) a. P (a, a) P (t) [ I ] x. P (x) om P (t) kan härledas utan något (oupphävt) antagande om t, och x inte ingår (som fri variabel) i P (t). Annars skulle P (x) x. P (x), vilket det inte gör. Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 43/48
44 Inferensregler för. P (c) [ I ] x. P (x) där x inte får förekomma som fri variabel i P (c) x. P (x) Q [P (a)] Q [ E ] där a är en ny variabel, som bara förekommer i härledningen av Q. E kan förstås som vi vet att det nns värden på x, för vilka P (x) är sant. Antag att variabeln a har ett sådant värde, och att det ger Q. Då kan vi säga att Q gäller, utan att behöva känna värdet a. Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 44/48
45 Räknelagar (urval) Det gäller att x. P (x) Q(x) x. y. P (x, y) och ( x. P (x)) ( x. Q(x)) y. x. P (x, y) ( x. P (x)) ( x. Q(x)) x. ( P (x) Q(x)) men inte omvändningen x. ( P (x) Q(x) ) ( x. P (x)) ( x. Q(x)) ty med P (x): x är man och Q(x): x är kvinna, så skulle då satsen För alla människor x gäller: x är man eller x är kvinna vara ekvivalent med det betydligt starkare påståendet att alla människor är män eller alla människor är kvinnor. Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 45/48
46 de Morgans lagar För predikatlogiska uttryck gäller Denial of universality ( x. P (x)) = x. P (x) Denial of existence ( x. P (x)) = x. P (x) och omvändningarna Assertion of universality x. P (x) = ( x. P (x)) Assertion of existence ( x. P (x)) = x. P (x) Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 46/48
47 Exempel: Modus Ponens ( E ) x S. P (x) Q(x) Q(a) P (a), a S E Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 47/48
48 Se upp med Det nns däggdjur som kan yga, med D(x): x är ett däggdjur F (x): x kan yga skrivs x. D(x) F (x) och inte x. D(x) F (x) Predikatlogik : Härledningsregler 8. Naturlig härledning och predikatlogik 48/48
9. Predikatlogik och mängdlära
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik
Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena
7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Diskreta strukturer. 1 Introduktion. 1.1 Konventioner
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 2012-10-16 Diskreta strukturer 1 Introduktion När vetenskapsmän och ingenjörer gör modeller av verkligheten använder
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
10. Mängder och språk
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning
Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion
DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana
En introduktion till predikatlogik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns
Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Grundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer. 13. Problem. Sven Gestegård Robertz. Datavetenskap, LTH
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 13. Problem Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik och substitution mängder
Lite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
DD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är
Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter
Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det
Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna
Lösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar
Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,
Om semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax
Grundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,
12. Relationer och funktioner
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 12. Relationer och funktioner Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Laboration 4 Syntaxanalys Grammatik för (vår delmängd
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Grundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst
Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.
12. Relationer och funktioner
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 12. Relationer och funktioner Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Laboration 4 Syntaxanalys Grammatik för (vår delmängd av) satslogiska uttryck
MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Grundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt
Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
MA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Föreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Semantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)
Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi
MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Jesper Carlström 2008 (reviderad 2009)
Jesper Carlström 2008 (reviderad 2009) Jesper Carlström Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm http://www.math.su.se/ jesper/logikbok/ c 2009 Jesper Carlström Typsatt av L A
Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren
Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För
Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler
Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock
Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Semantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser
Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2
Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion
TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system
Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets
Logik och bevisteknik lite extra teori
Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.
Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer
Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Tentamen EDAF10 2016 10-26, 08:00 13:00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Vid bedömningen kommer hänsyn att tas till lösningens kvalitet.
F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik
F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras
Kap. 7 Logik och boolesk algebra
Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik
Diskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
. Om man började diskutera alla dessa tänkbara tolkningar innan man införde funktionsbegreppet så skulle det nog balbla Ett av huvudsyftena är att
Förord Föreliggande text är resultatet av alltmer bearbetade föreläsningsanteckningar till en fördjupningskurs vid Göteborgs universitet som jag har hållit ett antal (otal) gånger de senaste tio åren.
Diskret matematik: Övningstentamen 1
Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som
Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik
Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Robin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Logik och kontrollstrukturer
Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch
Mer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte
Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,
MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,
Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,
Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:
FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments
LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
K3 Om andra ordningens predikatlogik
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket
11. Reguljära uttryck och grammatiker
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 11. Reguljära uttryck och grammatiker Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer
Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler
Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Till denna lektion hör uppgift 2, 6 och 0 i lärobokens avsnitt.6 (sid. 255). Lös uppgift 2 genom att konstruera en semantisk tablå. Följande
Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.
Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar
EDA Digital och Datorteknik 2009/2010
EDA45 - Digital och Datorteknik 29/2 EDA 45 - Digital och Datorteknik 29/2, lärobokens kapitel 3 Ur innehållet: Satslogik och Boolesk algebra Grindar Funktionstabell Binär evaluering Normal orm/förenklad
Övningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
INDUKTION OCH DEDUKTION
AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter
Svar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018
Tavelpresentation Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom Januari 2018 1 Partiella derivator och deriverbarhet Differentierbarhet i en variabel
Grundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel
MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss
Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt
Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket
11. Reguljära uttryck och grammatiker
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 11. Reguljära uttryck och grammatiker Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik
Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer
Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Ulf Asklund, Sven Gestegård Robertz Tentamen EDAF10 2016 06 03, 14:00 19:00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Tentamen består av en teoridel
Semantik och pragmatik (Serie 3)
Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom
ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X
Diskret matematik. Gunnar Bergström
Diskret matematik Gunnar Bergström 20 september 2005 ii INNEHÅLL iii Innehåll 1 Logik och mängdlära 1 1.1 Satslogik........................... 1 1.1.1 Utsagor....................... 1 1.1.2 Konnektiv......................
Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1
1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +
Algebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2005 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 2 november 2005 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element
Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013
Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera
EDA Digital och Datorteknik 2010/2011
EDA45 - Digital och Datorteknik 2/2 EDA 45 - Digital och Datorteknik 2/2, lärobokens kapitel 3 Ur innehållet: Satslogik och Boolesk algebra Grindar Funktionstabell Binär evaluering Normal orm/förenklad