9. Predikatlogik och mängdlära

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "9. Predikatlogik och mängdlära"

Transkript

1 Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014

2 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik I predikatlogiken tillkommer, utöver satslogiska språket predikat som beror på parametrar: prime(x), x < y,... kvantorerna och. Exempel: p N. prime(p) p > n Rekapitulation 9. Predikatlogik och mängdlära 2/37

3 Regler som upphäver antaganden [P ] Q [ I ] P Q [P ] R R [ I ] P När reglerna använts upphävs antagandet (skrivs: [P ]) D v s det som står under strecket är inte beroende av antagandet P. Rekapitulation : Naturlig härledning 9. Predikatlogik och mängdlära 3/37

4 Satslogisk härledning Visa, med indirekt härledning, att = p p. 1 (p p) 2 p 3 p p I, 2 4 F I, 1, 3 5 p I (RAA), 24 6 p 7 p p I, 6 8 F I, 1, 7 9 p I (RAA), p E, 9 11 F I, 5, (p p) I (RAA), p p E, 12 Rekapitulation : Naturlig härledning 9. Predikatlogik och mängdlära 4/37

5 Samma härledning som bevisträd Visa, med indirekt härledning, att = p p [p] [ I] p p [ (p p)] [ I] p [ p] [ I] p p [ (p p)] [ I] p [ E] p [ I] (p p) [ E] p p Rekapitulation : Naturlig härledning 9. Predikatlogik och mängdlära 5/37

6 Predikatlogiska uttryck Låt x och y vara vektorer med lika många element och låt kvantieringarna löpa över alla index som gör uttrycken meningsfulla. Exempel på uttryck: 1 Varje element i x är mindre än motsvarande element i y. i. x i < y i 2 Alla värden som nns i x nns också i y. i. j. x i = y j 3 Alla element i x är mindre än varje element i y. i. j. x i < y j Rekapitulation : Predikatlogik 9. Predikatlogik och mängdlära 6/37

7 Aktivitet Formulera med predikatlogik: Om x och y är två olika reella tal så nns det ett reellt tal mellan dem. x R. y R. x y z R.(x < z z < y) (y < z z < x) Rekapitulation : Predikatlogik 9. Predikatlogik och mängdlära 7/37

8 Fria och bundna variabler Denition En förekomst av en variabel är bunden om det nns en omgivande kvantiering där variabeln introduceras. En förekomst av en variabel som inte är bunden säges vara fri. Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 8/37

9 Fria och bundna variabler prime(p) p > n p. prime(p) p > n ( p. prime(p)) p > n n. p. prime(p) p > n Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 9/37

10 Substitution om e och t är uttryck och x är en variabel så är e[x\t] det uttryck man får när man i e ersätter alla fria förekomster av x med t under förutsättning att ingen fri variabel i t blir bunden i det resulterande uttrycket. Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 10/37

11 Substitution i kvantieringar Tre fall: 1. om v och x är samma variabel ( v. P )[x\t] = ( v. P ) Exempel Notera. Substitutionen ( x N. x > 0)[x\2] ger enligt ovan resultatet x N. x > 0 (eftersom x är bunden) medan substitutionen (x > 0)[x\2] betyder Sätt in x = 2, d v s 2 > 0 Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 11/37

12 Substitution med risk för namnkollision I de två återstående fallen är v och x är olika variabler. Exempel I uttrycket ( y N. y > x ) [x\y 1] kan vi inte direkt göra substitutionen y N. y > y 1 eftersom y är fri variabel i uttrycket som substitueras in men skulle bli bunden efter substitutionen. Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 12/37

13 2. om v inte är fri i t kan vi direkt göra substitutionen ( v. P )[x\t] = ( v. P [x\t]) Exempel ( y N. y > x)[x\w] blir y N. y > w 3. I det återstående fallet, när v förekommer som fri variabel i t måste man byta namn på kvantieringsvariabeln till ett nytt namn, z, som inte förekommer i P innan man kan substituera in t. ( v. P )[x\t] = ( z. ((P [v\z])[x\t])) Exempel ( y N. y > x)[x\y 1] blir, med [y\z] z N. z > y 1 ( Och inte y N. y > y 1 ) Rekapitulation : Substitution 9. Predikatlogik och mängdlära 13/37

14 Inferensregler i predikatlogik Reglerna från satslogiken gäller (men se upp med kvantorer) Skilj på fria och bundna variabler I, E I, E de Morgans lagar behöver utökas Predikatlogisk härledning : Inferensregler 9. Predikatlogik och mängdlära 14/37

15 Härledningar, exempel Alla människor är dödliga. Jag är människa. Alltså är jag dödlig. ( E ) Låt t vara en triangel. Det går att bevisa att t har vinkelsumman 180. Alltså har alla trianglar vinkelsumman 180. ( I ) Jag ser en vit dovhjort. Alltså nns det vita dovhjortar. ( I ) Predikatlogisk härledning : Inferensregler 9. Predikatlogik och mängdlära 15/37

16 Inferensregler för x. P [ E ] P [x\t] där t inte får förekomma som bunden variabel i P. b. a. P (a, b) (T ex gäller inte [ E]. Motexempel: P (a, b) = a > b.) a. P (a, a) P (t) [ I ] x. P (x) om P (t) kan härledas utan något (oupphävt) antagande om t, och om x inte ingår (som fri variabel) i P (t). Annars skulle P (x) x. P (x), vilket det inte gör. Predikatlogisk härledning : Inferensregler 9. Predikatlogik och mängdlära 16/37

17 Inferensregler för P (c) [ I ] x. P (x) där x inte får förekomma som fri variabel i P (c) (jfr P (c) = P (x)[x\c] ) x. P (x) Q [P (a)] Q [ E ] där a är en ny variabel, som bara förekommer i härledningen av Q. E kan förstås som vi vet att det nns värden på x, för vilka P (x) är sant. Antag att variabeln a har ett sådant värde, och att det ger Q. Då kan vi säga att Q gäller, utan att behöva känna värdet a. (P (a) = P (x)[x\a] ) Predikatlogisk härledning : Inferensregler 9. Predikatlogik och mängdlära 17/37

18 Räknelagar (urval) Det gäller att och x. P (x) Q(x) x. y. P (x, y) ( x. P (x)) ( x. Q(x)) y. x. P (x, y) ( x. P (x)) ( x. Q(x)) x. ( P (x) Q(x)) men inte omvändningen x. ( P (x) Q(x) ) ( x. P (x)) ( x. Q(x)) ty med P (x): x är man och Q(x): x är kvinna, så skulle satsen För alla människor x gäller: x är man eller x är kvinna då vara ekvivalent med påståendet att alla människor är män eller alla människor är kvinnor. Predikatlogisk härledning : Räknelagar 9. Predikatlogik och mängdlära 18/37

19 de Morgans lagar För predikatlogiska uttryck gäller Denial of universality ( x. P (x)) = x. P (x) Denial of existence ( x. P (x)) = x. P (x) och omvändningarna Assertion of universality x. P (x) = ( x. P (x)) Assertion of existence ( x. P (x)) = x. P (x) Predikatlogisk härledning : Räknelagar 9. Predikatlogik och mängdlära 19/37

20 Bevis för = ( x. P (x)) ( x. P (x)) 1. Visa { x. P (x)} ( x. P (x)): 2. Därefter, gör antagande i stället för premiss, och använd I : [ x. P (x)] [ E ] P (a) [ x. P (x)] [ E ] P (a) x. P (x) [ E ] P (a) [ I ] ( x. P (x)) [ x. P (x)][ x. P (x)] [ E ] ( x. P (x)) P (a) [ I ] ( x. P (x)) ( x. P (x)) [ I ] Notera att [ I ] och [ I ] upphäver respektive antagande. Predikatlogisk härledning : Räknelagar 9. Predikatlogik och mängdlära 20/37

21 Se upp med huvudkonnektiv för och Exempel Alla studenter i Lund är smarta: skrivs, med M = {Människor} x M. ( StudentILund(x) Smart(x) ) och inte x M. ( StudentILund(x) Smart(x) ) Alla människor är studenter i Lund och smarta Det nns däggdjur som kan yga: x. ( D(x) F (x) ) och inte x. ( D(x) F (x) ) Predikatlogisk härledning : Kommentarer 9. Predikatlogik och mängdlära 21/37

22 Mängdlära Mål Målet med avsnittet om mängdlära är att ni ska känna till de grundläggande begreppen kunna beskriva mängder med predikatlogiska uttryck, mängdbyggare förstå induktivt denierade mängder känna till och kunna använda de vanligaste räknelagarna kunna använda mängder för att beskriva och resonera om formella språk relationer funktioner Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 22/37

23 Mängdlära Primitiva begrepp: mängd, element och tillhör. NB! tillhör är ett predikat: x A = tillhör(e, m) Notation: och {1, 3, 5}. Mängder av tal: N, Z, Q, R,... B = {F, T} Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 23/37

24 Kardinalitet Denition Om M är en ändlig mängd M = antalet element i mängden. Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 24/37

25 Mängdbyggare Att använda predikat för att deniera mängder Denition Om U är en mängd och P (x) är ett predikat, där x U så är M = {x U P (x)} den mängd som har egenskapen Exempel x. x M x U P (x) Mängden av de positiva heltalen kan denieras { x. x Z x > 0} Jfr list comprehension i Python, Ruby, Haskell,... Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 25/37

26 Mängdbyggare Exempel: List comprehension Exempel (Java) // a n t a a t t L i s t <Car> a l l C a r s f i n n s L i s t <Car> r e d C a r s = new L i n k e d L i s t <Car > ( ) ; f o r ( Car c : a l l C a r s ) } i f ( c. g e t C o l o u r ( ). e q u a l s ( " r e d " ) ) { r e d C a r s. add ( c ) ; } Exempel (Python) r e d C a r s = [ c f o r c i n a l l C a r s i f c. c o l o u r ( ) == " r e d " ] Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 26/37

27 Induktivt denierade mängder Vi kan deniera mängden av alla satslogiska uttryck, P, som den minsta mängd med följande egenskaper: Om x är ett variabelnamn så x P. Om P P så P P. Om P P och Q P så tillhör alla (P Q), (P Q) (P Q) och (P Q) också mängden P. Känner ni igen kompositmönstret? Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 27/37

28 Delmängd Denition M 1 M 2 = m. m M1 m M 2 Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 28/37

29 Transitivitet Sats Om A B och B C så är A C. Bevis. Antag att a A. Detta betyder att a är ett godtyckligt element i A, men att a är samma element i hela beviset. Vi skall visa att a C. Av denitionen på A B så följer att a B. Eftersom B C så gäller på samma sätt att a C. Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 29/37

30 Ett härledningsträd {A B, B C} A C { m. m A m B, m. m B m C} m. m A m C m. m A m B [ E ] [a A] a A a B [ E ] a B m. m B m C [ E ] a B a C [ E ] a C [ I ] a A a C [ I ] m. m A m C Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 30/37

31 Mängdoperationer Denition (Union) M 1 M 2 = {x x M1 x M 2 }. Denition (Snitt) M 1 M 2 = {x x M1 x M 2 }. Denition (Relativt komplement, Dierens) M 1 M 2 = {x M1 x M 2 }. Denition (Absolut komplement) M = {x M}. ({x U x M}) d v s M = U M Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 31/37

32 Mängdoperationer och logiska konnektiv B B B A A A A B A B B A Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 32/37

33 Räknelagar Sats A = A A A = A A B = B A A A B A = A A = A A B = B A A B A Räknelagarna följer direkt av liknande lagar i satslogiken: Sats p F = p p p = p p q = q p p p q p F = F p p = p p q = q p p q p Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 33/37

34 Ett av bevisen Bevis. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 34/37

35 Sats A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A B = A B Motsvarande satslogiska formler: Sats p (q r) = (p q) r p (q r) = (p q) (p r) (p q) = p q p (q r) = (p q) r p (q r) = (p q) (p r) (p q) = p q Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 35/37

36 Lagar för relativt komplement Det gäller även att Sats C (A B) = (C A) (C B) C (A B) = (C A) (C B) Notera att om C = U så får vi de Morgans lagar för absolutkomplementet (se förra bilden) Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 36/37

37 Sammanfattning Vi har talat om predikatlogik, härledning och substitution begrepp och regler i mängdläran förhållandet mellan logik och mängdlära Nästa föreläsning: Mängder och språk Vi kommer att fortsätta studera mängdläran, speciellt de mängder som kallas språk. Mängdlära 9. Predikatlogik och mängdlära 37/37

8. Naturlig härledning och predikatlogik

8. Naturlig härledning och predikatlogik Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 8. Naturlig härledning och predikatlogik Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 Outline 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik 8. Naturlig

Läs mer

10. Mängder och språk

10. Mängder och språk Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning

Läs mer

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

Objektorienterad modellering och diskreta strukturer. 13. Problem. Sven Gestegård Robertz. Datavetenskap, LTH

Objektorienterad modellering och diskreta strukturer. 13. Problem. Sven Gestegård Robertz. Datavetenskap, LTH Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 13. Problem Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik och substitution mängder

Läs mer

12. Relationer och funktioner

12. Relationer och funktioner Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 12. Relationer och funktioner Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Laboration 4 Syntaxanalys Grammatik för (vår delmängd

Läs mer

12. Relationer och funktioner

12. Relationer och funktioner Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 12. Relationer och funktioner Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Laboration 4 Syntaxanalys Grammatik för (vår delmängd av) satslogiska uttryck

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

En introduktion till predikatlogik

En introduktion till predikatlogik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns

Läs mer

Diskreta strukturer. 1 Introduktion. 1.1 Konventioner

Diskreta strukturer. 1 Introduktion. 1.1 Konventioner Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 2012-10-16 Diskreta strukturer 1 Introduktion När vetenskapsmän och ingenjörer gör modeller av verkligheten använder

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Logik och bevisteknik lite extra teori

Logik och bevisteknik lite extra teori Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.

Läs mer

Föreläsning 5. Deduktion

Föreläsning 5. Deduktion Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om 1 Föreläsning 1 Temat för dagen, och för dessa anteckningar, är att introducera lite matematisk terminologi och notation, vissa grundkoncept som kommer att vara genomgående i kursen. I grundskolan presenteras

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet

Läs mer

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Ulf Asklund, Sven Gestegård obertz Tentamen EDAF10 2013 10 24, 8.00 13.00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Vid bedömningen kommer hänsyn

Läs mer

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Om semantisk följd och bevis

Om semantisk följd och bevis Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.

Läs mer

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och

Läs mer

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som

Läs mer

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo,

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo, 729G74 IT och programmering, grundkurs Tema 1, Föreläsning 3 Jody Foo, jody.foo@liu.se Föreläsningsöversikt Kurslogistik Diskret matematik & Uppgifter i Python Kompletteringar Tema 1: Olika perspektiv

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer

Läs mer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Tentamen EDAF10 2016 10-26, 08:00 13:00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Vid bedömningen kommer hänsyn att tas till lösningens kvalitet.

Läs mer

Semantik och pragmatik (serie 5)

Semantik och pragmatik (serie 5) Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1

Läs mer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Ulf Asklund, Sven Gestegård obertz Tentamen EDAF10 2014 10 31, 14.00 19.00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Vid bedömningen kommer hänsyn

Läs mer

11. Reguljära uttryck och grammatiker

11. Reguljära uttryck och grammatiker Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 11. Reguljära uttryck och grammatiker Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

11. Reguljära uttryck och grammatiker

11. Reguljära uttryck och grammatiker Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 11. Reguljära uttryck och grammatiker Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman

Läs mer

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I v. 2.0, den 24/4 2013 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet är

Läs mer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas: FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta

Läs mer

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation

Läs mer

Jesper Carlström 2008 (reviderad 2009)

Jesper Carlström 2008 (reviderad 2009) Jesper Carlström 2008 (reviderad 2009) Jesper Carlström Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm http://www.math.su.se/ jesper/logikbok/ c 2009 Jesper Carlström Typsatt av L A

Läs mer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer

Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Lunds Tekniska Högskola Datavetenskap Ulf Asklund, Sven Gestegård Robertz Tentamen EDAF10 2016 06 03, 14:00 19:00 Tentamen i Objektorienterad modellering och diskreta strukturer Tentamen består av en teoridel

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Lite Kommentarer om Gränsvärden

Lite Kommentarer om Gränsvärden Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR

SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR 1. Föreläsning 1 Se litet blad om mängdlära på kurshemsidan. Talsystemen N, Z, Q, R. Mängder och symboler. Lite logik. Slutligen gick vi igenom potenslagarna. Eftersom

Läs mer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig

Läs mer

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängdlära. Kapitel Mängder Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 4 4.7 Vi visar först att A 2n 3 2 n 2 med ett induktionsbevis. Basfall: n 0 Vi har att 3 2 0 2 A 0, och alltså gäller likheten för n 0. Induktionssteget: Antag

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Hur man skriver matematik

Hur man skriver matematik Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2018-10-01 N. Chr. Overgaard Skriva matematik 2018-10-01 1 / 12 Information: Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

Objektorienterad Programmering (TDDC77)

Objektorienterad Programmering (TDDC77) Objektorienterad Programmering (TDDC77) Föreläsning II: utmatning, variabler, typer Ahmed Rezine IDA, Linköpings Universitet Hösttermin 2017 Outline Java Språket Utmatning av Sträng litteraler Variabler

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer