Semantik och pragmatik (Serie 4)

Transkript

1 Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April / 30

2 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda. Disjunktion (p q): att minst en av två enklare satser är uppfylld. Implikation (p q): att andra enklare satsen är uppfylld, givet att den första är det. Negation ( p): att den enklare satsen inte är uppfylld Dessa operationer representerar elementära och oerhört viktiga sätt att kombinera information i språk och tänkande. 2 / 30

3 Logisk slutledning (repetition av ex.) Vissa resonemang är logiskt bindande. Givet några satser (premisser), så måste en viss slutsats följa. Exempel denna typ heter modus ponens premiss 1: Satslogik: p 1 p 2 Om riksbanken höjer räntan, så får många människor mindre pengar kvar till nöjen. premiss 2: Satslogik: p 1 Riksbanken höjer räntan. slutsats: Satslogik: p 2 Många människor får mindre pengar kvar till nöjen. OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara sann. 3 / 30

4 Bevis för Modus ponens OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara sann. Enkla: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 S S S S S (båda prem. sanna) S F F S F (inte båda prem. sanna) F S S F S (inte båda prem. sanna) F F S F F (inte båda prem. sanna) 4 / 30

5 Logisk slutledning (Modus tollens) Modiferat exempel denna typ heter modus tollens premiss 1: Satslogik: p 1 p 2 Om riksbanken höjer räntan, så får många människor mindre pengar kvar till nöjen. premiss 2: Satslogik: p 2 Det är inte så att många människor får mindre pengar kvar till nöjen. slutsats: Satslogik: p 1 Riksbanken höjer inte räntan. OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara sann. 5 / 30

6 Bevis för Modus tollens OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara sann. Enkla: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats p 1 p 2 p 1 p 2 p 2 p 1 S S S F F (inte båda prem. sanna) S F F S F (inte båda prem. sanna) F S S F S (inte båda prem. sanna) F F S S S (båda prem. sanna) 6 / 30

7 Detta exempel igen Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet, så kontaktar man vården direkt. Om p 1 eller p 2, så p 3. Satslogik: (p 1 p 2 ) p 3 Villkorsdelen är uppfylld när minst en av angivna symptom föreligger (p 1 p 2 ). Detta blir då en bindande slutledning: Premiss 1: (p 1 p 2 ) p 3 (som ovan) Premiss 2: p 2 (Barnet har ont i bröstet.) Slutsats: p 3 (Man kontaktar vården direkt.) 7 / 30

8 Bevis för föregående enkla: Hjälp: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p 3 p 2 p 3 S S S S S S S * S S F S F S F S F S S S F S S F F S F F F F S S S S S S * F S F S F S F F F S F S F S F F F F S F F * båda premisserna sanna. 8 / 30

9 Liten modifikation enkla: Hjälp: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats p 1 p 2 p 3 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p 3 p 3 p 2 S S S S S S S * S S F S F F S S F S S S S F * S F F S F F F F S S S S S S * F S F S F F S F F S F S S F * F F F F S F F * båda premisserna sanna. Nu i fyra fall, varav slutsatsen falsk i två. 9 / 30

10 Illustration av föregående Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet, så kontaktar man vården direkt. Om p 1 eller p 2, så p 3. Satslogik: (p 1 p 2 ) p 3 Detta är INTE en bindande slutledning: Premiss 1: (p 1 p 2 ) p 3 (som ovan) Premiss 2: p 3 (Man kontaktar vården direkt.) Slutsats: p 2 (Barnet har ont i bröstet.) 10 / 30

11 Mer struktur inom satserna: predikat Predikat täcker in egenskaper och relationer. prediceras om individer, och vi får utsagor som är sanna eller falska. representeras av speciella symboler som vi bestämt skall ha denna funktion. De är indelade efter ställighet, som anger antalet argument. Predikatlogik rikare än satslogik. predikat individkonstanter kvantifikatorer och variabler 11 / 30

12 Struktur inom satserna: individkonstanter Vi behöver nu också namn på entiteter. Dessa namn kallas individkonstanter. Termen individ står i detta sammanhang bara för en godtyckligt entitet. En individ kan alltså vara vad som helst som man valt att referera till. 12 / 30

13 Struktur inom satserna: exempel Individkonstanterna l och r för Stefan Löfven respektive Fredrik Reinfeldt Predikatet M för egenskapen att vara moderat. Då: M(l) (Stefan Löfven är moderat) falsk sats och M(r) (Fredrik Reinfeldt är moderat) sann. Vi kan kombinera dessa med hjälp av konnektiver: Både Löfven och Reinfeldt är moderater M(l) M(r) (falskt) Löfven eller Reinfeldt är moderat M(l) M(r) (sant) 13 / 30

14 Tvåställiga predikat (relationer) G(p, l) kan då motsvara Pelle gillar Lisa om G svarar mot relationen gillar. Då blir G(l, p) Lisa gillar Pelle. Och sedan: G(l, p) Lisa gillar inte Pelle Pelle gillar Lisa, men Lisa gillar inte Pelle G(p, l) G(l, p) Pelle gillar Lisa, och Lisa gillar Pelle Pelle och Lisa gillar varandra G(p, l) G(l, p) 14 / 30

15 Så här långt Individkonstanter (namn) Predikatssymboler Dessa två ger enkla satser med viss struktur Satslogikens operatorer Varje sats refererar till ett ändligt antal individer (namngivna av individkonstanter). 15 / 30

16 Två egenskaper och en individ Fido är en hund som skäller. Fido är en hund och Fido skäller. H(f) S(f) Alltså: Någon, nämligen Fido, har båda egenskaperna att vara hund och att skälla. 16 / 30

17 Andra förhållanden mellan egenskaper Någon hund skäller, nämligen Fido H(f) S(f). Någon hund skäller. (Men vi vet kanske inte alls vilken.) Inga hundar skäller. Ingen hund skäller. Fem hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.) Många hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.) De flesta hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.) Kvantifikation hur extensioner förhåller dig till varandra. 17 / 30

18 Variabler Om x är i Göteborg, så är x vid västkusten. x är i Göteborg, men x äter inte glass. x är en hund som skäller. x är en hund och x skäller. Om x är en hund, så jamar inte x. Blir sanna eller falska om vi knyter individer till variabeln (x). 18 / 30

19 Variabler och kvantifikatorer Kvantifikatorer knyts till en variabel och en formel: Existenskvantifikatorn någon det finns minst en entitet som kopplad till variabeln gör den aktuella formeln sann Allkvantifikatorn alla oavsett vilken entitet som kopplas till variabeln blir den aktuella formeln sann 19 / 30

20 Exempel Partikulär affirmativ: Någon (minst en) hund skäller. (Men vi säger inte vilken.) x(h(x) S(x)) Negationen av det universell negativ: Ingen hund skäller. (Inga hundar skäller.) x(h(x) S(x)) 20 / 30

21 Exempel, fler Partikulär negativ: Någon (minst en) hund skäller inte. Det finns någon hund som inte skäller. x(h(x) S(x)) Negationen av det universell affirmativ Det finns inte någon hund som inte skäller. x(h(x) S(x)) Med andra ord: Alla hundra skäller. Eller: x(h(x) S(x)) 21 / 30

22 Predikatlogik Individkonstanter (namn) Predikatssymboler Satslogikens operatorer All- och existenskvantifikatorn med (tillhörande) variabler. Detta ger en ny typ av beroende mellan formler och därmed mycket större uttryckskraft. 22 / 30

23 Existenskvantifikation, attribut Det finns röda (R) tomater (T). Det finns tomater (T) som är röda (R). Mer strikt: Minst en sak är en tomat och röd. x(t(x) R(x)) Det finns inga röda tomater. x(t(x) L(x)) Det finns tomater som inte är röda. Mer strikt: Minst en sak är en tomat och inte röd. x(t(x) R(x)) 23 / 30

24 Koppling allkvantifikator/implikation Alla hundar skäller. Varje varelse som är en hund skäller. Om en varelse är en hund så skäller den. Om en varelse (x) är en hund så skäller den (x). För alla x gäller: om x är en hund så skäller x. x(h(x) S(x)) 24 / 30

25 Koppling allkvantifikator/implikation Alla hundar skäller x(h(x) S(x)) För alla värden på x gäller: (alltså: H(x) S(x) skall alltid bli sann) H(x) S(x) H(x) S(x) S S S villkorsdel och konsekvensdel uppfyllda S F F villkorsdel uppfylld, men inte konsekvensdel F S S villkorsdel ej uppfylld F F S villkorsdel ej uppfylld 25 / 30

26 Koppling allkvantifikator/implikation Alla hundar skäller x(h(x) S(x)) För alla värden på x gäller: H(x) S(x) H(x) S(x) S S S x är en hund som skäller S F F x är en hund som inte skäller F S S x är något annat som skäller F F S x är något annat som inte skäller 26 / 30

27 Existenskvantifikator/konjunktion Någon hund skäller x(h(x) S(x)) För minst ett värde på x gäller: H(x) S(x) H(x) S(x) S S S x är en hund som skäller S F F x är en hund som inte skäller F S F x är något annat som skäller F F F x är något annat som inte skäller 27 / 30

28 Flera kvantifikatorer i en sats (Åtminstone) en hund (H) gillar (G) (åtminstone) en katt (K). x y(h(x) K(y) G(x, y) Ingen gillar alla hundar. x( y(h(y) G(x, y))) Citroner (C) är surare än (S) apelsiner (A). Om vi tolkar det som: Varje citron är surare än varje apelsin. x y((c(x) A(y)) S(x, y)) 28 / 30

29 Samband: all- och existenskvantifikation x(f(x)) betyder x( F(x)). Inte allting är icke-f. x(f(x)) betyder x( F(x)). Ingenting är icke-f. 29 / 30

30 Kvantifikation Dessa kan (som vi sett) uttryckas i predikatlogik: Någon hund skäller. Alla hundar skäller. Inga hundar skäller. (Och dessa utgör dessutom aristoteliska kategoriska satser.) Dessa kan inte rakt av uttryckas i predikatlogik: Många hundar skäller. (Vagt.) De flesta hundar skäller. (Jämförelse av kardinaliteter.) 30 / 30