:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och

Transkript

1 KTH Matematik B.Ek SF1642 LOGIK för D och IT, övningarna vt08 Exempel från gamla tentor (i 5B1928) Ö1, kungar och narrar :1a) Det är marknadsdag på Knarrön och många invånare från den närbelägna Gnisslön har rest till. Gnisslön bebos, liksom Knarrön, av två folkgrupper, kungar och narrar. Egendomligt nog är det dock så, att medan Knarröns kungar alltid talar sanning och dess narrar ljuger, är det på Gnisslön precis tvärtom. Där är alla kungar inpiskade lögnare, medan narrarna är hängivna sanningssägare. I vimlet stöter vi på en öbo som säger Jag är kung och gnissling. Är hon kung eller narr? Är hon knärring (dvs från Knarrön) eller gnissling (dvs från Gnisslön)? Motivera ordentligt :1a) De båda knarröborna Alef och Belef är var och en, liksom alla andra på ön, antingen kung (och talar då alltid sanning) eller narr (och ljuger då alltid). På frågan: Stämmer det att Alef är kung och du narr?, svarar Belef något vi inte uppfattar. Alef (som hörde svaret) förklarar: Han svarade ja. Avgör för var och en av Alef och Belef om han är kung eller narr :1a) Alla knarröbor är precis endera av kung (och talar då alltid sanning) och narr (och ljuger då alltid). Knarrön är (trots ett stort antal kungar) republik, med (exakt) en president. Öborna A, B och C gör följande påståenden. A: B är president. B: Minst två av oss tre är narrar. C: Jag är inte president. Är presidenten kung eller narr? :1) Till Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och alltid talar sanning) eller narr (och alltid ljuger)) strömmar forskare i ämnet etnologik. En sådan vill kartlägga fördelningen mellan folkgrupperna i gifta par och frågar en öbo Är minst en av dig och din fru narr? Efter att ha hört mannens svar vet hon om han är kung eller narr och detsamma för hans fru. Vad är de? :1) I en rättegång på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och alltid talar sanning) eller narr (och alltid ljuger)) sade svarandens advokat: Min klient är narr och inte skyldig. Svaranden sade: Min advokat talar alltid sanning. Kan det på grund av dessa yttranden avgöras om svaranden är skyldig eller oskyldig, och vilket är han i så fall? :1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung och alltid talar sanning, eller narr och alltid ljuger), möter du en person och frågar Har du någonsin påstått att du är varulv?. Du får svaret Nej och frågar sedan Har du någonsin påstått att du inte är varulv?. Nu får du svaret Ja. Kan det på grundval av denna konversation avgöras om du mött en varulv eller inte, och i så fall vilket?

2 :1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och alltid talar sanning) eller narr (och alltid ljuger)) stöter vi på öborna A och B. Då vi frågar A om B är kung, svarar hon nej. Sedan påstår hon att om vi skulle fråga B om A är kung, skulle han svara ja. Vad kan man av detta sluta sig till, är A kung eller narr, är B kung eller narr? :1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och alltid talar sanning) eller narr (och alltid ljuger)) stöter vi på tre öbor, A, B och C. A säger att B och C är kungar och B säger att A är narr och C kung. Avgör för var och en av A, B och C om han/hon är kung eller narr. Ö2, egenskaper hos ( uppgift 9 ) :5a) Avgör om p q r q p r. Dvs om p, q, r är sentenser sådana att p q r, måste då q p r? :5a) Betrakta följande påståenden om sentenserna p, q, r: α) p q eller p r, β) (p q) (p r), γ) p q r. Avgör för var och en av följande implikationer om den gäller eller inte: α) β), β) α), β) γ), γ) β), γ) α), α) γ), dvs om α) är sant för vissa p, q, r, måste då β) vara sant för samma p, q, r etc.? :9) Betrakta följande relationer mellan sentenserna p, q, r: α) p q & r (om p är logiskt giltig är också q & r det), β) p q och p r (både p q och p r är logiskt giltiga). Avgör (med motivering) för var och en av α) β) och β) α) om den gäller, dvs om p, q, r är sentenser sådana att α) är uppfylld, måste då β) vara det, och omvänt? :9) Betrakta följande relationer mellan sentenserna p, q, r: α) p q q r (om p q är logiskt giltig är också q r det) β) p r (p r är logiskt giltig). Avgör (med motivering) för var och en av α) β) och β) α) om den gäller, dvs om p, q, r är sentenser sådana att α) är uppfylld, måste då β) vara det, och omvänt? :9) Betrakta påståendena α) och β) om sentenserna p, q, r: α) p q r β) p & q r α) t.ex. säger alltså att om p är en tautologi är också q r en tautologi. Gäller α) β)? Gäller β) α)? Dvs om p, q, r är sentenser sådana att α) är uppfylld, måste då β) vara det, och omvänt? :9) Betrakta påståendena α) och β) om sentenserna p, q: α) p q β) q p α) säger alltså att q är en logisk följd av p, medan β) säger att p inte är en logisk följd av q. Gäller α) β)? Gäller β) α)? Dvs om p, q är sentenser sådana att α) är uppfylld, måste då β) vara det, och omvänt?

3 Ö5, monadisk predikatlogik :6) Använd tablåmetoden för att avgöra om x P x x P x x y (P x P y). Om det inte gäller, använd tablån för att finna ett motexempel :5) Använd tablåmetoden för att avgöra om x (F x Ga), x (F x Gx) x Gx. Om det inte gäller, använd tablån för att finna ett motexempel. Ö6, predikatlogik med likhet :2a) Betrakta en tolkning där domänen är {alla människor}, Gx betyder att x är grönögd och Rx betyder att x är rödhårig. Finn en predikatlogisk sentens som betyder Det finns någon som är grönögd och minst två som är rödhåriga, men ingen som är både grönögd och rödhårig :2b) Översätt till en predikatlogisk sentens: Det finns (minst) en snäll flodhäst bara om det finns precis två krokodiler. Låt de enställiga predikaten F, K, S beteckna egenskaperna att vara flodhäst, krokodil respektive snäll :1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och alltid talar sanning) eller narr (och alltid ljuger)) stöter vi på tre öbor, A, B och C, alla från den avlägsna lilla byn Knirke (i Knarröns glesbefolkade inland). Då vi frågar hur liten deras by egentligen är, säger A: Det finns högst en narr i vår by. B säger: Det finns minst en narr i byn. C säger: Vi tre är de enda som bor i Knirke. Kan man avgöra om C är kung eller narr? I så fall, vad är hon? Ö7, mer predikatlogik med likhet :3a) Betrakta det predikatlogiska språket med tre individkonstanter: a, b, c, två enställiga predikat K, N och ett tvåställigt predikat T. Vi har en tolkning där domänen består av alla invånare på Knarrön, Ref(a) är Abel, Ref(b) är Bebel, Ref(c) är Cebel, Kx tolkas som Ref(x) är kung, Nx tolkas som Ref(x) är narr och T xy tolkas som Ref(x) tycker om Ref(y). Vi vet: 1) var och en på Knarrön är precis endera av kung och narr, 2) Abel är kung och tycker inte om någon kung och 3) Bebel tycker om Cebel som tycker om Abel som tycker om Bebel. Uttryck 1) - 3) i predikatlogiska sentenser och avgör (informellt resonemang räcker) om vi vet tillräckligt för att avgöra om följande sentens är sann i tolkningen. Om vi gör det, är den sann eller falsk? x (Nx & y (Ky & T xy)) :3b) Visa med naturlig deduktion att x (F x & y (Gy Hxy)) x (Gx y (F y & Hyx)).

4 :6) Visa med semantiska resonemang att sentensen ( x P x x P x) x y x y. är logiskt giltig :7) Visa med naturlig deduktion (SI-regler från formelbladet tillåtna) ( x P x x P x) x y x y. Ö8, binära relationer, Peano :3a) Avgör om de binära relationerna R och S mellan logiska sentenser är reflexiva, symmetriska och/eller transitiva: Rpq betyder p q Spq betyder p & q Det skall klart framgå av lösningen vad det innebär att en relation är reflexiv, symmetrisk respektive transitiv :4b) I en viss tolkning är Rab & x (Rax & F cx) och x (Rxb F cx) båda sanna. Visa med naturlig deduktion (SI-regler tillåtna) att R, tolkningen av R, i denna tolkning inte är en ekvivalensrelation :8) Betrakta en tolkning som gör x Rxx & x y z ((Rxy & Ryz) Rzx) sann. Måste R, tolkningen av R, vara en ekvivalensrelation? Lösningen får vara informell, men den skall vara klar och väl motiverad och det skall tydligt framgå vad det innebär att vara en ekvivalensrelation :10) Visa att x 0 x = 0 följer ur Peanos axiom. Resonemanget får vara informellt, men det skall vara klart och bindande :10) Visa att x y z (x + y) + z = x + (y + z) följer ur Peanos axiom. Resonemanget får vara informellt, men det skall vara klart och bindande. Ledning: Visa först för godtyckliga a, b att z (a + b) + z = a + (b + z). Ö9, modallogik :6a) Visa med naturlig deduktion i varianten S5 av modal logik (dvs den modallogik som presenteras i kursboken) att S5 (A A). SI-regler på formelbladet får användas :6a) Visa med naturlig deduktion i varianten S5 av modallogik (dvs den modallogik som presenteras i kursboken) att (A B) S5 SI-regler på formelbladet får användas :6b) Visa att (fortfarande i S5) ( A B). x (F x Gx), x F x S5 x Gx :12) Konstruera en modell för följande sentensmängd i modal predikatlogik (fortfarande variant S5): { x F x, x F x, x F x, x F x}.

5 Ö10, intuitionistisk logik :13) Visa med resonemang att i intuitionistisk logik: (A & B) I A B. Sambandet skall visas med ett resonemang om tolkningar, det är alltså inte tillåtet att använda t.ex. naturlig deduktion :13) Visa med resonemang att i intuitionistisk logik A (B C), (A C) I B. Sambandet skall visas med ett resonemang om tolkningar, det är alltså inte tillåtet att använda t.ex. naturlig deduktion. Ö10, kompakthetssatsen :8b) Låt Γ och vara (eventuellt oändliga) mängder av sentenser i första ordningens predikatlogik, sådana att Γ och inte har någon gemensam modell. Visa, t.ex. med hjälp av kompakthetssatsen, att det finns en sentens p så att Γ p och p :15) Låt Γ vara en sentensmängd och q en sentens i första ordningens predikatlogik, sådana att Γ och q har precis samma modeller, dvs en tolkning gör alla sentenser i Γ sanna om och endast om den gör q sann. Visa att det finns sentenser p 1, p 2,..., p n Γ sådana att för alla p Γ gäller p 1, p 2,..., p n p. Ö10, andra ordningens predikatlogik :8b) Betrakta den tolkning av det predikatlogiska språket med ett tvåställigt predikat R som ges av D = {α, β, γ}, Ext(R) = { α, α, α, β, β, β, β, γ, γ, α }. Är följande sentens i andra ordningens predikatlogik sann eller falsk i tolkningen? u x y ( u(x) = x & (Rxy Ru(x)u(y))) :16) Betrakta det predikatlogiska språket med en enställig predikatsymbol P. Vad säger följande sentenser i andra ordningens predikatlogik tillsammans (dvs vilka tolkningar gör båda sentenserna sanna)? u x (x = u(u(x)) & (P x P u(x))) u ( x y (x y & u(x) = u(y)) x y x u(y))