Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström

Transkript

1

2 1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall då vi designar algoritmer eller läser in data i våra program.. 2 I satslogik så har vi CNF och DNF som exempel på normalformer. 3 Vi ska idag definiera en normalform för meningar och en klausulform som går att använda då man vill avgöra om en mening är satisfierbar. 4 Vi ska också beskriva algoritmer som transformerar en mening till normalform eller klausulform.

3 Definition En formel är i prenex konjunktiv normalform PCNF om den är på formen Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n M där Q i är kvantifikatorer, x i variabler och M är en formel i CNF. Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n kallas formelns prefix och M dess matris

4 Definition En formel är i prenex konjunktiv normalform PCNF om den är på formen Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n M där Q i är kvantifikatorer, x i variabler och M är en formel i CNF. Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n kallas formelns prefix och M dess matris x y z(x y) (z x) Prefixet: Matrisen: x y z (x y) (z x)

5 Det finns en enkel algoritm för att omvandla en formel till PCNF Kortfattat: 1 Byt namn på all bundna (ofria) variabler så att ingen variabel förekommer i mer än en kvantifikator 2 Eliminera implikationer och ekvivalenser 3 Flytta in negationer till atomära formler 4 Flytta kvantifikatorer till vänster 5 Skriv om matrisen till CNF.

6 Steg 1. Byt namn på all bundna (ofria) variabler så att ingen variabel förekommer i mer än en kvantifikator ( x(f (x) x)) ( x(f (x) x)) skrivs om till ( x(f (x) x)) ( y(f (y) y))

7 Steg 2. Eliminera implikationer och ekvivalenser Vi använder de regler vi redan sett i satslogiken: A B ersätts med A B A B med (A B) ( A B).

8 Steg 2. Eliminera implikationer och ekvivalenser Vi använder de regler vi redan sett i satslogiken: A B ersätts med A B A B med (A B) ( A B). Så skrivs om till ( x(f (x) x)) ( y(f (y) y)) ( x( f (x) x)) ( y(f (y) y))

9 Steg 3. Flytta in negationer till atomära formler Vi gör som i satslogiken så länge inga kvantifierare är involverade. För att handskas med kvantifierare används ekvivalenserna ( x)(a) ( x)( A) ( x)(a) ( x)( A).

10 Steg 3. Flytta in negationer till atomära formler Vi gör som i satslogiken så länge inga kvantifierare är involverade. För att handskas med kvantifierare används ekvivalenserna ( x)(a) ( x)( A) ( x)(a) ( x)( A). Så skrivs om till ( x( f (x) x)) ( y(f (y) y)) ( x( f (x) x)) ( y (f (y) y)) och vidare till ( x( f (x) x)) ( y( f (y) y))

11 Steg 4. Flytta kvantifikatorer till vänster Ordningen på kvantifikatorerna måste bevaras.

12 Steg 4. Flytta kvantifikatorer till vänster Ordningen på kvantifikatorerna måste bevaras. Så ( x( f (x) x)) ( y( f (y) y)) skrivs om till x y(( f (x) x) ( f (y) y))

13 Steg 5. Skriv om matrisen till CNF. Här använder vi de vanliga reglerna från satslogiken

14 Steg 5. Skriv om matrisen till CNF. Här använder vi de vanliga reglerna från satslogiken Så x y(( f (x) x) ( f (y) y)) skrivs om till och formeln är nu på PCNF. x y( f (x) x f (y) y)

15 För meningar (slutna formler) så kan man ibland gå ett steg till. Om prefixet till en mening A bara innehåller så kan man stryka prefixet och få As klausulform.

16 För meningar (slutna formler) så kan man ibland gå ett steg till. Om prefixet till en mening A bara innehåller så kan man stryka prefixet och få As klausulform. Vår exempelformel var på slutet en mening med endast som kvantifikator i prefixet så vi kan skriva den på klausulform skrivs om till x y( f (x) x f (y) y) ( f (x) x f (y) y)

17 I satslogik så finns det för varje formel A en ekvivalent formel A som är på CNF. Detta innebär att varje modell för A är en modell för A. Det finns ingen motsvarande sats i predikatlogik om man vill nå en formel på klausulform, men om man bara bryr sig om satisfierbarhet så går det. Theorem (Skolem) För varje mening A så finns det en formel A på klausulform så att A A, dvs A är satisfierbar om och endast om A är satisfierbar. En modell för A behöver inte vara en modell för A, eller tvärtom, utan satsen säger bara att om det finns någon modell för A så finns det någon modell för A.

18 För att hitta en formel som den Skolem säger ska finnas så måste vi på något sätt bli av med existentiella kvantifikatorer i formler på PCNF. x y (x + 2y 0) (0 x 1) Det finns för varje värde på x många olika y som uppfyller den första delen av formeln. Något som alltid fungerar är tex att ta y = x 2, om vi sätter in det i formeln får vi x y (x + 2 x 0) (0 x 1) 2 x y (x x 0) (0 x 1) x y (0 0) (0 x 1) x y (0 x 1) x (0 x 1)

19 Skolems idé var att man i något som y p(x, y) kan byta ut y mot en funktion av x som väljer ut ett av dom värden som enligt y ska finnas. Vi kan då byta ut y p(x, y) mot p(x, f (x)) och bevara satisfierbarheten. De här nya funktionerna kallas Skolemfunktioner

20 Skolems algoritm: Input: En mening A Output: En formel A på klausulform så att A A 1 Använd den tidigare algoritmen för att omvandla A till PCNF. 2 Introducera nya Skolemfunktioner som tar bort alla 3 Stryk alla så att bara matrisen är kvar.

21 Skolems algoritm: Input: En mening A Output: En formel A på klausulform så att A A 1 Använd den tidigare algoritmen för att omvandla A till PCNF. 2 Introducera nya Skolemfunktioner som tar bort alla 3 Stryk alla så att bara matrisen är kvar. Vi tar en närmare titt på steg 2.

22 Steg 2 genomförs genom att börja med den innersta existentiella kvantifikatiorn och dess variabel x. Låt y 1... y n vara alla universellt kvantifierade variabler till vänster om x i prefixet. Vi inför nu en ny Skolemfunktion f som beror på dessa y och byter ut alla x i vår formel mot f (y 1, y 2,..., y n ) och tar bort x. Vi upprepar detta för alla exisentiella kvantifikatorer i formeln.

23 Steg 2 genomförs genom att börja med den innersta existentiella kvantifikatiorn och dess variabel x. Låt y 1... y n vara alla universellt kvantifierade variabler till vänster om x i prefixet. Vi inför nu en ny Skolemfunktion f som beror på dessa y och byter ut alla x i vår formel mot f (y 1, y 2,..., y n ) och tar bort x. Vi upprepar detta för alla exisentiella kvantifikatorer i formeln. y 1 y 2 x 1 y 3 x 2 (x 1 p(y 1, y 2, x 2 )) q(y 3, x 1, x 2 ) Vi inför en skolemfunktion f för x 2 som beror på y 1, y 2, y 3 och ersätter alla x 2 i matrisen med f (y 1, y 2, y 3 ) och får y 1 y 2 x 1 y 3 (x 1 p(y 1, y 2, f (y 1, y 2, y 3 ))) q(y 3, x 1, f (y 1, y 2, y 3 )) Vi inför en skolemfunktion g för x 1 som beror på y 1, y 2 och ersätter alla x 1 i matrisen med g(y 1, y 2 ) och får y 1 y 2 y 3 (g(y 1, y 2 ) p(y 1, y 2, f (y 1, y 2, y 3 ))) q(y 3, g(y 1, y 2 ), f (y 1, y 2, y 3 ))

24 För att göra det enklare att hålla reda på vart Skolemfunktionerna kommer ifrån kan det vara bra att välja ett namn som identifierar de variabel som den kommer ifrån. T.e.x att x 5 byts ut mot f 5.

25 För att göra det enklare att hålla reda på vart Skolemfunktionerna kommer ifrån kan det vara bra att välja ett namn som identifierar de variabel som den kommer ifrån. T.e.x att x 5 byts ut mot f 5. En nackdel med den enkla versionen av Skolems algoritm är att den tenderar att ge skolemfunktioner med hög arity/ställighet, Man kan nå något bättre resultat genom att ändra på PCNF-konverteringen så att man först flyttar alla kvantifikatorer så långt in i formeln som möjlgt, sedan inför Skolemfunktionerna och därefter flyttar ut de universella kvantifikatorerna.