D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

Transkript

1 Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar med villkoren och reglerna för sådana resonemang som är aktuella i matematiska sammanhang, kallas logik. Alla tankegångar sker, eller måste åtminstone redovisas, inom ramen för det vanliga (t ex svenska) språket. Alla matematiska resonemang, t ex problemlösningar, som redovisas, muntligen eller skriftligen, måste uttryckas med vanliga språkliga medel, normalt fullständiga meningar med subjekt och predikat. Man måste klart kunna säga vad som är en fullständig mening, som vi oftast kallas ett påstående, och kunna skilja en sådan från en ofullständig mening. Ex 1. A. Stockholm; B. Månen; C. 3 2;

2 D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Exemplen A-D är inga påståenden de är bara namn på olika företelser. Det händer ingenting i dem. Exemplen E-H är däremot påståenden. De båda första är meningar, vilkas innebörd är begriplig, och som påstår något om något. (En annan sak är att det som t ex F påstår av de flesta människor uppfattas som osant eller falskt. Detta påverkar inte deras logiska status av att vara påståenden.) Exempel G säger att produkten av de båda heltalen 2 och 3 är heltalet 6, något som vi brukar anse vara sant. Exempel H, slutligen, påstår att summan av kvadraterna på två tal x och y är lika med kvadraten på ett tredje tal r. Huruvida detta är sant beror på vilka värden talen x, y och r har. Operationer på påståenden. Givet två påståenden P och Q skall vi också betrakta deras

3 konjunktion P Q och deras disjunktion P Q. P Q betecknar påståendet P och Q. Ex 2. (a) Låt A vara påståendet år 2000 är ett skottår och B påståendet 2+2=4. Då är A B påståendet år 2000 är ett skottår och 2+2=4. Eftersom både A och B är sanna, är även A B ett sant påstående. (b) Låt A vara som i (a) och låt C vara påståendet 2+2=5. Då blir A C ett falskt påstående, eftersom C är falskt. Det räcker med att den ena av de två kontrahenterna i konjuktionen är falsk, så blir konjuktionen själv falsk. (c) Låt P och Q vara påståendena x > 0 resp. x < 2. Då blir P Q påståendet x > 0 och x < 2, vilken vanligen brukar skrivas 0 < x < 2. Ordet eller används i vardagsspråket på flera olika sätt. I logiken måste man välja en bestämd betydelse hos ordet eller. Man har fastnat för det här alternativet: A eller B ska betyda A eller B eller båda. Annorlunda

4 utrycket minst en av A och B. Man skriver A B och kallar den sammansatta påståendet för disjunktionen av A och B. Påståendet A B är således sant om minst ett av A och B är sant, falskt om både A och B är falska. Ex 3. (a) om A är år 2000 är ett skottår och B är = 5, så är A B ett sant påstående. Allmännare, om C är ett helt godtyckligt påstående, så är A C sant: det räcker med att A är det! (b) Om A är x > 0 och B är x < 2, blir A B påståendet x > 0 eller x < 2 (vilket ju är sant för alla x). Negation och motsats; kvantifikatorer. Att formulera motsatsen till ett påstående, att negera ett påstående, är något som man ofta behöver göra. Till ett påstående A skall man tillverka ett påstående icke-a, som skall vara sant om A är falskt, falskt om A är sant. Detta betecknas A (det är inte fallet att A). Ex 4. (a) om A är påståendet x = 2, blir A påståendet x 2.

5 (b) (x > 2) är det samma som x 2. (c) Om B är påståendet alla fåglar kan flyga. Vad är B? Det är kanske frestande att anse att motsatsen till B är C: inga fåglar kan flyga ; men detta är inte vad man menar med motsats i logiken. Det sökta påståendet är Det finns (minst) en fågel, som inte kan flyga. (d) D är påståendet Vissa studenter läser fysik. detta kan även uttryckas Det finns studenter som läser fysik. Motsatsen D innebär att det inte finns några studenter som läser fysik, dvs. Inga studenter läser fysik eller för alla studenter gäller att de inte läser fysik. De båda sista exemplen handlar om påståenden av en mer komplicerad struktur än de flesta exempel vi stött på tidigare. De båda typerna av påståenden är mycket vanliga i matematiska sammanhang. Vi inför två stenografiska symboler för att skriva dem, det s k kvantifikatorerna): betyder för alla för varje

6 betyder det existerar (finns) minst ett. Användning illustreras av följande exempel: Ex 5. (a) x : (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4. (b) x : x 2 + 2x = 3. Implikation och ekvivalens. En vanlig form av påstående har strukturen om A, så B. Ex 6. (a) Om det regnar, så tar jag paraplyet. (b) Om x < 0, så gäller x 2 > 0. (c) Om månen är en gul ost, så är = 5. Vi använder skrivsätt A B och kallar en sådant påstående för en implikation. Pilen kan även utläsas medför eller implicerar. Några andra omformuleringar av A B är (1) A är (ett) tillräckligt (villkor) för B, (2) B är (ett) nödvändigt (villkor) för A, (3) A gäller endast om B gäller. Påståendet A B kan formuleras om på flera olika sätt, så att man får andra påståenden med samma innebörd t ex ( B) ( A)

7 En annan vanlig typ av påstående är ekvivalensen A B, som är en förkortning av (A B) (B A) Det utläses vanligen A (är) ekvivalent med B eller A om och endast om B. Ex 7. (a) x 2 < 9 3 < x < 3. (b) x 2 +y 2 = 0 x = y = 0, om x, y är reella. Matematiska resonemang, bevis För att visa ett visst påstående P kan man antingen göra det direkt eller resonera så här. Antingen är P sant eller dess motsats P. Kan vi visa att P leder till en uppenbar omöjlighet, så har vi eliminerat möjligheten att P är sant, och kan dra slutsatsen att P måste vara sant. Ett sådant resonemang kallas för motsägelsebevis. Ex 8. 2 är irrationellt. Ex 9. Det finns oändligt många primtal. Ex 10. x är ett heltal och x 2 är jämnt x jämnt tal.