Bakgrund. Bakgrund. Bakgrund. Håkan Jonsson Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige
|
|
- Marie Linnéa Arvidsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Är varje påstående som kan formuleras matematiskt*) alltid antingen sant eller falskt? *) Inom Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige Exempel: 12 = 13 nej, falskt n! > 2n sant om n > 1, dvs falskt om n < 2 f (x) > 0 Beror på vad f och x är. Hilbert är övertygad om att det är så Olika sorters matematik utgår från olika uppsättningar axiom 1931: Kurt Gödel visar att: Nej, nej, det är inte så! Det går att konstruera självrefererande matematiska påståenden av typen Detta påstående är falskt. som varken är sanna eller falska 1 Ett påstående är en satstyp med vilkens hjälp satsens användare hävdar att ett givet sakförhållande råder eller inte råder Påståenden är satser som antingen är sanna eller falska 2 30-talet: Alan Turing (och Alonso Church): Aristoteles ( f. kr) För stegvisa beräkningar utförda av en maskin kan man inte alltid säga om de terminerar eller ej Alan Turing ( ) Turing ger också ett exempel uttryckt med en teoretisk dator (sedemera kallad en Turingmaskin): Eller samtidigt både sant och falskt(!) 1936: Turing bevisar, inspirerad av Kurt Gödel, att: I en by bor en (manlig) barberare som rakar alla män i byn som inte rakar sig själva (och inga andra). Påstående: Barberaren rakar sig själv Detta påstående är varken sant eller falskt(!) I skenet från Gödels upptäckt av motsvarande matematiska paradoxer skulle alltså även dessa kunna betraktas som meningslösa (om man vill) Kurt Gödel ( ) och hans kollega Albert Einstein ( ) Introducerar beräkningar som stegvisa procedurer Istället för sant eller falskt för ett påstående så introducerar de terminerar eller terminerar inte för en beräkning Klassisk logik t ex Det regnar nu och klockan är 12 Russels paradox (populärversionen): David Hilbert ( ) ramen för en viss sorts matematik (det finns olika ) Sant för alla x > 0 om f(x) = x2 + 1 Falskt för några x (t ex x = 0) om f(x) = sin x En sats som inte kan avgöras räknas inte som ett påstående utan en meningslös sats - en paradox 1920: Matematikern David Hilbert frågar: Bertrand Russell ( ) En av grundstenarna för datavetenskapen 3 4
2 Givet ett datorprogram P och ett indata D, kommer P att terminera eller ej om det får D som indata? Rent praktiskt får P vara en procedur/metod/funktion Vi skriver P(D) då P körs med D som indata Eventuell I/O tar ändlig tid Kan man skriva ett program som löser för alla P och D? Programmet får vara skrivet i vilket språk som helst python, Java, C Både P och D är strängar, dvs programkod och text Heltal, double, arrayer, listor kan ju beskrivas med strängar 5 Bevisteknik: Motsägelsebevis Vi ska nu argumentera för att inte går att lösa som man gör i ett motsägelsebevis I såna antar man först motsatsen till det man vill bevisa och visar sedan [genom logiska resonemang] att detta leder till motsägelser, ja rena absurda situationer Konfronterad med absurditeterna drar man slutsatsen att orsaken måste vara ett felaktigt antagande, dvs att motsatsen till det man antog måste gälla Precis det man ville bevisa! J Det kanske mest kända motsägelsebeviset är det som säger att kvadratroten ur 2 är ett irrationellt tal 6 Antagande Viktigt för beviset Annars är både a och b jämna och har 2 som gemensam faktor Matematiskt är: jämnt * jämnt = jämnt udda * udda = udda Motsägelse! Vi antar därför nu att datorprogrammet som löser finns! Vi kallar det terminerar och anropar det med terminerar(p, D) terminerar(p, D) returnerar true om (och endast om) P terminerar om det får D som indata och false annars OBS! Vi har inga begränsningar på vad terminerar får göra Det får t ex undersöka kodraderna i P, kompilera delar av dem och köra dem mm Det får t o m använda andra program som hjälp, vilka som helst, t ex för att undersöka D Det får också fråga mänskliga experter (skicka SMS, tolka svaren) Dessutom kan vi vänta länge bara vi tillslut får ett riktigt svar Dock såklart ej oändligt länge J Slutsats 7 (Allt detta är något förenklat uttryckt med huvudsakligen korrekt) 8
3 Exempel Programmet vp 1) Ett program som terminerar: program hasnonzerolength(e) if ( E 0) then { return true else { return false Ger alltid ett svar som anger om argumentet E, längden på E, är mer än noll eller ej 2) Ett program som inte terminerar: program stop(e) Går alltid in i evig loop utan att bry sig om E, och då kan det ju inte avsluta! 3) Ett program som inte säkert terminerar: program test(e) if ( E ==0) then { else { Hm, eventuell terminering beror på uttrycket E, längden av strängen E: Är längden noll går programmet in i evig loop, och avslutar alltså inte Annars når det else-delen och avslutar därefter Låt oss återvända till och använda terminerar i ett eget program som vi kallar vp, vårt program : else { terminerar (i if-satsens villkor) ska alltså avgöra om ett program X terminerar om det får sin egen källkod X som indata Vårt program vp kan verka konstigt (för vad gör det?!) men är ändå ett exempel på ett riktigt program 9 10 Hur fungerar vp? vp(hasnonzerolength) terminerar inte, för hasnonzerolength terminerar alltid även när det får sin egen kod sin indata vp(stop) terminerar, för stop terminerar aldrig även när det får sin egen kod som indata vp(test) terminerar inte, för test terminerar när det får sin egen kod som indata test terminerar ju om argumentet har längd > 0, och koden i test är ju ganska lång else { program hasnonzerolength(e) if ( E 0) then { return true else { return false program stop(e) program test(e) if ( E ==0) then { else { Hur fungerar vp? Vad händer nu om vi startar vp med X=vp som indata: vp(vp) else {?! Vårt program vp får som indata sin egen kod Kommer vp(vp) då att terminera eller ej..? Låt oss gå igenom vad som kan hända! 11 12
4 Vårt kära program: else { Analys av vp(vp) Eftersom X=vp beror vp:s beteende på vad terminerar(vp,vp) returnerar 1) Antag att true returneras dvs vp(vp) förutsägs terminera... men då är villkoret i if-satsen true dvs vp(vp) skulle gå in i evig loop och inte terminera! 2) Antag istället att false returneras dvs vp(vp) förutsägs inte terminera men då är villkoret i if-satsen false dvs vp(vp) når else-delen varpå det terminerar! Inget stämmer! Vad har hänt?! 13 Vårt kära program: else { Slutsats Programmet vp existerar (se till vänster) och av dess delar är allt känt utom terminerar... Vi har bara antagit att terminerar finns, inte t ex visat hur det är programmerat Eftersom vi når logiska motsägelser (absurditeter!) måste vi ha utgått från nåt som inte var sant och som lett oss till dessa tokigheter Enda slutsaten är, möjligen något förvånande, att terminerar inte finns dvs inte går att programmera! Det var detta Alan Turing kom på Diskussion Det finns alltså datorprogram vars funktion man kan tänka sig (fantisera om) men aldrig programmera OBS! Programmet terminerar existerar inte/kan inte programmeras för att klara av alla indata P och D MEN kan existera för vissa begränsade specialfall av indata Man har nu kommit på många fler program som inte existerar annat än i begränsade specialfall t ex: Kodoptimering t ex att automatiskt minimera programs storlek och få bort död kod Verifiera att program överensstämmer med sin specifikation m fl Finns även andra typer av problem som är lika omöjliga Såna kallas oavgörbara problem 15 Diskussion The Tiling Problem: Ungefär: Givet några (t ex 3) slags kakelplattor (t ex kvadratiska), obegränsat (oändligt) antal av varje, duger (de 3) sorterna till för att kakla varje tänkbar rektangel (med kvadratiska rutor stora som kakelplattorna) så att plattornas mönster passar ihop längs kanterna överallt? Även The Mortal Matrices Problem: Givet en mängd n x n matriser med heltal, kan sådana (flera av varje tillåts) multipliceras ihop på något sätt så att resultatet blir nollmatrisen? Oavgörbart för 7 eller fler 3 3 matriser eller två matriser a) b)? Nej! Inte ens 3x3 går? Ja! Periodisk c) Generellt? Oavgörbart. Finns t o m bitar som ger oändliga ickerepeterande mönster (Wang tiles) och även andra än kvadrater (Penrose Tilings) 16 Bildkälla:
5 Sir Roger Penrose (1931-) Drake och pil : 17 Källa: Penrose Tilings (finns flera olika)
Föreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merTuringmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står skrivna: Oändligt
Läs merFöreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merObjektorienterad modellering och diskreta strukturer. 13. Problem. Sven Gestegård Robertz. Datavetenskap, LTH
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 13. Problem Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik och härledning predikatlogik och substitution mängder
Läs merCOMPUTABILITY BERÄKNINGSBARHET. Källa: Goldschlager, Lister: Computer Science A Modern Introduction 2. upplaga 1988, Prentice Hall
COMPUTABILITY BERÄKNINGSBARHET Källa: Goldschlager, Lister: Computer Science A Modern Introduction 2. upplaga 1988, Prentice Hall Den centrala frågan: givet ett problem, kan det ha en algoritmisk lösning?
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merLogik och kontrollstrukturer
Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch
Läs merOm a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1
1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +
Läs merBeräkningsvetenskap föreläsning 2
Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa
Läs merProgrammering i C++ En manual för kursen Datavetenskaplig introduktionskurs 5p
Programmering i C++ En manual för kursen Datavetenskaplig introduktionskurs 5p Skriven av Michael Andersson Introduktion Programmering I högnivåspråk fokuserar på själv problemet (algoritmen) istället
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merIntroduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merJavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm
JavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm Under förra uppgiften så kollade vi på hur användaren kan ge oss information via promt(), vi använde den informationen både för att skriva ut den och för att
Läs merIntroduktion till programmering SMD180. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner
Introduktion till programmering Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner med
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm. Carina Edlund
DD1361 Programmeringsparadigm Carina Edlund carina@nada.kth.se Funktionell programmering Grundidéen med funktionell programmering är att härma matematiken och dess funktionsbegrepp. Matematiskt funktionsbegrepp
Läs merDatorprogram, algoritmer och Turing-maskiner
Datorprogram, algoritmer och Turing-maskiner Uppsala universitet Turing-året 2012 Inledning Det är bekvämt om en maskin, till exempel en dator, kan utföra en uppgift, särskilt om den kan göra det avsevärt
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 12 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 december 2015 Anton Grensjö ADK Övning 12 10 december 2015 1 / 19 Idag Idag Komplexitetsklasser Blandade uppgifter
Läs merLogik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra
Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra
Läs merTal till Solomon Feferman
Ur: Filosofisk tidskrift, 2004, nr 1. Dag Westerståhl Tal till Solomon Feferman (Nedanstående text utgör det tal som Dag Westerståhl höll på Musikaliska Akademien i oktober 2003, i samband med att Feferman
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter
Läs merMultipel tilldelning. Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 6: Iteration. while-satsen. Kom ihåg. Snurror kontra rekursion
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 6: Iteration Multipel tilldelning Helt ok att tilldela en variabel flera gånger: bruce = bruce, bruce = 7 bruce Output: 7 Som tillståndsdiagram: bruce
Läs merFöreläsning 3-4 Innehåll. Diskutera. Metod. Programexempel med metod
Föreläsning 3-4 Innehåll Diskutera Vad gör programmet programmet? Föreslå vilka satser vi kan bryta ut till en egen metod. Skriva egna metoder Logiska uttryck Algoritm för att beräkna min och max Vektorer
Läs merFormell Verifiering. Hur vet man att ett system fungerar korrekt? Lisa Kaati
Formell Verifiering Hur vet man att ett system fungerar korrekt? Lisa Kaati Innehåll Motivering Formell verifiering Modellkontroll (model checking) Verifiering av kod Forskning Dator system finns överallt
Läs merKlassdeklaration. Metoddeklaration. Parameteröverföring
Syntax: Class Declaration Modifier Class Body Basic Class Member Klassdeklaration class Class Member Field Declaration Constructor Declaration Method Declaration Identifier Class Associations Motsvarar
Läs merObjektorienterad programmering i Java I. Uppgifter: 2 Beräknad tid: 5-8 timmar (OBS! Endast ett labbtillfälle) Att läsa: kapitel 5 6
Laboration 2 Objektorienterad programmering i Java I Uppgifter: 2 Beräknad tid: 5-8 timmar (OBS! Endast ett labbtillfälle) Att läsa: kapitel 5 6 Syfte: Att kunna använda sig av olika villkors- och kontrollflödeskonstruktioner
Läs merFöreläsning 3-4 Innehåll
Föreläsning 3-4 Innehåll Skriva egna metoder Logiska uttryck Algoritm för att beräkna min och max Vektorer Datavetenskap (LTH) Föreläsning 3-4 HT 2017 1 / 36 Diskutera Vad gör programmet programmet? Föreslå
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merLogik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
Läs merLaboration: Whitebox- och blackboxtesting
Tilda11 höstterminen 2011 Laboration: Whitebox- och blackboxtesting Mål med laborationen Du ska lära dig begreppen white-box testing och black-box testing Du ska öva dig på att konstruera testfall Du ska
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merProgrammering, grundkurs, 8.0 hp HI1024, HI1900 etc., Tentamen TEN1. Måndagen den 10 januari 2011,
Programmering, grundkurs, 8.0 hp HI1024, HI1900 etc., Tentamen TEN1 Måndagen den 10 januari 2011, 8.15 12.15 Tentamen består av två delar, del A och del B. Del A innehåller 10 kryssfrågor på olika teman
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merIntroduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning
Introduktion till formella metoder Programmeringsmetodik 1. Inledning Fokus på imperativa program (ex. C, Java) program betyder härefter ett imperativt program Program bestäms i en abstrakt mening av hur
Läs mer2D1342 Programkonstruktion för F1, ht 2006
2D1342 Programkonstruktion för F1, ht 2006 Lappskrivning 1 Tisdag 7/11 2006 kl 11.15 12.00 Endast ett svar är rätt på varje fråga! Om mer än ett svar givits blir det noll poäng på frågan. Alla skriftliga
Läs mer729G04 Programmering och diskret matematik. Python 2: Villkorssatser, sanningsvärden och logiska operatorer
729G04 Programmering och diskret matematik Python 2: Villkorssatser, sanningsvärden och logiska operatorer Föreläsningsöversikt Vad händer när vi kör vår pythonkod? Programmerare Villkorssatser Jämförelser
Läs merProgrammeringsteknik I
Programmeringsteknik I Föreläsning 2: Grundläggande Java Johan Öfverstedt Java Grundläggande begrepp Datatyper Selektion if Räckvidd (scope) Iteration while Klasser Objekt Metoder Metodhuvudet Kodstandarden
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 8 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 november 2015 Anton Grensjö ADK Övning 8 10 november 2015 1 / 34 Översikt Kursplanering F21: Introduktion till komplexitet
Läs merAnmälningskod: Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer (gäller B-delen) och din kod överst i högra hörnet på alla papper
Tentamen Programmeringsteknik I 2016-03-17 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följande Skriv läsligt. Använd inte rödpenna. Skriv bara på framsidan av varje papper. Lägg uppgifterna i ordning. Skriv uppgiftsnummer
Läs merOändliga tal och mängder.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Oändliga tal och mängder. Kapitlets syfte Oändliga tal går hand i hand med oändliga
Läs merProgrammera i C Varför programmera i C när det finns språk som Simula och Pascal??
Programmera i C Varför programmera i C när det finns språk som Simula och Pascal?? C är ett språk på relativt låg nivå vilket gör det möjligt att konstruera effektiva kompilatorer, samt att komma nära
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs merAnvändarhandledning Version 1.2
Användarhandledning Version 1.2 Innehåll Bakgrund... 2 Börja programmera i Xtat... 3 Allmänna tips... 3 Grunderna... 3 Kommentarer i språket... 4 Variabler... 4 Matematik... 5 Arrayer... 5 på skärmen...
Läs merImperativ programmering
Imperativ programmering 1DL126 3p Imperativ programmering Jesper Wilhelmsson ICQ: 20328079 Yahoo: amigajoppe MSN / epost: jesperw@it.uu.se Rum: 1335 Tel: 471 1046 Imperativ programmering Vilka programmeringsspråk
Läs merPROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (070-6527523) PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p 19 mars 2004 SKRIVTID: 15-20. POÄNGGRÄNSER: 18-27 G, 28-40 VG. MOTIVERA ALLA
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merFormell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
Läs merITK:P1 Föreläsning 1. Programmering. Programmeringsspråket Java. Stark typning Explicit typning Strukturerat Hög säkerhet
ITK:P1 Föreläsning 1 Att programmera i språket Java DSV Peter Mozelius Programmering Olika typer av programmering som t ex: o Imperativ programmering (C, Pascal m fl) o Funktionell programmering (Lisp,
Läs merÖversikt. Stegvis förfining. Stegvis förfining. Dekomposition. Algoritmer. Metod för att skapa ett program från ett analyserat problem
Översikt Stegvis förfining Pseudokod Flödesdiagram Dekomposition KISS-regeln Procedurell dekomposition DRY-regeln Algoritmer Sortering och sökning Stegvis förfining Metod för att skapa ett program från
Läs merUppgift: Algoritm för att beräkna kontrollsiffran i ett personnummer givet de 9 första siffrorna. Torrsimning av algoritm för personnummer
F6 Observera att när man utvecklar program så är inte alla lösningar på vägen korrekta. Speciellt den här gången så finns många OH med program som inte fungerar eftersom det är just det vi skall se på
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merkl Tentaupplägg
Tentaupplägg TIPS 1: Läs igenom ALLA uppgifterna. Välj den du känner är lättast först. Det kan gärna ta 10-20 minuter. Försök skriva saker som kan vara problem i uppgifterna. Är det något du absolut kommer
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1
Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens
Läs merDiskret matematik, lektion 2
Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A
Läs merProgramdesign. minnesutrymme storlek på indata. DA2001 (Föreläsning 15) Datalogi 1 Hösten / 20
Programdesign Välj datastruktur så programmet blir så enkelt som möjligt. Välj algoritm så programmet blir lättläst, robust och effektivt. Analysera programmet för att få en bra metod. Överväganden vid
Läs merFöreläsning 2 Programmeringsteknik och C DD1316. Mikael Djurfeldt
Föreläsning 2 Programmeringsteknik och C DD1316 Mikael Djurfeldt Föreläsning 2 Programmeringsteknik och C Python introduktion Utskrift Inläsning Variabler Datatyp Aritmetiska operatorer Omvandling
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs merTema Oändligheten Oändligheten - 1
Tema Oändligheten Människan har alltid funderat över oändligheten. Vem har inte tänkt att om universum inte var oändligt så måste det ha en gräns och vad skulle i så fall finnas på andra sidan. Ett motargument
Läs merHur man skriver matematik
Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2018-10-01 N. Chr. Overgaard Skriva matematik 2018-10-01 1 / 12 Information: Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 november 2017 1 Idag En konstruktionsreduktion Fler bevis av NP-fullständighet 2 Teori Repetition Ett problem tillhör
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?
DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 208-0-2 kl. 4:00 8:00. Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Alternativ (induktionsbevis): Vi inför predikatet P (n) : 2 + 2 3 + + n(n
Läs merObjektorienterad programmering i Java Undantag Sven-Olof Nyström Uppsala Universitet Skansholm: Kapitel 11
Objektorienterad programmering i Java Undantag Sven-Olof Nyström Uppsala Universitet Skansholm: Kapitel 11 Undantag Engelska: exceptions Skansholm: exceptionella händelser Fel som genereras om man försöker
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs merFöreläsning 2. Variabler, tilldelning och kodblock{} if-satsen Logiska operatorer Andra operatorer Att programmera
Föreläsning 2 Variabler, tilldelning och kodblock if-satsen Logiska operatorer Andra operatorer Att programmera Variabler Det är i variabler som all data (information) lagras. Genom att ändra värde på
Läs merIdag. Exempel, version 2. Exempel, version 3. Ett lite större exempel
Idag Ett exempel Undantag Substitutierbarhet, subtyper, subklasser När val av metod beror av typerna hos två objekt Lite om överlagring Exempel, version 2 Notera: för samtliga figurer gäller: arean av
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merFöreläsning 9: Talteori
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2007-11-13 Skribent(er): Niklas Lindbom och Daniel Walldin Föreläsare: Per Austrin Den här föreläsningen behandlar modulär
Läs merData, typ, selektion, iteration
Data, typ, selektion, iteration En programmeringkurs på halvfart IDT, MDH ttp://www.negative-g.com/nolimits/no%20limits%20defunct%20coasters.htm 1 Dagens agenda Talrepresentation Typkonvertering Sekvens
Läs merFöreläsning 3: Booleans, if, switch
TDA 545: Objektorienterad programmering Föreläsning 3: Booleans, if, switch Magnus Myréen Chalmers, läsperiod 1, 2015-2016 Påminnelse om klasser och objekt Boll boll1 = new Boll(5,12); skapar ett nytt
Läs merNågra inbyggda funktioner (med resultat!) Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 4: Villkor och rekursion. Modulus-operatorn.
Några inbyggda funktioner (med resultat!) Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 4: Villkor och rekursion Konverterar mellan de grundläggande typerna: >>> int("") >>> int(.999) >>> float().0
Läs merTentamen i Programmering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA 1(5) Institutionen för datavetenskap Tentamen i Programmering EDAA65/EDA501/EDAA20 M MD W BK L 2018 05 30, 8.00 13.00 Preliminärt ger uppgifterna 7 + 14 + 6 + 9 + 4 = 40 poäng.
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merKänguru 2013 Student sida 1 / 7 (gymnasiet åk 2 och 3)
Känguru 2013 Student sida 1 / 7 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.
Läs merBankkonto - övning. Övning 2 Skriv en metod, geträntan, som returnerar räntan.
Bankkonto - övning Övningar att göra efter lärardemostration. Filen bankkonto.zip innehåller ett projekt med klassen Bankkonto. Zippa upp denna fil och öppna projektet i BlueJ och skriv vidare på klassen
Läs merTDIU01 - Programmering i C++, grundkurs
TDIU01 - Programmering i C++, grundkurs Grundläggande satser och uttryck Eric Elfving Institutionen för datavetenskap 5 augusti 2014 Översikt Uttryck Litteraler Operatorer Satser Villkor Upprepning Teckenhantering
Läs merProgramdesign. Dokumentera. Dokumentera
Programdesign Dokumentera Välj datastruktur så programmet blir så enkelt som möjligt. Välj algoritm så programmet blir lättläst, robust och effektivt. Analysera programmet för att få en bra metod. Överväganden
Läs merFormell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall
Formell logik Föreläsning 1 Robin Stenwall Betygskriterier Mål Godkänt Väl godkänt Redogöra för grundprinciperna för härledning och översättning i sats- och predikatlogik. Utföra grundläggande översättningar
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merDigitalt lärande och programmering i klassrummet
Digitalt lärande och programmering i klassrummet Innehåll Programmering Vad är programmering och varför behövs det? Argument för (och emot) programmering Kort introduktion om programmering Några grundbegrepp
Läs merAlla datorprogram har en sak gemensam; alla processerar indata för att producera något slags resultat, utdata.
Att förstå variabler Alla datorprogram har en sak gemensam; alla processerar indata för att producera något slags resultat, utdata. Vad är en variabel? En variabel är en plats att lagra information. Precis
Läs merFöreläsning 5: Kardinalitet. Funktioners tillväxt
Föreläsning 5: Kardinalitet. Funktioners tillväxt A = B om det finns en bijektion från A till B. Om A har samma kardinalitet som en delmängd av naturliga talen, N, så är A uppräknelig. Om A = N så är A
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation
Läs merProgramkonstruktion och datastrukturer. Formell verifiering eller hur man bevisar att program gör rätt utan att testa dem
Programkonstruktion och datastrukturer Formell verifiering eller hur man bevisar att program gör rätt utan att testa dem PKD 2012/13 Formell verifiering Sida 1 Uppdaterad 2008-11-28 Formell verifiering:
Läs merProgrammering I Tobias Wrigstad fredag, 2009 augusti 28
Programmering I Tobias Wrigstad tobias@dsv.su.se Vad är programmering? Lågnivåspråk och högnivåspråk Kompilering och interpretering Variabler Notation för flödesschema (flow chart) Kontrollstrukturer (conditionals,
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merVisual Basic, en snabbgenomgång
Visual Basic, en snabbgenomgång Variabler och Datatyper En variabel är som en behållare. Olika behållare passar bra till olika saker. I Visual Basic(härefter VB) finns olika typer av behållare för olika
Läs merTENTAMEN TDDB53. Programmering i Ada för MI (provkod TEN2) den 7 april 2010 kl Institutionen för datavetenskap, IDA Olle Willén mars 2010
Linköpings universitet Institutionen för datavetenskap, IDA Olle Willén mars 2010 Tentamen TDDB53 TENTAMEN TDDB53 (provkod TEN2) den 7 april 2010 kl 8 12 Jour: Emil Nielsen, tel 070 499 89 88 Hjälpmedel:
Läs mer