inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men"

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder, allra först följden (a n ) 0 =, 2, 4,... där a n ges av den explicita formeln a n = 2 n. Vi skulle ha kunnat börja indiceringen med istället för 0 och skrivit (a n ), d.v.s. a, a 2, a,.... Den explicita formlen för a n blir då en annnan. Tänk själv efter hur formeln ser ut. Om man kallar första talet för a 0 eller a eller kanske något tredje, är alltså av betydelse. Betrakta nu följden (a n ) 0 =,,,,,.... Eftersom mönstret är så uppenbart kan vi utan risk för missförstånd skriva.... Det är den enda naturliga tolkningen som gäller. Men observera att t.ex.,,,,, 2,, 4, 5,... också är en talföljd. En talföljd behöver inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men finns det någon explicit formel för a n i följden (a n ) 0 =,,,,,...? Visst, det är helt OK att skriva { an = då n är jämnt a n = då n är udda () Det bestämmer talföljden fullständigt och ingen tvekan råder längre. Men om nu detta skall kallas en explicit formel är en smaksak. Kanske skulle vi kalla det för två formler, en som gäller för jämna värden på n och en som gäller för udda värden på n. Men det finns ett alternativ: a n = ( ) n (2) som du själv noga kontrollerar. Uttrycket ( ) n har man ofta nytta av. Betrakta t.ex. följden (b n ) 0 = 2, 0, 2, 0, 2,.... Kan du finna en explicit formel för denna? Jämför b n med a n. Skillnaden är uppenbar: b n a n = för alla n. Alltså b n = + ( ) n. I resten av detta avsnitt skall vi arbeta med talföljden (c n ) 0 =, 5, 7,.... Men här finns nog ingen naturligaste tolkning. Flera möjligheter är lika naturliga:, 5, 7,, 5, 7,, 5, 7,... eller, 5, 7, 7, 5,,, 5, 7,.... En precisering behövs. I själva verket fortsätter den talföljd, jag tänker på, på följande sätt (c n ) 0 =, 5, 7, 7,,... () men helt klart hur jag tänker mig fortsättningen är det inte. Jag måste precisera mig ytterligare: Min följd följer principen att varje tal är summan av närmast föregående tal och 2 gånger näst närmast föregående tal. Är det klart vad jag menar? Kanske några exempel behövs: 7 = 5 + 2, 7 = och = Nästa tal i följden är

2 c 5 = = 65. Det är lite tungt att uttrycka principen i ord. Men i symboler går det lätt: c n+2 = c n+ + 2c n gäller för alla n 0 (4) Varje tal symboliseras här av c n+2, närmast föregående tal symboliseras av c n+ och näst närmast föregående tal symboliseras av c n. Formeln (4) är ett exempel på en så kallad rekursionsformel. Det finns oändligt många talföljder som uppfyller rekursionsformeln (4), t.ex. 2,, 7,,... eller, 4, 6, 4, 26,.... Men det finns bara en talföljd som uppfyller (4) och börjar med c 0 =, c = 5. För att talföljden skall vara entydigt bestämd måste vi både ange rekursionformel och startvärden. Så här c 0 =, c = 5, och c n+2 = c n+ + 2c n för n 0 (5) Kan du beräkna c 00? Visst. Det är bara att successivt beräkna c 6, c 7, c 8,..., c 00. Men nog vore det bekvämt med en explicit formel för c n. Kanske kan man gissa sig till en formel; ett explicit uttryck som till att börja med är hypotetiskt. Jämför vi med följden, 2, 4, 8, 6, 2,... av 2-potenser, ser vi ett mönster: c n är omväxlande ett större och ett mindre än en 2-potens, åtminstone så här långt. Vi har c 0 = 2, c = 2 2 +, c 2 = 2. En inte helt orimlig hypotes är att detta gäller generellt. Det kan vi uttrycka på följande sätt: c n = { 2 n+ + om n udda 2 n+ om n jämnt eller enklare c n = 2 n+ + ( ) n+ (6) Tänk igenom detta noga. Detta är än så länge bara en hypotes. Låt oss försöka bevisa hypotesen med induktion och kalla högerledet för h n. Vi har alltså h n = 2 n+ + ( ) n+ och skall visa att c n = h n för n = 0,, 2,.... Induktionsbevis utgörs av induktionsbas och induktionssteg. Vi har c 0 = och h 0 = 2 + ( ) =. Som vi redan konstaterat tidigare är alltså c 0 = h 0. Låt oss tills vidare kalla detta för induktionsbasen. Induktionssteget uttryckte vi förra gången lite informellt på följande sätt. Visa att om k är ett lyckligt tal så är också k + ett lyckligt tal. Att k är lyckligt betyder i detta fall att c k = h k, d.v.s. att c k = 2 k+ + ( ) k+ och att k + är lyckligt betyder att c k+ = h k+, d.v.s. att c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2. Finns det något samband mellan c k och c k+ som gör att lyckan hos k sprider sig och gör k + lyckligt? Vi har ett samband, nämligen formel (5), som uttrycker det enda vi säkert vet om talföljden. Med n = k kan vi skriva rekursionsformeln som c k+2 = c k+ + 2c k. Men denna rekursionsformel innehåller tre tal i följd och hjälper oss inte att uttala oss om ett tal bara genom att känna närmast föregående. Vi måste känna de två föregående talen. Vi försöker oss istället på följande variant av induktionssteg. 2

3 Visa att om k och k + är lyckliga så är k + 2 lyckligt (7) Att k och k + är lyckliga betyder att c k = 2 k+ + ( ) k+ och c k+ = 2 k+2 + ( ) k+2 (8) Vi skall visa, med detta som utgångspunkt, att även k + 2 är lyckligt: c k+2 = 2 k+ + ( ) k+ (9) Vi använder förstås rekursionsformeln (5) och får c k+2 = c k+ + 2c k = [enligt (8)] 2 k+2 + ( ) k (2 k+ + ( ) k+ ) = 2 k k+ + ( ) k ( ) k+ = 2 k k+2 + ( )( ) k+ + 2 ( ) k+ = 2 2 k+2 + ( ) k+ ( + 2) = 2 k+ + ( ) k+ ty ( ) k+ = ( ) k+ och vi har visat (9). Induktionssteget, i vår alternativa form, är nu klart och vi vet att om två på varandra följande tal (k och k + ) är lyckliga så är även nästa tal (k + 2) lyckligt. Induktionssteget skall tillämpas på induktionsbasen. Men som induktionsbas nöjde vi oss ovan med c 0 = h 0, som visar att 0 är lyckligt. Men det räcker inte. För att induktionssteget skall kunna tillämpas behöver vi två lyckliga tal efter varandra. Lyckligtvis har vi redan tidigare konstaterat att c = h och ytterligare några likheter. Men att 0 och är lyckliga räcker. Induktionssteget, tillämpat med k = 0 visar då att även 2 är lyckligt. Att och 2 är lyckliga ger omedelbart att är lyckligt. Och så vidare. Lyckan sprider sig till alla naturliga tal. Därmed har vi visat allmänt att c n = 2 n+ + ( ) n+ för n = 0,, 2,.... Detta exempel visar att induktionssteget kan behöva varieras jämfört med våra exempel från Dag. Det viktiga är att induktionsbas och induktionssteg är anpassade till varandra. Induktionssteget måste ha möjlighet att så att säga gripa tag i induktionsbasen. 2. En abstrakt analys. I våra första induktionsbevis var induktionssteget av följande typ: vi visar att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. I exemplet i förra avsnittet behövde vi en variant av induktionssteg: vi visar att om k och k+ är lyckliga så är k+2 lyckligt. Induktionsbasen måste anpassas efter induktionssteget, så att induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen och föra oss framåt. Många varianter finns. T.ex. kan ett induktionssteg vara av följande typ: vi visar att om k, k + och k + 2 är lyckliga så är k + lyckligt. För att induktionssteget skall kunna

4 användas måste vi finna tre tal i följd som är lyckliga. Induktionsbasen måste omfatta tre på varandra följande tal. Ovanstående är en abstrakt beskrivning av vad vi har ägnat oss åt hittills, men jag har utelämnat en detalj. Att k är lyckligt har hela tiden i våra exempel inneburit att en likhet av typen v k = h k är uppfylld. Gemensamt för alla våra exempel har varit att vi bevisat en likhet. Men om vi igen läser igenom den abstrakta beskrivningen ovan av induktionsbevis, ser vi att resonemanget naturligtvis håller även om lyckan är av annat slag än just en likhet. Betrakta följande påstående (n ) 2 < n för n = 2,,... (0) där det utan missförstånd bör kunna underförstås vad prickarna står för. Med summasymbol kan vi skriva olikheten som n i 2 < n. Observera att vänsterledet saknar mening i= om n < 2. Att n är lyckligt innebär att n uppfyller olikheten i (0). Vi kan även här kalla vänster- och högerled för v n respektive h n. Vi får v 2 = 2 =, v = = 5 och h 2 = 8, h = 9, vilket visar att v 2 < h 2 och v < h. Talen 2 och är alltså lyckliga i den meningen att olikheten (0) gäller för dem. Induktionssteget bör se ut så här: vi visar att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Men först några allmänna allvarsord. Det är en konst, en nyttig övning och mycket viktigt att formulera sådana här resonemang så att de är läsbara och logiskt uppbyggda. Det vanligaste nybörjarfelet är att inte göra det tillräckligt tydligt om det sagda är något redan känt, något vi just visar eller fortfarande en fråga eller ett påstående. Man anger inte uttalandets status. Jämför följande: (i) v 8 = h 8 (ii) som vi just visat är v 8 = h 8 (iii) det följer nu att v 8 = h 8 (iv) är v 8 = h 8? (v) jag påstår att v 8 = h 8 (ii)-(v) är alla godtagbara formuleringar. Läsarna lämnas inte i tvivel om vilken status det sagda har. Däremot är (i) ensamt inte en acceptabel formulering. Den är alldeles för otydlig. Vi går tillbaka nu till vårt induktionsbevis av olikheten (0). Vi har redan visat att v 2 = h 2 och v = h. Med det induktionssteg vi satsar på räcker v 2 = h 2 som induktionsbas. Läs nu det följande resonemanget noga, speciellt kursiverade ord som vi kan se som statusmarkörer. 4

5 Låt oss nu äntligen ge oss i kast med induktionssteget att visa att om k 2 är lyckligt så är k + lyckligt. Låt alltså k vara ett lyckligt tal 2, d.v.s. antag k 2 och (k ) 2 < k () Vi skall visa att k + är lyckligt, d.v.s. att (k ) 2 + k 2 < (k + ) (2) Vi får (k ) 2 + k 2 < k + k2 direkt ur induktionsantagandet (). Om vi lyckas visa att k + k2 < (k + ) () så följer också (k ) 2 + k 2 < (k+) och då har vi visat (2). Olikheten () är ekvivalent med k + k2 < k +k 2 +k+, som vi får genom att utveckla högerledet. Det räcker alltså att visa denna olikhet. Jag påstår att den är sann. Lite förenklat påstår jag alltså att k + k2 < k + k2 + k +, eller efter ytterligare förenkling att 0 < k +. Så ser påståendet ut i sin mest förenklade form. Men k 2, så 0 < k + är uppenbart sant. Därmed är mitt påstående visat och eftersom det räckte för att visa (2) så är induktionssteget klart. Därmed är hela induktionsbeviset klart ty induktionssteget kan gripa tag i induktionsbasen. 2 är lyckligt, alltså är lyckligt, alltså är 4 lyckligt och så vidare.. Ännu ett exempel. Betrakta nu följande hypotes Det finns ett positivt heltal N sådant att n! > (n + )2 n gäller för alla n N (4) Som du väl minns står n!, som utläses n fakultet, för produkten av alla heltal från upp till n, m.a.o. n! = 2 (n ) n. Vi kan också definiera n! med en rekursionsformel:! = och (n + )! = (n + ) n! för n. Låt oss kalla vänster- och högerled för v n respektive h n som vanligt. Vi har då v =, v 2 = 2, v = 6, och h = 4, h 2 = 2 och h = 2. För n =, 2, gäller alltså inte olikheten i (4), men vi har anledning tro att olikheten så småningom gäller ty vänsterledet multipliceras med allt större tal när n växer medan högerledet inte ökar lika snabbt. Låt oss vänta ett tag med ytterligare experiment och istället försöka oss på ett induktionssteg: Visa att om k är ett lyckligt tal så är k + lyckligt. Antag alltså att k är lyckligt (hittills har vi inte träffat på något lyckligt tal). Vi antar alltså 5

6 k! > (k + )2 k (5) och vill visa (k + )! > (k + 2)2 k+ (6) Använder vi (5) så får vi (k + )! = (k + )k! > (k + )(k + )2 k = (k + ) 2 2 k. Om vi lyckas visa att (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+, så är vi klara ty då följer (k + )! > (k + 2)2 k+. Men observera att det skulle kunna tänkas att (k + )! > (k + 2)2 k+ även om (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ inte gäller. Hur som helst låt oss satsa på att visa (k + ) 2 2 k > (k + 2)2 k+ (7) vilket är ekvivalent med (k + ) 2 > (k + 2) 2, som i sin tur kan skrivas k 2 + 2k + > 2k + 4 eller ännu enklare som k 2 >. Detta är givetvis sant om k 2. Induktionssteget fungerar alltså så snart k 2, men vi kan inte använda induktionssteget på k = 2 eftersom ju 2 inte är lyckligt. Formeln i (4) gäller ju inte för n = 2. Induktionsbasen måste vi alltså söka högre upp. Vi fortsätter och får v 4 = 24, h 4 = 80, v 5 = 20, h 5 = 92, v 6 = 720, h 6 = 448. Talet 6 är alltså det första lyckliga talet. Induktionssteget kan här gripa tag i 6 och vi sluter oss till att n! > (n + )2 n för n 6. Påståendet (4) är alltså sant, med N = Om världens bästa lärare. Det verkar kanske förmätet, men nu skall jag bevisa att jag är bäst i hela världen, eller med andra ord att så snart jag är med i en församling om säg n personer, så är jag den bäste. Om du betvivlar detta så uppmanas du att hitta felet i detta bevis. Vi börjar med induktionsbasen n =. Om jag är med i en församling av bara person, så är jag förstås bäst, så induktionsbasen innebär inga problem. Antag nu att påståendet är sant för n = k, d.v.s. att så snart jag är med i en församling av k personer så är jag bäst. Vi skall visa att detsamma gäller om jag är med i en församling av k + personer. Så låt p, p 2, p,..., p k, p k+ vara k + personer, där jag är p. Om vi utesluter p 2 så har vi k personer, nämligen p, p, p 4,..., p k, p k+. Enligt induktionsantagandet är jag bäst av dessa. Jag är alltså bättre än p, p 4,..., p k, p k+. Men är jag bättre än p 2? Visst, om vi istället utesluter p har vi k personer, nämligen p, p 2, p 4, p 5,... p k, p k+, där jag är den bäste. Jag är alltså också bättre än p 2. Kort sagt jag är bäst av p, p 2, p,..., p k, p k+, och därmed är induktionssteget också klart. Och vi drar slutsaten att jag alltid är bäst i alla församlingar. 5. Övningar. 6

7 Övning. Bestäm alla naturliga tal n som uppfyller olikheten n > 4n 2. Övning 2. Finn felet i Avsnitt 4. Övning. (dåligt induktionsbevis) Nu följer att induktionsbevis, som är uselt formulerat. Min allvarligaste invändning är att det inte finns någon text som talar om ifall en utsaga (t.ex. en likhet eller olikhet) är a) en förutsättning b) en slutsats eller c) ett ännu obevisat påstående. Med en del kompletteringar av text samt någon omstrukturering skulle beviset dock gå att rädda. I sin nuvarande form är det oläsligt. Det är din uppgift att rädda beviset. Du kan börja med att markera varje utsaga med a), b) eller c) enligt ovan. Problem. Bevisa olikheten Lösning n 2n n +, n Induktionsbas. n = 2 + = 4 = 2. Stämmer. Induktionssteg. Antag n = k k 2k k + Alltså n = k k 2(k + ) 2k 2(k + ) = k 2k + 2k 2k + 2 = (k + ) + 7 k + 4

8 2k + k + 2k + 2 k + 4 k + 4 (2k + ) k + (2k + 2) (k + 4)(4k 2 + 4k + ) (k + )(4k 2 + 8k + 4) 2k + 2k 2 + k + 6k 2 + 6k + 4 = 2k + 28k 2 + 9k + 4 2k + 24k 2 + 2k + 4k 2 + 8k + 4 = 2k + 28k k k Alltså n = k +. V.S.B. Övning 4. Granska ditt eget bevis i Övning, liksom dina bevis i övningarna till Dag, lika kritiskt och förbättra dem om så behövs. Övning 5. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a = och a n+2 = a n+ 2a n. Beräkna a 2, a, a 4 och a 5. Gissa en allmän formel för a n. Bevisa denna formel. Övning 6. En talföljd definieras rekursivt av a 0 = 2, a = 2 och a n+2 = 2a n+ + a n. Beräkna a 2, a och a 4. Bevisa sedan att a n = n + ( ) n för n = 0,, 2,.... Övning 7. Bevisa med induktion att n > + 2n n för n = 2,, 4,... Övning 8. En talföljd definieras rekursivt genom a 0 = 2, a n+ = 2 + a n. Bevisa att a n < 4 för n = 0,, 2,.... 4n 8

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel. Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken Explorativ övning LMA100 ht 2002 MATEMATIS INDUTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken ) Explorativ övning MA00 vt 00 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober

Läs mer

Hur man skriver matematik

Hur man skriver matematik Hur man skriver matematik Niels Chr. Overgaard 2015-09-28 1 / 8 Opposition och kompisgranskning En del av inlämningsuppgift går ut på att man granskar och opponerar på en annan kursdeltagares lösning.

Läs mer

Om plana och planära grafer

Om plana och planära grafer KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta 1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Kvalificeringstävling den 30 september 2014 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att... uppfattas av manga studenter Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det

Läs mer

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som 616 Talföljder på laborativt vis Vikt papper Vik ett A-4 ark mitt itu så att du får två stycken A-5 ark. Vik det en gång till på samma sätt. Hur stora och hur många är dina ark? Vad händer om du fortsätter?

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Föreläsning 6: Induktion

Föreläsning 6: Induktion Föreläsning 6: Induktion Induktion är en speciell inferensregel. En mängd är välordnad om varje delmängd har ett minsta element Exempel: N är välordnad (under ) Låt P(x) vara ett predikat över en välordnad

Läs mer

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Rekursion och induktion

Rekursion och induktion Rekursion och induktion Vi börjar med ett exempel. EXEMPEL 1 I slutet av 1800-talet presenterade den franske matematikern Edouard Lucas ett slags matematiskt pussel ( recréation mathématiques ) vars mål

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman

Läs mer

Vardagssituationer och algebraiska formler

Vardagssituationer och algebraiska formler Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN PERMUTATIONER (Ordnade listor med n element, så kallade n- tipplar) 1. (permutationer av n olika element) Vi betraktar ordnade listor med n olika element,,, Varje bestämd

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Jag tror att alla lärare introducerar bråk

Jag tror att alla lärare introducerar bråk RONNY AHLSTRÖM Variabler och mönster Det är viktigt att eleverna får förståelse för grundläggande matematiska begrepp. Ett sätt att närma sig variabelbegreppet är via mönster som beskrivs med formler.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. 1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. Inledning. Om jämna tal och udda tal, delare, kvot och rest. Ett av kursens viktigaste syften är att ge träning i konsten att läsa matematik. Det är nödvändigt att lära sig

Läs mer

Något om medelvärden

Något om medelvärden 350 Något om medelvärden Pepe Winkler Uppsala Universitet Om a och a är två reella, positiva tal så kallas talet A = a + a för det aritmetiska medelvärdet och talet G = a a för det geometriska medelvärdet

Läs mer

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som

Läs mer

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +

Läs mer

1. Öppna frågans argument

1. Öppna frågans argument 1. Öppna frågans argument ÖFA i enkel form: 1. För en given term eller beskrivning N, om det gick att definiera godhet som N, så skulle följande vara en stängd fråga: x är N, men är x gott? 2. För alla

Läs mer

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

Vilka formler ska stå i cellerna D2 till D5? Hur får man tal skrivna med två decimaler?

Vilka formler ska stå i cellerna D2 till D5? Hur får man tal skrivna med två decimaler? Uppsala universitet Matematiska institutionen Anna-Lisa Dyrelius Skriva formler i Excel Ex ) Telefonräkning Fast avgift kr 5 Avgift per markering 0, Antal markeringar 000 Total kostnad kr =B+B*B Ex ) Beräkna

Läs mer

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Introduktion till och matematisk statistik diskret matematik Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare,

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

Diskret matematik, lektion 2

Diskret matematik, lektion 2 Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas papper med de olika räknesättens

A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas papper med de olika räknesättens Aktivitet 1:1 LÄRARVERSION Göra tal av siffror Eleverna ska träna på positionssystemet. A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:

Läs mer

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Induktiv argumentation

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Induktiv argumentation Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05 Induktiv argumentation En svaghet med deduktiv argumentation Vi har sagt att de bästa argumenten är de sunda argumenten, dvs de logiskt giltiga deduktiva argument med

Läs mer

Kapitel 2: De hela talen

Kapitel 2: De hela talen Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är

Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är Karin Landtblom Hur sannolikt är det? Uttrycket Hur sannolikt är det på en skala? använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren

Läs mer