4 Fler deriveringsregler
|
|
- Tobias Hermansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x + 8 Derivatan blir: f 0 (x) = 8x3 3x2 + 2 Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativa, som till exempel g(x) = x 3 + x2 Gäller den regel vi lärt oss för heltalsexponenter? h 0 (x) = n xn h(x) = xn Svaret är ja! Det betyder att 2 2 g 0 (x) = x 3 2x 3 = x 3 x För den som kan sina potenslagar är den avslutande omskrivningen inte konstig. 4.2 Lösta problem Övning 4. Bestäm derivatan till f(x) = x
2 2 Fler deriveringsregler Eftersom funktionen kan skrivas f(x) = x 2 Svar: Övning 4.2 Bestäm derivatan till f (x) = 2 x 2 = förstår vi att derivatan blir 2 x 2x 2 f(x) = x = 2 x med hjälp av derivatans definition Vi börjar med att ställa upp diffrenskvoten f(x + h) f(x) x + h x = = ( x + h x)( x + h + x) h h h( x + h + x) Vi har förlängt med konjugatet. Nu är det dags att låta h 0 x + h x h( x + h + x) = h h( x + h + x) = x + h + x lim h 0 x + h + x = = x + x 2 x Svar: 2 x Vi förstår att vi kan ta oss fram med hjälp av derivatans definition, Men att det ibland kan bli besvärligare än i tidigare uppgifter. Övning 4.3 Derivera funktionen f(x) = 3 x x 3 = Vi skriver först funktionen utan rottecken Nu är det dags att derivera f(x) = x x 3 4 Svar: f (x) = 2x x 4 4 = 2 3x 3 f (x) = x x + 3 4x 4 =
3 4.2 Lösta problem 3 Övning 4.4 Då man inte vill ha rötter i nämnaren kan man ofta förlänga bråket med lämpligt uttryck och vips finns det bara rötter i täljaren. Fixa bort roten i nämnaren 3 3 Vi förlänger med 3 och får 3 = 3 3 = 3 3 = Övning 4.5 Fixa bort rottecknen i nämnaren a + b a b Nu förlänger vi med konjugatet till uttrycket i nämnaren ( a + b)( a + b) ( a b)( a + b) ( a + b)( a + b) a b = a + 2 ab + b a b Övning 4.6 En tangent till funktionen f(x) = x har k-värdet k = 2. I vilken punkt tangerar tangenten funktionens kurva? Vi startar med att derivera funktionen f (x) = 2 x Genom att lösa ekvationen f (x) = 2 får vi svaret 2 x = 2 = x x = Då f() = är den eftersökta punkten (, ) Svar: (, ) Studera figuren:
4 4 Fler deriveringsregler Figur 4.: Övning 4.7 Bestäm h ( 2 ) då h(x) = x + x 2 Vi skriver om funktionen på en form som är enklare att derivera: Nu deriverar vi Nu kan vi bestämma h( 2 ) Svar: h ( 2 ) = 20 h(x) = x + x 2 h (x) = x 2 2x 3 = x 2 2 x 3 h ( 2 ) = = = = Figur 4.2: Övning 4.8 Här ser du två grafer, i figurerna 4.2 och 4.3. Den ena visar derivatan av den andra. Vilken är vilken? Den övre är derivata till den undre. Hur kan man se det? De punkter på funktionens kurva som har tangenter som har k = 0 innebär att f (x) för dessa punkter ska vara 0, eller hur?
5 4.2 Lösta problem Figur 4.3: Övning 4.9 Bestäm grafiskt (se figur 4.4), det vill säga ungefär, följande värden f(0) f (2.) f(2) f ( 0.8) f(0) = 6 f (2.) = 0 f(2) = 4 f ( 0.8) = 0 Övning 4.0 Åter till figur 4.4. I vilka punkter A, B, C är f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0 A : f (x) > 0 C : f (x) < 0 B : f (x) = 0 Övning 4. Bestäm derivatan till f(x) = x 4 + x2 Vi skriver om funktionen till Nu är det enkelt att derivera f(x) = x 4 + x 2 f (x) = 4x 5 + 2x Tycker man inte om negativa exponenter kan man skriva om derivatan till f (x) = 2x 4 x 5
6 6 Fler deriveringsregler Figur 4.4: Uppgift 9 och 0 Övning 4.2 Beräkna a) f(0) b) f(x) = 0 c) f (0), d) f (x) = 0 till funktionen f(x) = x 2 x 6 Enklast att beräkna är f(0) f(0) = = 6 För att bestämma f(x) = 0 måste vi lösa en ekvation, här en andragradsekvation: x 2 x 6 = 0 För att bestämma f (0) måste vi derivera f(x): x = 2 ± x = 2 ± 5 2 x = 3 x 2 = 2 f (x) = 2x Detta ger f (0) = 2 0 =
7 4.2 Lösta problem 7 Så över till sista delen f (x) = 0, som leder till den enkla ekvationen Svar: a) 6 b) x = 3, x 2 = 2 c) d) x = 2 Övning 4.3 Beräkna derivatan till 2x = 0 x = 2 f(x) = 2 x x Först skriver vi om funktionen Nu är det lämpligt att derivera x 2 2 x 3 2 f(x) = 2x 2 x 2 f (x) = 2x 2 2 Förklara för dig själv, sista steget, att x 3 = x x x Övning 4.4 Vilket är störst f () eller f (2) då = = x + 2 x 3 = x + 2x x = f(x) = 3 x Vi kan inte besvara denna fråga utan att derivera som är f (x) = x f(x) = x 3 = 3x 2 3 med eller utan hjälp av dosan ser vi att f () > f (2) = 3 3 x 2 Övning 4.5 I f(x) = x 2 + x II g(x) = x 2 III h(x) = x 2 Para ihop funktionerna med rätt kurva.
8 8 Fler deriveringsregler Figur 4.5: Svar: I) B, II) A, III) C Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för vare sig linjens lutning eller var den skär y-axeln. Dessutom finns enpunktformen: y y = k(x x ) där (x, y ) är en känd punkt på linjen. Till sist har vi denna där a och b är konstanter vars betydelse vi återkommer till: y a + x b = Alla dessa sätt att teckna en linjär funktion är förstås ekvivalenta. Ett bra tips är att föra över en given linjär funktion till den form som man är mest van vid. Under Lösta uppgifter tar vi upp några exempel. 4.3 Mer Dagens teori Logartimer Vi har i uppgift att bestämma produkten Med hjälp av en logaritmtabell kan vi slå upp talet 423. Vi hittar sifferföljden På samma sätt slår vi upp 75 och hittar De två funna talen ska nu användas för bestämma x i 0 x = 423. Vi förstår att x = 2, som ger 0 2 = 00, är för litet och x = 3 som ger 0 3 = 000 är för stort. Vi förstår att 2 < x < 3. Genom att använda sifferföljden vi fick från tabellen kan vi skriva Detta tal är då nära 423. På samma sätt får vi att Vi har alltså med tabellens hjälp fått När vi har en gemensam bas kan vi, som bekant från potenslagarna, addera exponenterna och får = =
9 4.3 Mer Dagens teori 9 Nu går vi in i tabellen igen och försöker, bakifrån, leta upp sifferföljden 509 inuti tabellen. Tyvärr finns inte detta tal i tabellen. Närmast vi kan komma är 50. För sifferföljden 50 får vi en ny sifferföljd 37. Eftersom heltalssiffran i är 5, ska vi har 6 heltalssiffror i resultatet och får vi lägga till 3 nollor till resultatet. Vi får produkten När vi beräknar med något av våra moderna elektronikverktyg får vi Vårt resultat är alltså inte speciellt imponerande men det visar hur man använde logaritmer från 600-talet och framåt tills datorer och miniräknare nästan 400 år senare kunde åstadkomma betydligt bättre resultat på betydligt kortare tid. Ett exempel till. Beräkna Vi får t log t I tabellen hittar vi närmast nu som ger resultatet att jämföra med det korrekta Med den tabell jag använt kommer man att få 3 korrekta värdesiffror. Trots att användningen av logaritmer på detta sätt sedan länge är utdött lever begreppet logaritmer vidare inom matematiken. Vi har ekvationen 0 x = 2345 som vi vill lösa. Vilket tal ska jag upphöja 0 till för att få resultatet 2345? Man skriver direkt x = lg För att få ett numerisk värde måste man använda en miniräknare (mycket bättre än tabellen). Vi får x = lg Du bestämmer hur många decimaler du ska ta med men är redan det tillräckligt bra (kanske). På dosan använder du LOG. Vi har av detta lära oss att lg a b = lg a + lg b. Detta är första logaritmlagen. Här har vi dem alla Logaritmlagarna I) lg a b = lg a + lg b II) III) lg a b = lg a lg b lg a b = b lg a IV) lg a = lg a Du kommer väl ihåg att a b kallas potens, att a kallas bas och b exponent. När vi talar om lg gäller hela tiden basen 0. Ibland skriver man log 0 istället för lg. Man kan tänka sig vilket positivt tal som helst som bas. Följande tre baser är vanligast 0 lg log 0 e ln log e 2 log 2 De fyra lagarna ovan gäller oavsett bas. Här några uppgifter för huvudräkning
10 0 Fler deriveringsregler Övning 4.6 a) lg 000 b) lg 0 c) lg d) lg 0.00 e) log 5 25 f) log 3 8 g) log h) lg( 0) a) 3 b) c) 0 d) 3 e) 2 f) 4 g) 8 h) ej definierat Övning 4.7 Lös ekvationerna a) lg x = lg 3 + lg 6 b) lg 0 = lg 2 + lg x c) lg 00 = lg x 2 d) log 3 x = log 3 27 log 3 3 e) log 2 x 3 = log 2 64 f) x = log log lg 000 a) x = 8 b) x = 5 c) x = 0 d) x = 2 e) x = 4 f) x = 9 På hemsidan finns ett stort antal logaritmekvationer Derivatan av exponentialfunktionen. Vi minns att f(x) = 3 x är ett exempel på en exponentialfunktion. Kännetecknet är att x förekommer som exponent. Det är fritt fram för vilken positiv bas som helst. I exemplet har vi använt basen 3. Så här ser grafen ut: Figur 4.6: Gemensamt för alla exponentialfunktioner är att de växer snabbt då basen är >. Man talar om exponentiell tillväxt och menar då något som ökar snabbt. (Även om detta inte alltid är helt korrekt. Jag menar att med basen.0, (%), är ju tillväxten inte särskilt snabb). Vi förstår att denna funktion liksom andra vi studerat hittills har en tangent i varje punkt på kurvan. Med andra ord det borde finnas en derivata till f(x) = 3 x. Använder vi derivatans definition för att ta reda på den får vi f f(x + h) f(x) 3 x+h 3 x (x) = lim = lim h 0 h h 0 h
11 4.3 Mer Dagens teori Vidare 3 x 3 h 3 x lim h 0 h = lim h 0 3 x (3 h ) h Eftersom 3 x inte är direkt inblandad när h 0, så kan vi skriva (om inte helt självklart) 3 x lim h 0 (3 h ) h Sedan är det stopp! Det vi lärt oss om gränsvärden räcker inte för att knäcka detta. Vi ser att, när h = 0 får vi 0 0. Vi går till en bok för högre studier i matematik och hittar Använder vi detta resultat får vi (a h ) lim = ln a h 0 h 3 x (3 h ) lim = ln 3 3 x h 0 h Det återstår nu endast ett problem. Vad står ln för? Vi kommer ihåg att lösningen till ekvationen 0 x = 23 skrivs x = lg 23. Detta är en logaritmekvation där vi använder basen 0. Basen 0 är (åtminstone i Sverige) knuten till symbolen lg och det finns en knapp på dosan märkt log som motsvarar lg. Vilken bas man använder när man räknar med logaritmer är egentligen valfritt! Det känns naturligt att använda basen 0 eftersom vi använder oss av basen 0 när vi skriver våra tal. En annan bas är e. Talet e är en konstant precis som π och dessutom lika viktig i matematiken. Jag ska nu försöka förklara varifrån talet e kommer. Betrakta uttrycket ( lim + ) x x x Det handlar alltså om ett gränsvärde där x Plottar vi funktionen ( f(x) = + ) x x får vi följande graf, se Figur 4.7: Vi kan gissa eller tro att kurvan närmar sig en gräns när x. Jag påstår att denna gräns är just talet e. Här har du talet e med de 200 första decimalerna:
12 2 Fler deriveringsregler Normalt brukar man komma ihåg att e På dosan finns en knapp märkt e x. Slår vi e får man fram talet e med några av de decimaler som ges ovan. Vi tänker nu använda e som bas när vi räknar med logaritmer och konstaterar att: lg är för 0, vad ln är för e. Sök upp knappen ln på din räknare. Det finns ju oändligt många tal, varför har man fastnat för talet e? Vi återkommer till det. Först ska vi lösa några enkla ekvationer. Förhoppningsvis kommer du ihåg hur man löser till exempel denna ekvation: lg x = 2 0 lg x = 0 2 x = 00 Om den ekvationen är OK för dig är inte denna svårare: ln x = 2 e ln x = e 2 x = e 2 x Vi konstaterar at vår kattregel gäller även här (liksom för alla baser). så även för de andra logaritmlagarna. e ln = Detta är viktigt. Man kan nu skriva om vilket uttryck som helst a b till ett med basen e. Jag påstår att a b = e b ln a För att förklara detta använder vi bara två logartimlagar: och så kattregeln. Alltså Så om vi har en funktion så kan vi skriva den som ln a b = b ln a e b ln a = e ln ab = a b f(x) = 3 x f(x) = e x ln 3 eller hur? Bestämmer vi oss för att alltid skriva om en exponentialfunktion oavsett bas till en bas med e (vilket verkar enkelt) så får vi en fastare grund att stå på. Minns ni att vi för en halv timma sedan började med att försöka finna derivatan till f(x) = 3 x
13 4.3 Mer Dagens teori 3 Vi kom fram till, genom derivatans definition och genom att låna ett gränsvärde från den högre matematiken, att f (x) = ln 3 3 x Man verkar inte kunna presentera derivatan till denna funktion utan att blanda in ln. Fakta: har derivatan f(x) = e x f (x) = e x Lätt att komma ihåg eller hur? Det är detta faktum som gör e så märkvärdigt. Att derivatans värde är lika med funktionens. där k är en konstant har derivatan f(x) = e kx f (x) = k e kx Lite svårare men fortfarande möjligt att memorera. Vad betyder detta? Ja att: f(x) = 3 x = e ln 3x = e x ln 3 Vi deriverar sedan med hjälp av regeln ovan och får Detta uttryck kan ju skrivas om till f (x) = ln 3 e x ln 3 f (x) = ln 3 e x ln 3 = ln 3 e ln 3x = ln 3 3 x Det var ju där vi började! Återstår att vänja sig vid att använda e och ln.
14 4 Fler deriveringsregler 4.4 Lösta problem Övning 4.8 Översätt den linjära funktionen given på allmän form till k-form, där a och b är obestämda konstanter. Vi utgår alltså från ax + by + c = 0 och vill komma fram till y = k x + m. Det betyder att vi kommer att få k och m uttryckta i a och b. Vi ska alltså lösa ut y ur formeln ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c b y = a b x + c b Detta betyder att k = a b och m = c b. Normalt lär man sig inte detta utantill, utan är beredd att räkna fram det varje gång det behövs. Övning 4.9 Vi har den linjära funktionen y 5 + x 3 = I vilka punkter skär denna linje koordinataxlarna? När funktionen skär x-axeln är y = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen x 3 = som har lösningen x = 3. Linjen skär alltså x-axeln i (3, 0) När funktionen skär y-axeln är x = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen y = som har lösningen y = 5. Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0, 5). Det finns tydligen ett klart samband mellan de två nämnarna i funktionen och de punkter i vilka linjen skär axlarna. Övning 4.20 Vilket resultat, ungefär, bör man få då man beräknar detta uttryck med dosans hjälp: ( + ) Ungefär , ett tal ganska nära e, eller hur! Övning 4.2 Lös ekvationen ln x + ln 2 = ln 0
15 4.4 Lösta problem 5 ln x + ln 2 = ln 0 ln x = ln 0 ln 2 ln x = ln 0 2 ln x = ln 5 e ln x = e ln 5 x = 5 Förutom e ln = har vi använt ln ln = ln. Vi konstaterar att tekniken att lösa en ekvation med ln inte skiljer sig speciellt från det med lg. Övning 4.22 Förenkla så långt möjligt 2 3 ln ea ln e a ln ea ln e a 2a a 3 = ln e 3 3 ln e = 2a 3 a 3 = 2a 3 + a 3 = a Om lg 0 = så måste ju ln e =. Övning 4.23 Bestäm derivaten till f(x) = 0e x f (x) = 0e x Övning 4.24 Bestäm derivatan till f(x) = e 0x f (x) = 0e 0x Övning 4.25 Vilken funktion a) f(x) = e x b) f(x) = e 0 x c) f(x) = e x hör ihop med vilken graf i figur 4.8
16 6 Fler deriveringsregler Figur 4.8: a) f(x) = e x b) f(x) = e x c) f(x) = e 0 När koefficienten är 0 är förstås funktionen konstant =. Övning 4.26 Derivera funktionen f(x) = 4 x + 3 x Vi skriver om funktionen enligt receptet ovan (även om man är ovan): Nu är det enkelt att derivera f(x) = e x ln 4 + e x ln 3 f (x) = ln 4 e x ln 4 + ln 3 e x ln 3 om man så vill kan man återställa baserna och få f (x) = ln 4 4 x + ln 3 3 x Visserligen försvinner e, som vi är ovana vid just nu, men ln består. Övning 4.27 Kurvan y = C e kx går genom punkten (0, 0). Lutningen i den punkten är 5. Bestäm talen C och k. Först och främst förstår vi att 0 = C e k 0 Vi har helt enkelt satt in x och y efter punkten (0, 0). Detta ger 0 = C e 0 eller C = 0. När vi har C = 0 kan vi skriva funktionen f(x) = 0 e kx Nu tar vi hand om den givna lutningen. För detta måste vi derivera funktionen ovan f (x) = k 0e kx
17 4.4 Lösta problem 7 Man har fått veta att f (0) = 3, eller hur (tänk efter). Detta ger Eftersom f (0) = 5 får vi Till slut har vi kommit fram till funktionen: f (0) = k 0e k 0 k 0e k 0 = 5 k 0e 0 = 5 k 0 = 5 k = 2 f(x) = 0e x 2 Övning 4.28 Omforma den linjära funktionen 3x + y 2 3 = 0 till k-form. Det är bara att räkna på, det vill säga att lösa ut y ur formeln 3x + y 2 3 = 0 y = 3x y = 6x + 6 Lätt som en plätt, eller hur! Svar: y = 6x + 6 Övning 4.29 En linje skär koordinataxlarna i punkterna (0, 2) och (3, 0). Bestäm linjens ekvation (den linjära funktionen). Utnyttjar vi kunskapen från Lösta problem nummer 2 får vi direkt som kan hyfsas till y 2 + x 3 = y = 2 3 x 2 Övning 4.30 Lös ekvationen ln x 2 + ln x = 3 Svar: x = e ln x 2 + ln x = 3 2 ln x + ln x = 3 3 ln x = 3 ln x = e ln x = e x = e
18 8 Fler deriveringsregler Övning 4.3 Man får reda på att f(2) = 3 e 2 och att f(3) = 3 e 3. Bestäm f(x). Funktionen f(x) = 3e x är förstås närliggande, men det finns faktiskt oändligt många funktioner som går genom dessa två punkter. Tänk efter. Övning 4.32 Skriv om funktionen f(x) = x till funktionen g(x) med basen e och bestäm både f(0) och g(0) Vi kan tyda denna funktion som en där man startar med 000 kr och erhåller 4% ränta varje år. f(x) talar om hur mycket man har efter x år. f(0) = Omskriven till basen e får vi Vi får nu Omskrivningen verkar korrekt. x ln.04 g(x) = 000 e g(0) 480 Övning 4.33 Derivera funktionen f(x) = 3e 2x f (x) = 3 2e 2x Övning 4.34 Bestäm f (2) då f(x) = 2e 3x + e x Först deriverar vi Vi kan nu bestämma f (x) = 6e 3x + e x f (2) = 6e 6 + e 2 Matematiken stannar normalt här. Handlar det om fysik eller andra tillämpningar av matematiken kanske man svarar f (x) 2428
19 4.4 Lösta problem 9 Övning 4.35 Derivera f(x) = ( e x e x) ( e x + e x) Vi måste börja med att utveckla parenteserna (tänk på konjugatregeln): ( e x e x) ( e x + e x) = e 2x e 2x Vi får då funktionen vars derivata är f(x) = e 2x e 2x f (x) = 2e 2x ( 2)e 2x = 2(e 2x + e 2x )
y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merLogaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos
Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga
Läs merAvsnitt 4, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs mer8 + h. lim 8 + h = 8
Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merR AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4
Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merStudieplanering till Kurs 2b Grön lärobok
Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h
DOP-matematik Copyrigt Tord Persson Gränsvärden Uppgift nr 1 f(x) x². Gör denna värdetabell komplett genom att i tur oc ordning ersätta x i funktionen med de olika talen / uttrycken i tabellen. Första
Läs merAtt beräkna t i l l v ä x t takter i Excel
Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merDel I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merGrafen till funktionen z = x y.
Frågor och svar om ln x, e x och 1/x i anslutning till grafen finns på nästa sida och framåt. 1 (6) Grafen till funktionen z = x y. plot3d(x^y, x=-3..3, y=-1..2, axes=frame, grid=[25,25], title="z=x^y");
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer