1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Transkript

1 Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte har något slut den är oändlig. När vi blir lite äldre lär vi oss räkna snabbare genom att använda talföljden, 4, 6, 8, 10, 1,... Det är vanligt att det förekommer talföljder i intelligenstester. Målet är att fortsätta följden med ett eller två tal. Ju färre tal följden innehåller desto fler lösningar finns det. Med lite fantasi och analytisk förmåga brukar man kunna lösa många uppgifter. Vi kommer här inte att studera några speciella metoder. Tanken är bara att vi ska bekanta oss med skrivsättet och få en liten inblick i vad tekniken kan användas till. Fortsätt talföljderna nedan med två tal a) 5, 10, 15, 0, 5,... b) 1, 3, 5, 7,... c) 1, 4, 9, 16, 5, 36,... d) 1,, 4, 8, 16, 3,... e) 1, 3, 6, 10, 15, 1, 8,... f) 1,, 6, 4, 10, 70, 5040,... g), 3, 4, 6, 8, 14, 0,... h), 3, 5, 7, 11, 13, 17,... i), 1, 111, 311, 1311, , ,... j) 1, 3, 7, 1, 18, 6, 35,45, 56, 69,83,98,114,... a) 30, 35. Enkelt att se. Differensen mellan två på varandra följande (konsekutiva) tal är 5. Talen ökar helt enkelt med 5 b) 9, 11. Alla udda positiva heltal. Differensen är. Talen ökar alltså hela tiden med. c) 49, 64. Talen följer följande mönster Följden av heltalskvadrater. 1,, 3, 4, 5,... Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 d) 64, 18. Ett tal i följden multipliceras med för att få det efterföljande talet. En viktig talföljd inom datalogin. En programmerare bör kunna rabbla denna följd från 1 till 4096 lika fort som denne kan räkna till 0. e) 36, 45. Differensen ökar med 1 för varje tal. Mellan 15 och 1, till exempel, är differensen 6. Alltså ska differensen till nästa tal vara 7 och vi får talet 8. Denna talföljd kallas triangeltalen. Kopplingen till triangel framgår av figur 1 Figur 1: f) 4030, Talföljden kan skrivas 1!,!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!,... Utropstecknet står för fakultet, till exempel 5! = = 10. Följden kan då skrivas Då blir alltså och 1, 1, 1 3, 1 3 4, ,... 8! = = ! = = g) 36, 60. Antalet halsband man kan skapa med n pärlor av två olika färger, figur Figur : Vi tänker oss ett halsband där pärlorna är uppträdda på en cirkel. För denna talföljd får man dock inte vända halsbandet. h) 3, 9. Talföljden beskriver primtalen. De heltal n, som endast kan delas jämnt med 1 och n (talet själv). i) , En mycket fantasifull talföljd konstruerad av matematikern J. H. Conway. Vi startar med talet. I nästa tal konstaterar vi att föregående tal innehåller en tvåa, alltså 1. I det tredje talet Håkan Strömberg KTH Syd

3 beskriver vi det andra genom 111, en etta och en tvåa. Det fjärde talet får vi genom att beskriva det tredje, 311, tre ettor och en tvåa och så vidare. j) 131, 150. Talen i talföljden är de tal som man inte kan få genom att ta differensen av två på varandra följande tal i följden: För att beteckna talen i en talföljd använder vi a 1, a, a 3, a 4,..., a n 1, a n, a n+1,... Bokstaven a används oftast, men kan förstås ersättas med vilken annan som helst. Talet, det något nedsänkta efter bokstaven a, kallas index och anger talets ordningsnummer i talföljden. Om vi till exempel har denna talföljd (kallad RATS, Reverse, Add, Then Sort) 1,, 4, 8, 16, 77, 145, 668,1345, 6677,13444,55778,... så är a 1 = 1, a 4 = 8 och a 10 = De avslutande punkterna markerar att talföljden är oändlig. Det är säkrare, bättre och enklare att beskriva en talföljd med en formel, som till exempel a n = 3 + n Denna formel ger a 1 = 5, a = 7, a 3 = 9 och så vidare. 5, 7, 9, 11, 13, 15,17,... Formeln är säkrare än uppräkningen, därför att det ibland kan finnas flera tolkningar, speciellt om uppräkningen är kort. Formeln är bättre därför att man direkt kan räkna fram ett tal i följden med givet ordningsnummer. a 100 = = 03 i följden ovan. Egentligen är det ingen skillnad på skrivsätten f(n) = 3 + n och a n = 3 + n så länge man inser att talen n i f(n) måste vara positiva heltal. Om vi plottar i figur 3 en vanlig polynomfunktion och talen i en talföljd: f(x) = x3 6 4x 10x + 4 och a n = n3 6 4n 10n + 4 Visar punkterna värdet hos talföljden a 1...a 30. f(x) är som vanligt en kontinuerlig kurva. Vilka av de inledande talföljderna kan då beskrivas med en formel? a) Denna formel hittar vi enkelt a n = 5n Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Figur 3: b) Den här är inte svårare c) Även denna kan vi skriva ned direkt d) Den här är lite knepigare kanske e) Den här är ganska svår för oss: a n = 1 + (n 1) = n 1 a n = n a n = n 1 a n = n(n + 1) f) Den här klarar vi inte att hitta någon formel för. g) Inte heller denna kan vi hitta någon formel för. h) Skulle du hitta en formel för följden av primtal kommer du att bli den mest berömde matematikern genom alla tider. i) Den här följden har troligtvis ingen formel heller. j) Även denna ligger utanför vårt revir. När man inte kan finna en formel som ovan, där man direkt får önskat tal genom att sätta in motsvarande n, kan möjligen talföljden uttryckas som en rekursiv formel. Till exempel a n+1 = a n där vi ger a 1 = 1. Om n = 1 kan formeln översättas till a = a 1 = 1 = När vi nu har a = kan vi med dess hjälp bestämma a 3 a 3 = a = = 4 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Och när vi har a 3 kan vi bestämma a 4 genom a 4 = a 3 = 4 = 8 På samma sätt får vi nu a 5 = a 4 = 8 = 16. Vi har alltså nu talföljden: 1,, 4, 8, 16 Visst måste det vara samma talföljd som genereras av formeln a n = n 1 Vi kan alltså framställa talföljden på två olika sätt. a n = n 1, den direkta formeln, är alltid att föredra. Det finns dock situationer då vi har en rekursiv formel och saknar den direkta formeln. Då får vi nöja oss med den rekursiva. För f) är det inte svårt att se att den rekursiva funktionen, då a 1 = 1, blir (Observera att en rekursiv funktion alltid måste åtföljas av ett startvärde). a n+1 = (n + 1)a n Det är inget som säger, att man ska uttrycka det vänstra ledet som a n+1 (som boken gör). a n är lika bra eller bättre. Då skriver vi om formeln ovan till a n = n a n 1 Vi avslutar med en rekursiv funktion med en viss användning. Den här rekursiva funktionen med startvärden s 1 = 1 och s = 1 s n = 3(n 3)s n 1 (n 3)s n n beräknar på hur många sätt man kan sätta ut parenteser när man har n objekt (x). Det är inte tillåtet att sätta ut parenteser runt ett enskilt objekt eller flera parenteser kring samma grupp av objekt. s 4 = 11 xxxx (xx)xx x(xx)x xx(xx) (xxx)x x(xxx) ((xx)x)x (x(xx))x (xx)(xx) x((xx)x) x(x(xx)) Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 1 Ange de fyra första talen i den talföljd där a n = n n + 1 a 1 = = 1 a = +1 = 4 3 a 3 = = 3 a 4 = = 8 5 Svar: 1, 4 3, 3, 8 5 Bestäm de fem första talen i den talföljd där och där a 1 = 5 a n+1 = a n + n a 1 = 5 a = a = 7 a 3 = a + = 10 a 4 = a = 14 a 5 = a = 19 3 Finn en enkel formel för det n:te elementet a n i talföljderna a) 3, 7, 11, 15, 19,... b), 6, 18, 54,... c) 4, 8, 1, 16,... d), 5, 10, 17, 6,... a) Differensen mellan talen är 4 och första talet är 3 eller a n+1 = a n + 4 a n = 4n 1 b) Nästa tal är 3 gånger föregående och första talet är. Först den rekursiva formeln a n+1 = 3a n och sedan den direkta a n = 3 n 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 c) Differensen är 4 och a 1 = 4 a n+1 = a n + 4 eller a n = 4n d) Differensen ökar med och a 1 = a n+1 = a n + n 1 eller 4 Talet 100 förekommer i talföljden a n = 1 + n a n = 0 + 4n Vilket ordningsnummer har detta tal i följden? Vad är a 100? Vi löser ekvationen 0 + 4n = 100 n = 0 Svar: n = 0, det 0:e talet är 100. Svar: a 100 = 40 5 Bestäm a 4 om a 100 = = 40 a n+1 = (a n ) och a 1 = 5 Det finns på den nivå vi befinner oss inget annat sätt än att bestämma i tur och ordning a, a 3, a 4 för att nå målet. Talföljden växer snabbt, redan a 6 = Detta är ett försök till formel, som åtminstone fungerar för de 5 första talen ( a n = (1 + cos n 1 arccos 3 ) Men detta ligger låååångt ovanför våra huvuden just nu. 6 Bestäm de första talen i talföljden Då a 1 = 1 och a = a n+1 = a n + a n 1 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 1,, 3, 5, 8, 13, 1,34,55... Detta är antagligen den mest berömda talföljden, kallad Fibonacci talföljd, som handlar om kaniner! Egentligen ska den starta med a 0 = 1. Man startar med ett par kaniner, en hane och en hona, första månaden, nr 0. Efter två månader nedkommer de med ett par ungar. Efter två månader finns då a = par. Ungarna behöver månader på sig innan de kan föda egna ungar. Däremot föder det äldsta paret även månad 3 ett par ungar det finns nu a 3 = 3 par. Månad 4 finns två par som vart och ett föder ett par ungar, plus ett par som fortfarande är för unga för att bli föräldrar, a 4 = 5. Och så vidare... Denna rekursionsformel kan översättas till en formel som direkt ger a n a n = ( Bestäm de fem första talen i talföljden ) n+1 ( a n+ = a n+1 a n där a 1 = 1 och a = 3 Genom att i tur och ordning beräkna a 3, a 4, a 5 får vi ) n+1 Fortsätter vi att ta fram fler tal får vi 1, 3, 3, 1, 1 3 1, 3, 3, 1, 1 3, 1, 1, 3, 3, 1,... 3 och det hela upprepar sig i all oändlighet. Man kan använda denna formel Fantastiskt eller hur? a n = 9 sin nπ En talföljd definieras av rekursionsformeln a n+1 = a n + 3 där a 1 = 10. Ge en formel för direkt beräkning av a n Vi bestämmer några av talen i följden och ser sedan om vi kan hitta något enkelt mönster: 10, 13, 16, 19,, 5,... Mönstret är enkelt att finna och vi får formeln a n = 7 + 3n Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 9 En talföljd definieras av formeln a n = 4 ( ) n 1 3 Skriv en rekursionsformel som ger a n+1 då vi känner a n. Åter bestämmer vi några tal i följden 4, 6, 9, 7, 81 4, Om man multiplicerar det föregående talet med 3 och sedan dividerar med, det vill säga a n+1 = 3a n Vi måste för dessa formler alltid ge ett startvärde. I detta fall a 1 = Bestäm det första talet a 1 om a n+1 = a n + då a 4 = 14 Den här gången får vi arbeta oss bakåt från 14. Det blir inte svårt: Detta ger alltså a 1 = 8 14, 1, 10, 8 11 Skriv texten till ett realistiskt problem som leder till formen a n+1 = 1.05 a n och a 1 = 4000 Jag satte in 4000 kr år 1 till 5% ränta. Formeln ger mig hur mycket jag kommer att ha i kronor nästa år, a n+1 om jag har a n i år. 1 Vad närmar sig följande talföljd för ett heltal c om vi låter x 1 = c x n+1 = Vi låter c = 10 och får följande talföljd c x n + x n 10.0, 5.5, , , , 3.168,... När vi jämför det sista talet med förstår vi att denna formel kan användas för att bestämma c Talföljden konvergerar snabbt. Redan efter sex tal har vi ett korrekt resultat med sex siffror. Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 13 En talföljd definieras genom s n+1 = s n + (n + 1) 3 där s 1 = 1. Beräkna s 4 och förklara vad till exempel s 50 betyder. De fyra första talen är 1, 9, 36, 100 Det är inte så lätt att se vad nästa tal kommer att vara genom att bara stirra på talföljden. Om vi tar fram fler 1, 9, 36, 100, 5, 441,784,196,05,305 blir det kanske inte enklare. Egentligen inte. Vi måste hitta på något och beräknar skillnaden mellan talen och får då 8, 7, 64, 15, 16 Kanske kan man nu se att detta är lika med 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3 Med lite fantasi kan man komma fram till att de ursprungliga talen är summan av talen 1 3, , , , , ,... Men lätt är det inte. 1 Ange de fyra första talen i den talföljd där a n = 3n Bestäm de fem första talen i talföljden där och där a 1 = 6 a n+1 = a n Beräkna det 1:e talet, det vill säga a 1 i följden ( ) n 1 1 a n = 5 4 Talet 100 förekommer i talföljden a n = n(n + 1) + 10 Vilket ordningsnummer har detta tal i följden? Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 5 Finn två olika formler som ger talföljden som börjar, 4, 8,... 6 Folkmängden i en stad var år 000. Ange ett uttryck för folkmängden P n där n är antalet år efter 000 om a) ökningen är 5000 personer om året b) ökningen är % om året 1 Svar: 1, 4, 7, 10 Svar: 6, 15, 33, 69, 141 a 1 = 3 1 = 1 a = 3 = 4 a 3 = 3 3 = 7 a 4 = 3 4 = 10 a 1 = 6 a = = 15 a 3 = = 33 a 4 = = 69 a 5 = = Det är bara att sätta in n = 1 i formeln ( ) a 1 = 5 = Vi löser ekvationen, som är av andra graden 100 = n(n + 1) = n + n + 10 n + n 90 = 0 n 1 = 9 (n = 10) 5 En formel, som man direkt kommer att tänka på är a n = n Men en annan? På internet kan man finna åtminstone 1000 lösningar. Nästan alla faller utanför vår ram. En möjlighet är a n = n n + Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Hur kommer man fram till det? Det finns alltid ett polynom med tillräckligt gradtal, som går genom givna punkter (1, a 1 ), (, a ),...(n, a n ). I vårt fall har vi tre tal, som ger tre punkter. (1, ), (, 4), (3,8) Då finns det ett andragradspolynom, p(x) = ax + b x + c, som går genom dessa punkter. Vi får nu följande ekvationssystem. eller utskrivet p(1) = p() = 4 p(3) = 8 a + b + c = 4a + b + c = 4 9a + 3b + c = 8 Systemet har följande lösning a = 1, b = 1, c =, som ger oss p(x) = x x + Testar vi våra punkter ser vi att det stämmer. Nu kan vi skriva en formel a n = n n + och använda den för att ta fram så många tal vi vill i denna talföljd! 6 a) eller där P 1 = b) Gammal skåpmat P n = n P n+1 = P n P n = n Håkan Strömberg 1 KTH Syd