Gamla tentemensuppgifter

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Gamla tentemensuppgifter"

Transkript

1 Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi vet sedan tidigare att det finns oändligt många polynom av andra graden som skär x-axeln i punkterna x = 3 och x = 1. Med andra ord: Det finns oändligt många andragradsekvationer som har rötterna x = 3 x = 1. Till exempel: x x 3 = 0 3x 6x 9 = 0 x + x + 3 = 0 10x 0x 30 = 0 Som andragradsekvationer är de alla likvärdiga, men inte som funktioner: f(x) = x x 3 f(x) = 3x 6x 9 f(x) = x + x + 3 f(x) = 10x 0x 30 Plottar vi dem i samma diagram får vi figur 1. Men genom att utnyttja den tredje observationen, kurvan går genom punkten (0, 3) finns det bara en av alla dessa som överlever. Men hur ska vi få tag i den funktionen? Det räcker att anta att funktionen har följande uttryck f(x) = a(x x 3) Vi söker alltså en konstant a, så att alla de tre givna ledtrådarna fungerar. För att f(0) = 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Figur 1: ska gälla behöver 3 = 3a som ger roten a = 1. Detta betyder att den eftersökta funktionen är f(x) = x x 3 som är en av de alternativ vi hade ovan. Det allra första förresten Svar: f(x) = x x 3 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = 4 x + 1 x i den punkt där x = 1 4 Vi startar förstås med att derivera, men innan dess försöker vi skriva om funktionen på en form som kommer att göra den enklare att derivera f(x) = 4 x + 1 x = 4x 1 + x 1 Nu deriverar vi f (x) = 1 4x 1 + ( 1)x = x 1 x Vi använder direkt derivatan Nu har vi tangentens k-värde f ( 1 4 ) = ( = 4 4) f( 1 4 ) = = 4 16 = 1 = = + 4 = 6 Nu har vi även en punkt på tangenten ( 1, 6) och det är dags att bestämma 4 tangentens ekvation 6 = m ger m = 9 och tangentens ekvation blir Svar: y = 1x + 9 Håkan Strömberg KTH Syd

3 3 Man vill tillverka en låda (ett rätblock), utan lock med kvadratisk basyta och som har volymen 8.00 dm 3. Hur hög ska lådan vara för att materialåtgången, det vill säga arean, ska bli så liten som möjligt? Vi har två mått att ta hänsyn till b, den kvadratiska basytans sida och h höjden. Volymen för en sådan låda skrivs V = b h Eftersom V = 8 kan vi skriva den ena variabeln med hjälp av den andra. Det spelar ingen roll hur vi väljer dem, men genom att lösa ut h får vi kanske lite enklare räkningar: 8 = b ḣ ger h = 8 b Kartongarean eller vad nu lådan är gjord av kan skrivas A = b + 4bh Men eftersom vi har uttryckt h med hjälp av b kan vi nu skriva A som funktion av b. A(b) = b 8 + 4b b = b + 3 b Det är denna funktion vi ska bestämma en minpunkt för. Men innan dess måste vi bestämma definitionsmängden 0 < b <. Basytan kan alltså göras hur stor som helst medan h då minskar. Vi deriverar A (b) = b 3 b Om du känner att det är svårt att se derivatan direkt skriver du bara om funktionen på en enklare form och finner derivatan i två steg istället. Dags att lösa ekvationen A (b) = 0 b 3 b = 0 b = 3 b b 3 = 3 b = 3 16 b = 3 Höjden får vi nu genom h = 8 ( 3 ) = Då A (x) = + 64 b 3 > 0 för alla b > 0 har vi här en minpunkt. Svar: 1.6 dm Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 4 Bestäm, exakt, riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = x3 + 3e x 4 i den punkt där x = 1. Först delar vi upp bråket i f(x), för att göra det riktigt tydligt, i Sedan bestämmer vi f (x) f(x) = x3 + 3ex 4 och därefter f (1) Svar: f (1) = 3(1+e) 5 Funktionen f (x) = 3x + 3ex f (1) = 3 + 3e f(x) = (x a) = 3(1 + e) är given. Bestäm värdet på konstanten a då man vet att f(1) + f (1) = 0 Först måste vi utveckla parentesen för att kunna derivera funktionen och nu deriverar vi f(x) = x ax + a f (x) = x a Kom ihåg att a är en konstant. Vi tecknar nu ekvationen f(1) + f (1) = 0 Svar: a 1 = 1 och a = 3 6 Funktionen 1 a + a + a = 0 a 4a + 3 = 0 a = ± 4 3 a 1 = 3 a = 1 f(x) = x 3 + ax + b där a och b är konstanter, har en lokal extrempunkt i (1, ). Bestäm koordinaterna för funktionens andra lokala extrempunkt och bestäm också vilken typ av extrempunkt det är. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Vi deriverar f (x) = 6x + ax Så löser vi f (x) = 0 6x + ax = 0 x(3x + a) = 0 x 1 = 0 x = a 3 Alltså förstår vi att x = 1 eftersom x 1 = 0. Vi har ju fått reda på att en av extrempunkterna är (1, ). Vi kan nu få fram a genom ekvationen a 3 = 1 a = 3. Vi har också fått reda på att f(1) = Det ger oss b genom Funktionen f(x) är nu helt känd ( 3)1 + b = 3 + b = b = 1 f(x) = x 3 3x 1 Den andra extrempunkten finns för x = 0 vilket ger f(0) = 1. Genom att studera f (x) kan vi till sist avgöra vilken typ av extrempunkter vi har. f (x) = 1x 6 f (0) = 6 < 0 alltså en maxpunkt f (1) = 6 > 0 alltså en minpunkt. Svar: (0, 1) 7 Funktionen f(x) = x x 1 Bestäm ett intervall för x, då både f(x) < 0 och f (x) < 0. För att klara detta måste vi lösa både f(x) = 0 och f (x) = 0. x x 1 = 0 x 1 = 3 x = 4 Då x < 3 är f(x) > 0. Kurvan befinner sig över x-axeln tills den skär axeln i x = 4 och stannar under x-axeln (är negativ) tills den åter skär axeln för x = 4, för att sedan stanna för evigt över x-axeln (är positiv). f(x) < 0 då 4 < x < 3. f (x) = x 1 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 f (x) = 0 ger x 1 = 0 x = 1 f (x) < 0 då x < 1, f (x) = 0 då x = 1 och f (x) > 0 för x > 1. Alltså f (x) < 0 då < x < 1. Men nu ska både f(x) < 0 och f (x) < 0. Detta inträffar då 4 < x < Figur : Svar: 4 < x < 1 8 Kurvan y = x4 + 3x har en normal som är parallell med den räta linjen x 13y = 5. Bestäm ekvationen för denna normal. En normal till en kurva är en linje som går vinkelrät mot en tangent till kurvan. Så om vi startar med att skriva om den givna linjens ekvation från x 13y = 5 till y = x Denna linje måste ha samma k-värde som den sökta normalen. Tänker vi sedan på regeln, att för två vinkelräta linjers k-värden gäller k t k n = 1 så vet vi direkt att tangentens k värde måste vara k t 1 13 = 1 k t = 13 Om vi nu tar reda på f (x) och löser ekvationen f (x) = 13, får vi reda på, för vilka x det finns en tangent med lutningen k = 13. f (x) = x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 ger ekvationen x = 13 x 3 = 8 x = Det finns bara x = då detta är uppfyllt. f( ) = ( )4 + 3( ) = 8 6 = ger oss punkten genom vilken normalen ska gå. Återstår att bestämma m för normalen. = 1 13 ( ) + m ger m = + 13 = 8 13 Linjens ekvation blir nu y = 1 13 x Svar: y = 1 13 x Den totala begränsningarean av ett rätblock är 4 dm. En av rätblockets sidokanter är dubbelt så lång som en annan. Beräkna exakt rätblockets maximala volym. Ett rätblock har som bekant höjd h, bredd b och längd l. Ett rätblock består av sex sidor, som parvis har samma area. Vi kan med våra beteckningar ovan skriva den totala begränsningsarean, (summan av arean av de sex sidorna) A(b, h, l) = bh + bl + hl Så kan man skriva en funktion av tre variabler! Den här gången är en av kanterna dubbelt så lång som en annan. Det spelar förstås ingen roll vilka vi väljer. Vi bestämmer därför att l = b. Vår funktion kan då skrivas A(b, h) = bh + 4b + 4hb = 4b + 6hb Så kan man skriva en funktion av två variabler! Nu vet vi att A(b, h) = 4, alltså 4b + 6hb = 4 Om vi betraktar detta som en ekvation kan vi lösa antingen h eller b och få denna variabel uttryckt i den andra. Enklast är förstås att lösa ut h. Vi får då 4b + 6hb = 4 6hb = 4 4b h = 4 4b 6b = 1 b 3b Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Vår funktion kan då skrivas A(b) = 4b + 6b 1 b 3b = 4 Vilket b vi än väljer så är rätblockets area 4, precis som vi vill ha det. Nu över till volymen V = b l h. Både l och h finns nu uttryckta i b, så vi kan skriva V(b) = b b 1 b 3b = b(1 b ) 3 = 4b 3 4b3 4b3 = 8b 3 3 Det är den här funktionen vi ska söka en maxpunkt för. Vilken är då definitionsmängden? b > 0 givetvis, men finns det någon övre gräns för b. I takt med att b drar i väg mot minskar l och h. Men om b blir för stor kommer h < 0, se ovan. Det största värde b kan anta är då h = 0 alltså 1 b 3b = 0 som har roten b = 6. Definitionsmängden 0 < b < 6. Vi deriverar och får V (b) = 8 4b V (b) = 0 då 8 4b = 0 b = b 1 = (b = ) Genom V (b) = 8b och V ( ) = 8 < 0 inser vi att vi funnit en maxpunkt. Den maximala volymen blir då V( ) = 8 4( ) 3 3 = 16 3 Svar: 7.54 dm 3 10 Lös ekvationen då f(a) f (a) = 1 f(x) = x x + 1 f (x) = x 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Vi kan nu teckna ekvationen Svar: a 1 = och a = 1 a a+1 a 1 = 1 a a + 1 = a 1 a 3a + = 0 a = 3 ± a = 3 ± 1 a 1 = a = 1 1 Undersök funktionen f(x) = x 3 6x + 9x + 3 med hjälp av derivata och bestäm alla eventuella extrempunkter En cylindrisk burk utan lock ska tillverkas. Volymen ska vara 1 liter. Beräkna cylinderns höjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. Denna uppgift påminner mycket om uppgift 3 bland Lösta uppgifter. Förra veckans svårare problem 4 Vi tecknar till att börja med T(t), temperaturen som funktionen av tiden: T(t) = 36.9e kt där k är obekant konstant. Vi ser dock att funktionen fungerar för T(0) = 36.9 en levande varg. Vid tiden x uppmäts temperaturen 8 C. Detta ger 8 = 36.9e kx Tre timmar senare vid tiden x + 3 görs en ny mätning. Detta ger 5.6 = 36.9e k(x+3) Vi har nu fått ett ekvationssystem (icke linjärt) med två obekanta. 8 = 36.9e kx 5.6 = 36.9e k(x+3) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Resten av problemet består av att lösa detta system. 8 = e kx = e k(x+3) ln ( ) = kx ln ( ) = k(x + 3) Från den första ekvationen löser vi ut k k = ln( x Detta värde för k, sätter vi in i den andra ekvationen och förenklar ln ( ) 5.6 ln( 36.9 = 36.9) 8 (x + 3) x ln ( ) ( = ln ln ( ) ( ln 8 ) 3ln( 36.9 = 36.9) 8 x 3 ln ( 8 x = ) ln ( x 9.4 ) + 3ln( 8 ) 36.9) x ) 36.9 ( ln Svar: Skottet föll 9.4 timmar före kl 1 : 00, eller kl 11 : 45, som vi avrundar till kl 1. 5 Antag att den sökta funktionen är och dess derivata f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b Kurvan tangerar y = x i origo, som ger f(0) = 0, som ger c = 0. Dessutom är f (0) = 1 som ger b = 1. Kurvan tangerar också y = x 3. Betyder att ekvationssystemet { y = x 3 Ska ha en dubbelrot. Vi får y = ax + x x 3 = ax + x x x + 3 = 0 a a x = 1 ± a Dubbelrot erhålls 1 1a = 0 då a = a 4a 4a ) Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Svar: f(x) = x 1 + x 6 Linjens ekvation är p 130 = (x 1000) som förenklas till p = 7500 x 50 Den totala kostnaden för att tillverka och försälja x enheter ges av T(x) = 10x Vinsten vid tillverkning och försäljning av x enheter ges av V(x) = xp 10x 300 a) Häri insättes p uttryckt i x enligt ovan och man får b) V(x) = 7500 x 50 x 10x 300 = 140x 0.0x 300 V (x) = x = 0.04(x 3500) V (x) = 0 då x = V (3500) = 0.04 < 0 alltså har vi en maxpunkt. Svar: Vinsten är maximal för x = En ren standarduppgift, som nu bör kännas ganska trist. Vi startar med att derivera f (x) = 3x 1x + 9 Genom att lösa f (x) = 0 får vi reda på eventuella extrempunkter 3x 1x + 9 = 0 x 4x + 3 = 0 x = ± 4 3 x = ± 1 x 1 = 3 x = 1 Vi har som väntat två extrempunkter. Andraderivatan kommer kanske att kunna avgöra vilken typ de tillhör. Vi får nu f (x) = 6x 1 f (3) = 6 > 0 minpunkt f (1) = 6 < 0 maxpunkt Svar: Vi har funnit två extrempunkter, maxpunkt för x = 1 och minpunkt för x = 3. Kanske ska man svara med punkterna och då måste vi bestämma f(1) = 7 och f(3) = 3, som leder till punkterna (1, 7) och (3, 3) Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Volymen för en cylinder bestäms med formeln V = hπr Då vi vet att V = 1 kan vi bestämma h med hjälp av r 1 = hπr h = 1 πr Materialåtgången utgör cirkelskivan i botten tillsammans med mantelytan, bandet runt. Vi kan nu uttrycka denna area som en funktion av radien r A(r) = πr + πrh = πr + πr 1 πr = πr + 1 r Vi deriverar och löser sedan A (r) = 0 för att få extrempunkterna Ekvationen ger A (r) = πr 1 r πr 1 = 0 r πr = 1 r r 3 = 1 r = När vi känner r kan vi till sist bestämma h Då h = 1 ( 3 π 1 π π 3 1 π ) 0.54 A (r) = π + r 3 som är > 0 för alla r > 0 medför detta att vi funnit en minpunkt. Svar: 54 mm Räkna bokens uppgifter: 38, 331, 33, 336, TB: Jag ska alltså bestämma a, b, c och d i funktionen f(x) = ax 3 + bx + cx + d. De tre rötterna till ekvationen f(x) = 0 är kända. Jag vet inte riktigt, men jag chansar f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4). Är det riktigt? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 KTH: Testa med f() = 5 och dessutom har du inte bestämt a, b, c och d, som du sa att du skulle göra. TB: Kan du inte säga om det är rätt istället? Jag testar väl då f() = ( + 6)( 1/)( 4) = 8 3/ ( ). Jag ser redan nu att det inte kan fungera eftersom detta värde blir negativt och därmed inte = 5. Nu får du hjälpa mig KTH: Först ska vi ta det omständliga sättet: f( 6) ger ( 6) 3 a + ( 6) b + ( 6)c + d = 0 f(1/) ger (1/) 3 a + (1/) b + (1/)c + d = 0 f(4) ger 4 3 a + 4 b + 4c + d = 0 f() ger 3 a + b + c + d = 5 Vi har ett ekvationssystem med fyra obekanta och fyra ekvationer. Normalt har detta system en lösning. Man brukar skriva det så här. Vi passar på att snygga till det lite: Ekvationssystemet har lösningen a = a + 36b 6c + d = 0 a/8 + b/4 + c/ + d = 0 64a + 16b + 4c + d = 0 8a + 4b + c + d = 5 b = 5 16 c = 15 4 d = 5 Det är ganska jobbigt att komma fram till detta men med en dator eller en avancerad räknedosa går det lättare. Det viktiga är att du förstår hur systemet är konstruerat. Nu över till en enklare metod, som börjar på samma sätt som du föreslog. Men först ska vi titta på en sak som förklarar varför din metod inte fungerar direkt. Här har vi tre ekvationer x 3 + x 5x 6 = 0 4x 3 + 8x 0x 4 = 0 3x 3 + 6x 15x 18 = 0 Det är lätt att se att de egentligen är fråga om samma ekvation i alla tre fallen. Om man dividerar båda sidor i den andra med 4 så uppstår den första. I den tredje ekvationen dividerar vi båda sidor med 3, så kommer vi också fram till den översta ekvationen. Rötterna är förresten x 1 = 3, x = och x = 1. Dessa kan vi i denna kurs bara komma fram till genom att gissa. Nu tittar vi på följande tre funktioner f 1 (x) = x 3 + x 5x 6 f (x) = 4x 3 + 8x 0x 4 f 3 (x) = 3x 3 + 6x 15x 18 Dessa är inte identiska, vilket vi ser när vi tar fram deras graf: Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Figur 3: 331 Visserligen har de alla samma nollställen, men däremellan beter de sig på olika sätt, eller hur. För att kunna bestämma en polynom av tredje graden behöver man 4 punkter på kurvan. Du använde bara 3 i ditt försök. Nu går vi tillbaka till din ansats: f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4) f(x) = x 3 + 3x 5x + 1 Som du ser har x 3 koefficienten 1, bara en av alla funktioner med de tre nollställena. Alltså ska vi finna ett m, så att f() = m( ) = 5 4m = 5 m = 5/4 Om vi multiplicerar ditt resultat med m = 5/4, så får vi just det resultat som jag fick från ekvationssystemet. f(x) = 5 4 x x x 5 TB: Punkten (1, 0) ligger verkligen på kurvan eftersom f(1) = 1 1 = 0. Funktionen f(x) = x x har derivatan f (x) = 1 x. Speciellt är då f (1) = 1 Tangenten till kurvan i den aktuella punkten har lutningen k t = 1. Normalen har då k n = 1 eftersom vi vet att k t k n = 1. Vet man k-värdet och en punkt kan man bestämma linjens funktion f(x) = kx+m ger oss 0 = 1 1+m. m = 1 och vi kan skriva funktionen f(x) = x 1 eller y = x 1 som vi gjorde förr. Sen då? KTH: Det blir en ekvation. Kan du ställa upp den. TB: Vi är på jakt efter en punkt som finns på både kurvan och normalen. Borde Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 33 bli: x x = x 1 x = 1 x 1 = 1, x = 1 ger punkterna (1, 0) och ( 1, ). Den första hade vi ju redan från början, den andra är alltså svaret. TB: En punkt och en funktion är given, Q(1.5, 0) respektive f(x) = x. Jag förstår att det finns många punkter på kurvan och att avståndet från Q till dessa punkter varierar och att det bör finnas ett minsta. Men jag har ingen aning om hur jag ska lösa problemet. KTH: Accepterar du detta skrivsätt P(x, x)? Det beskriver samtliga punkter på kurvan, eller hur? Hur bestämmer man avståndet mellan två punkter i koordinatsystemet? TB: Ingen aning. KTH: Jag förstår det. Vi har inte berört detta tidigare i den här kursen, men troligtvis kommer du att känna igen det jag kommer att berätta nu. Först över till en figur: Figur 4: Vi ska beräkna avståndet mellan punkterna (, ) och (4, 5). y = 5 = 3 och x = 4 =. x och y är katetrar i en rätvinklig triangel. Med hjälp av Pythagoras sats, c = a + b, kan vi räkna ut hypotenusan, som samtidigt är det sökta avståndet. + 3 = 13 Mer generellt kan vi nu skriva formeln för avståndet mellan punkterna (x 1, y 1 ) och (x, y ) som (x1 x ) + (y 1 y ). Kan du nu använda detta för att lösa vårt problem. TB: Jag börjar så här. Avståndet a mellan en punkt vilken som helst på kurvan och Q kan skrivas a(x) = (1.5 x) + (0 x). Jag plottar funktionen för att se vad jag håller på med Det är helt klart så att det finns ett minimum att det finns kring x = 1. Ett minimum finner man genom att derivera funktionen och ta reda på var derivatan är 0. Men det känns inte lätt att derivera den här funktionen. KTH: Det har du rätt i. Vi har ännu inte nått fram till de deriveringsregler som Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 behövs för det. Derivatan blir så komplicerad som a (x) = x 9 8x + 4x Man ska nu inse att om man kvadrerar funktionen a(x) så kommer man fortfarande att få ett minimum i samma x-koordinat. Grafen av båda kurvorna visar detta: Figur 5: Så om du accepterar detta kan du nu gå vidare TB: Jag ska nu istället derivera denna funktion 336 a (x) = ( 3 x) + ( x ) a (x) = x 3x + x a (x) = x a (x) = 0 då x = 0 x = 1 Jag läste av grafen ganska bra eller hur? Punkten på kurvan vi är på jakt efter är (1, 1). Avståndet mellan punkterna får vi genom a(1) = ( 3 1) + (0 1) = 5/ En ganska jobbig uppgift. TB: Den här kommer jag att klara. Vi har funktionen f(x) = ax +bx+c. Derivatan som vi kommer att behöva är f (x) = ax + b. a, b och c är alla obekanta och ska bestämmas. Följande är givet f(1) = 4, f(0) = 0 och f (0) = 1. Man får ut två ledtrådar ur tangerar linjen y = x i origo. Linjen y = x har ju som bekant lutningen k = 1. Nu får vi ett ekvationssystem: f(1) = 4 a + b + c = 4 f(0) = 0 c = 0 f (0) = 1 b = 1 Huvudräkning ger funktionen f(x) = 3x + x Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 KTH: Bra 338 TB: En sådan där jobbig uppgift igen. Jag fattar ingenting. KTH: Vad krävs för att en funktion ska ha två extrempunkter? TB: Att derivatan har två nollställen, eller åtminstone två nollställen. Det kan ju dessutom finnas terrasspunkter. KTH: Räcker det inte för att du ska kunna komma på något. TB: Jag deriverar f(x) = x 3 + ax + bx och får f (x) = 3x + ax + b. Det är alltså ekvationen f (x) = 0, som ska ha två rötter. Det har ju alltid en andragradsekvation. KTH: Nej, inte alltid två reella rötter. Dessutom kan det finnas en dubbelrot. TB: Sen då? 3x + ax + b = 0 x + ax 3 + b 3 = 0 x = a 3 ± a 9 3b 9 KTH: Hur stor får b vara för att det ska finnas reella rötter? TB: 3b får inte vara större än a, då blir det negativt under rottecknet. 3b får heller inte vara lika med a, för då blir det en dubbelrot, leder till terrasspunkt och endast en extrempunkt. Svaret är alltså a > 3b Håkan Strömberg 17 KTH Syd

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029

Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok. Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Matematik 5000, kurs 3b Grön lärobok Läraranvisning Textview Verksnummer: 40029 Läraranvisningens innehåll Läraranvisningen är till för att du som undervisande lärare ska få information om hur den pedagogiskt

Läs mer

Lathund, geometri, åk 9

Lathund, geometri, åk 9 Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer