Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}"

Transkript

1 Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att gå igenom under föreläsningen. Något av innehållet kan ses som komplement till boken. Talmängder Naturliga tal kallas de tal som tillhör mängden Heltal kallas de tal som tillhör mängden N = {0,1,,,...} Z = {...,, 1,0,1,,...} Rationella tal kallas de tal som tillhör mängden { a } Q = b : a,b Z Reella tal kallas de tal som kan uttryckas med hjälp av ändligt eller oändligt många decimaler! Mängden av reella tal betecknas med R Irrationella tal kallas de tal som är reella men ej rationella. Komplexa tal kallas de tal som tillhör mängden C = {a+bi : a,b R} Påståenden: N Z, mängden N är en delmängd av mängden Z. Z innehåller ju förutom alla positiva heltal också de negativa heltalen som inte finns i N. Z Q. Eftersom bland annat 7 1 som rationella sätt. och 1 är rationella tal förstår vi att heltal kan skrivas Q R. Till exempel talet kan inte skrivas som ett rationellt tal och alla tal i Q är reella. R C. Så fort man väljer b = 0 har man ett reellt tal! De komplexa talen behöver vi inte bry oss om i denna kurs. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Intervall {x : a x b,x R} Uttrycket ovan betecknar en mängd, som kan ses som ett intervall på tallinjen. Så här uttalar man det: Mängden av reella tal x, sådana att x är större än eller lika med a och samtidigt mindre än eller lika med b Tecknen { och } vittnar om att det gäller en mängd. Kolon : kan med fördel uttalas som sådana att. [4,10] = {x : 4 x 10,x R} Detta är ett slutet intervall. Slutet därför att gränserna ingår i mängden. (,4) = {x : < x < 10,x R} Detta är ett öppet intervall, därför att gränserna inte ingår i mängden M ovan. 10 M, men M [,15) = {x : x < 15,x R} Detta är ett halvöppet (eller halvslutet). Det är en bra idé att använda runda parenteser då gränsen inte tillhör intervallet och hakparenteser då gränsen ingår i intervallet. [10,19) = {x : 10 x < 19,x N} Mängden består av talen 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, alltså ett heltalsintervall. Denna typ av intervall eller mängder är mindre vanliga i denna kurs. Andragradsekvationen Likheter och olikheter Den här formeln känner du förstås redan till, där vi har för avsikt att lösa polynomekvationen av andra graden x +px+q = 0 Diskriminanten kallas uttrycket rottecknet x 1, = p ± (p ) q ( p Dess värde avgör vilken typ av rötter vi får ) q p 4q 4 Diskriminanten Rötterna > 0 Två reella rötter = 0 Två lika reella rötter < 0 Komplexa rötter Håkan Strömberg KTH Syd

3 Eftersom komplexa tal inte ingår i kursen behöver du inte kunna gå vidare då diskriminanten< 0. Det finns alternativa formler. Om man till exempel ska lösa en ekvation av utseendet ax +bx+c = 0, där a 1 kan det vara bra att direkt använda denna x 1, = b± b 4ac a Dessutom kan man använda kvadratkomplettering, men den metoden tar vi inte upp här. Exempel 1. Lös ekvationen 4x x 1 4 = 0 4x x 1 4 x x x 1 = = 0 = 0 x = 1 8 ± (1 8 x = 1 8 ± x = 1 8 ± 5 8 x = ) Olikheter Olikheter behandlas på i princip samma sätt som likheter (ekvationer), med det tillägget att multiplikation/division med negativt tal vänder olikheten! Exempel. Lös olikheten 5 x >, det vill säga för vilka x är olikheten sann?. Svar: Olikheten är sann så länge x < 1 5 x > x > ( 1) ( x) > ( 1) x < x < 1 Lite värre blir det om man har en rationell olikhet Exempel. Lös olikheten x x 1 Innan vi försöker lösa problemet ska vi titta på grafen till funktionen f(x) = x x 1 Håkan Strömberg KTH Syd

4 Grafen har två delar. Dessutom är linjen y = inritad. I x = 1 finns en vertikal asymtot. När x 1 från vänster går y. Vi kan avläsa i kurvan att olikheten är sann i det ungefärliga intervallet 0.5 < x < 0.7 Men hur löser man nu detta exakt? Starta med att samla allt på ena sidan och på ett bråkstreck x x 1 x x 1 0 x x 1 (x 1) x 1 x (4x ) x 1 x x Olikheten gäller nu istället 0. Vi tar reda på för vilka värden täljare respektive nämnare är = 0 och gör sedan ett så kallat teckenstudium av olika intervall på x-axeln. x 1 x x x x 1 odef + 0 Från tabellen ser vi att uttrycket är 0 då 1 < x Exempel 4. Lös olikheten 1 Faktorisera polynomet Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen x x 6 < 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+) < 0. x < x = < x < x = x > x 0 + x (x )(x+) Svar: < x < Exempel 5. Lös olikheten 4 x x+ 0 1 Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x < x = < x < 4 x = 4 x > 4 4 x x x x+ odef + 0 Svar: < x 4 Exempel 6. Lös olikheten x +x+1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x+1) (första kvadreringsregeln). Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x+1) x 1 0 odef + Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 Exempel 7. Lös olikheten x x x +x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren Faktorisera nämnaren Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x+1)(x ). Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = och x = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+4). Vi kan nu skriva om olikheten (x+1)(x ) (x )(x+4) 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < x = < x < x = x > x x x x 0 + (x+1)(x ) (x )(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < eller x (se grafen nedan) Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Exempel 8. Lös olikheten x+1 x 1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x+1 x ; x+1 x 0; x+1 x (x ) 0; x 10 x x 0 x < x = < x < 5 x = 5 x > 5 10 x x x x odef + 0 Svar: < x 5 Absolutbelopp Följande definition har ni sett tidigare: { a om a 0 a = a om a < 0 Tolkning: a b är avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen. Exempel 9. Lös olikheten Först en grafisk lösning x < 7 Avståndet mellan och x ska vara < 7. Vi kan direkt från figuren utläsa svaret 4 < x < 10 Vi kan även lösa uppgiften rent algebraiskt x < 7 7 < x < 7 4 < x < 10 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Ekvationer med absolutbelopp Exempel 10. Lös ekvationen x+ = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = är x+ = 0., Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < (x+) = 5 x = 8 Ja x x+ = 5 x = Ja Svar: x 1 = 8 och x = Exempel 11. Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 De två ekvationerna med gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6) x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Exempel 1. Lös ekvationen x+1 4 x + x = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1, De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x = och x = 4 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 6 Ja 1 x < (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 4 Nej x < 4 (x+1) (4 x)+(x ) = 0 x = Ja x 4 (x+1)+(4 x)+(x ) = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x = (se grafen nedan) Exempel 1. Givet ett intervall x 1 < x < x, som vi vill uttrycka på formen x + a < b. uttryck a och b med hjälp av x 1 och x. Vi börjar bakifrån och översätter x +a < b till b < x +a < b, som i sin tur leder till b a < a < b a. Alltså är x 1 = b a och x = b a. Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Vi har nu ett ekvationssystem där vi ska lösa ut x 1 och x { x 1 = b a x = b a Ur den andra ekvationen får vi a = b x. Vi substituerar a med detta uttryck i första ekvationen och får x 1 = b (b x ). När vi löser ut b får vi Detta insatt i den andra ekvationen ger a b = x x 1 a = x +x 1 Använder vi formlerna på till exempel intervallet (8,16) får vi x 1 < 4. Olikheter med absolutbelopp Exempel 14. Lös olikheten x + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x = 0 och det x för vilket x 4 = 0 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x och ett då x > x. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. 1 x 1 = och x = 4 Intervallen är x <, x 4 och x > 4. Då Olikhet Lösning Intervall x < (x ) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < x < 4 (x ) (x 4) < 8 Alltid x < 4 x > 4 (x )+(x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Exempel 15. Lös olikheten x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x = och x = 5 De fyra intervallen är x < 0 0 x < x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (x 4) x < (5 x) x > 1 1 < x < 0 0 x < (x 4)+x < (5 x) Alltid 0 x < x < 5 (x 4)+x < (5 x) x < 9 4 x < 9 4 x 5 (x 4)+x < (5 x) x < 1 Inget x Svar: 1 < x < 9 4 Här några extrauppgifter att lösa Extra 1. Lös ekvationen x 6 = 0. Svar: x 1 = 8,x = 4 Extra. Lös ekvationen x x 1 + x+1 = 11. Svar: x = Extra. Lös olikheten x < 4 x +. Svar: Saknar lösning Extra 4. Lös olikheten x+ x < x+1. Svar: x <,1 < x < Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Huvudräkning 1. Vet du med säkerhet hur dessa fyra relationsoperatorer uttalas och står för > < Huvudräkning. Vilka av dessa två uttryck är oftast minst? a) x + y b) x+y Huvudräkning. Vilket gradtal har denna ekvation och vilka är rötterna? Huvudräkning 4. Lös olikheten x < 0 (x )(x+) = 0 Huvudräkning 5. Vilket värde ska a ha för att ekvationen ska ha en dubbelrot? x +ax+1 = 0 Läxa a) Från {x : x 4 6} har vi att lösa x 4 6. Svar: [, 10] x x 4 6 x 10 Läxa. 1.7 b) Från {x : x+ < } har vi att lösa x+ <. Svar: ( 5, 1) x+ < < x+ < 5 < x < 1 Läxa. 1.7 c) Från {x : x 1 7} har vi att lösa x 1 7. Svar: [, 4] x x x 8 x 4 Läxa d) Från {x : x 4 + < } har vi att lösa x 4 + <. Svar: ( 4, 0) x 4 + < < x 4 + < 6 < x 4 < 0 4 < x < 0 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 Läxa a) Använder vi formlerna från exempel 1 får vi direkt genom Svar: x 4 b = x x 1 b = 7 1 Läxa b) På samma sätt Svar: x+ 1 b = ( ) ( 4) a = x +x 1 = a = 7+1 = 4 = 1 a = ( )+( 4) Läxa c) b = 6 17 = 9 a = 17+6 Vi multiplicerar alla led med för att slippa nämnaren. Svar: x 4 < 9 Läxa d) b = 4 ( 1 ) = 5 8 = 4 = 4 a = +( 1 ) = 1 8 Vi multiplicerar alla led med 8 för att slippa nämnaren och får Svar: 8x 1 5 Läxa a) Anta att a = 0, b = 1, c = och d = 10. Då gäller a < b och c < d men a c < b d ger Det räcker att hitta ett motexempel för att påvisa att påståendet är falskt. Läxa b) a < b ger 0 < b a och c < d ger 0 < d c. Från a d < b c får vi 0 < b a+d c. Eftersom b a > 0 och d c > 0, så måste summan av dessa alltid vara > 0. Påståendet är sant. Läxa c) Om vi startar med med a < b och multiplicerar vänstra ledet med c, högra med d och givet c < d, så kan man tycka att olikheten förstärks. Eller om d > 0 så får vi c a c d < 1 detta ger d < a < b. Detta är dock inget fullständigt bevis! Om a = och b = 1 så gäller att a < b. Om c = 5 och d = så gäller c < d. Men ac bd eftersom 10 4 och påståendet är alltså falskt. Läxa d) Så länge a,b > 0 kan vi multiplicera båda leden med ab och enkelt få a < b, vilket var givet. Men vad händer om till exempel a = 1 och b = 1? Också detta påstående är falskt. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

14 I boken hänvisar man ofta till Maple och MatLab. Att använda datorer för att lösa matematiska problem är ett nytt synsätt som inte slagit igenom på de flesta högskolor. Personligen anser jag det självklart att en blivande högskoleingenjör ges möjlighet att stifta bekantskap med dessa kraftfulla verktyg och kommer därför under kursen att tipsa om hur många problem kan lösas med Maple. Observera dock att verktyget inte kommer att kunna användas vid examinationen. Du lär dig att hantera Maple därför att du är en nyfiken, blivande ingenjör. Alla studenter vid KTH kan gratis ladda ned Maple via programdistribution, progdist.ug.kth.se/public/, vilket jag rekommenderar att ni gör. Dessutom finns Maple installerat i vårt datasystem och kan nås från skolans samtliga arbetsplatser. Vi ska nu lösa andragradsekvationen från exempel 1. solve(4x^-x-1/4=0); Kommandot (eller funktionen) solve talar om för datorn att en ekvation ska lösas. Det är viktigt att raden avslutas med semikolon, men det är vi ju vana vid från C-kursen. Ekvationen skrivs sedan in på ett naturligt sätt. Exponent får man genom ˆ-tecknet. Använd högerpil för att kliva ned från exponenten. När man väl har lärt sig dessa tre små regler kan man lösa minst fyra andragradsekvationer i minuten och det blir alltid rätt! Datorn skriver ut , Snyggt och prydligt. Har man glömt bort formeln för hur man löser andragradsekvationer är det bara att skriva solve(x^+p*x+q=0,x); Vi bestämmer alltså inte koefficienterna i förväg. Vi måste skriva p*x i stället för px, som programmet upplever som en enda variabel. Dessutom måste vi ange med avseende på vilken variabel ekvationen ska lösas, alltså x. Vi får lika vackert denna gång 1 p+ 1 p 4q), 1 p 1 p 4q) som egentligen är en mer användbar omskrivning av formeln vi gav ovan. Kan man då lösa olikheter med Maple? De två exemplen ovan fixar vi enkelt med solve(x/(x-1)>=); som ger samma svar som i exempel. RealRange ska tolkas som ett intervall. Open betyder att den undre gränsen är öppen. Exempel 9 löses lika enkelt endast med det tillägget att absolutbeloppet skrivs abs solve(abs(x-)<7); Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 Lös olikheten 6+x x < 4 14x x +x solve(6+x-x^<4-14x-x^+x^); ger svaret, något omskrivet eller då ( +) < x < x > Förvissa dig om att du kan tolka utskriften från Maple. För att plotta grafen från exempel 1 skriver man plot(abs(x+1)-*abs(4-x)+abs(*x-),x=-7..5); Med dessa enkla kommandon kan du kontrollera de flesta av de uppgifter som finns på dagens läxa. På hemsidan finns en manual Under denna rubrik kommer till varje föreläsning att presenteras ett problem som bygger på logiskt tänkande och mer problemlösning än många av de matematiska problem vi kommer att lösa. Dela bröd och pengar Två luffare, A med bröd och B med 5 bröd, hade just satt sig vid vägkanten för att äta, då en tredje luffare, C, kom förbi. C hade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8 kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A och B, om maten delats lika mellan de tre luffarna? Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Svar huvudräkning 1. > större än mindre än eller lika med större än eller lika med < mindre än Svar huvudräkning. x + y kan aldrig vara större än x + y Svar huvudräkning. Det är förstås en andragradsekvation med rötterna x 1 = och x = Svar huvudräkning 4. Den har ingen lösning, x kan aldrig vara mindre än 0. Svar huvudräkning 5. a = ger x +x+1 = 0 som i sin tur kan skrivas (x+1) = 0. Ekvationens två rötter är x 1, = 1 Håkan Strömberg 16 KTH Syd

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L. Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7 Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100 8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.

Läs mer

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1 Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................

Läs mer

a = a a a a a a ± ± ± ±500

a = a a a a a a ± ± ± ±500 4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1

Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1 Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Lösa ekvationer på olika sätt

Lösa ekvationer på olika sätt Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.

Läs mer

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 = Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför

Läs mer

Avsnitt 2, introduktion.

Avsnitt 2, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59 Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:. KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda

Läs mer

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra

Läs mer

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori 9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om

Läs mer

Formelhantering Formeln v = s t

Formelhantering Formeln v = s t Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

LAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M

LAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e 5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c) 1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck 1 Algebraiska uttryck, Gränsvärden Förkortning och förlängning av rationella uttryck

Läs mer

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) 1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna

Läs mer

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats: Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Ekvationer och system av ekvationer

Ekvationer och system av ekvationer Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer