Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
|
|
- Elias Åström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av (x + h) 7(x + h) (x 7x ) (x + h) 7(x + h + hx) (x 7x ) x + h (7x + 7h + 14hx) x + 7x x + h 7x 7h 14hx x + 7x h 7h 14hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre 4hx än 4xh c) Vi är på jakt efter ett av de tre mönstren: 1111 d) Första kvadreringsregeln x + xy + y = (x + y) Andra kvadreringsregeln x xy + y = (x y) Första kvadreringsregeln x y = (x + y)(x y) Vi ska alltså använda någon av dessa regler baklänges. 50a + 40a + 8 (5a + 0a + 4) (5a + ) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. 5x (x + 1)(x 3) = 3(x + 4)(x 4) 5x (x 6x + x 3) = 3(x 4x + 4x 16) 5x x + 5x + 3 = 3x 48 5x x 3x + 5x = 48 3 x = 51 5 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge
2 Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 51/5 är lika med 10., som det står i bokens facit Givet y(x) = x 0.41x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) = = y() = = 4.71 y(.5) y() = = Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur 1: Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x = Vi ska här hantera tillverkningskostnad T, vinst V och försäljningspris P då man tillverkar q enheter. V(q) = qp T(q). Den totala omsättningen vid försäljning av q enheter får man genom qp, som anger hur mycket pengar man får in om priset är P kr/enhet. I detta speciella fall är P = 90 kr/enhet vilket ger formeln V(q) = 90q ( q + 0.3q ) = 90q q 0.3q = 75q q Återigen en graf som extra bonus: Vad säger den? Att det finns en högsta total vinst som man får om man tillverkar ungefär 15 enheter då vinsten verkar bli omkring 4000 kr. Om man tillverkar fler än 30 enheter blir det förlust! Vad det beror på kan vi bara gissa. För dyr lagerhållning eller för stort slitage på maskiner (eller personal!) Håkan Strömberg KTH Syd Haninge
3 Figur : 1115 Kostnaden för att tillverka x enheter får vi genom formeln K(x) = x+0.x Kostnaden för x + 1 enheter följaktligen genom K(x + 1) = (x + 1) + 0.(x + 1). Här vill man att vi ska räkna ut K(x + 1) K(x) vilket vi får genom: (x + 1) + 0.(x + 1) ( x + 0.x ) (50x + 50) + 0.(x + x + 1) x 0.x x x + 0.4x x 0.x x Observera att vi inte får glömma parenteserna när vi ska subtrahera ett uttryck från ett annat. Tolkningen av detta är inte lätt. Har vi tillverkat 100 fjädrar kostar det 90.0 kr att tillverka den 101:a. Har vi tillverkat 1000 fjädrar kostar det kr att tillverka den 1001:a. Det blir dyrare och dyrare per fjäder ju fler man tillverkar! Finns det någon verklighetsbakgrund? 1119 a) Nu gäller det andragradsekvationer ett tag framåt och därmed dessa formler, som du bör kunna utantill, åtminstone en av dem: x + px + q = 0 ax + bx + c = 0 x = p (p ) ± b ± b 4ac q x = a I den vänstra formel är x -koefficienten 1. Den högra formeln är därför mer allmän. Visst kan man alltid överföra ekvationen från den högra till den vänstra genom att dividera samtliga termer med a. Här behöver vi dock inga formler. x = 81 har två rötter x 1 = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna till 1/. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. 111 d) Först den klumpiga vägen: (x 3)(x + 4) = 0 x + 4x 3x 1 = 0 x + x 1 = 0 x 1 = 3 x = 4 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge
4 Sista steget fixar vi med formeln: x = 1 ± (1 ) + 1 x = 1 ± x = 1 ± x = 1 ± 7 x 1 = 3 x = 4 Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x = 4 där har vi de två rötterna. 11 De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x 1 och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x 1 x och q = x 1 x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x 4x + 3 = 0 x 1 = 3 x = 1 x + 8x 9 = 0 x 1 = 1 x = 9 y 3y 4 = 0 y 1 = 1 y = 4 t + 5t + 4 = 0 t 1 = 1 t = 4 Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. 113 d) Lös ekvationen 3y 1y + 15 = 0. Den här ekvationen med 3 som x -koefficient lämpar sig för den mer allmänna formeln om den inte vore så snäll. Dividerar vi båda sidor med 3 får vi y 4y + 5 = 0. Med formeln får vi: y = ( 4) y = ± 4 5 (( 4) ) ± 5 Sen då! Den var snäll i början men eftersom vi fått ett negativt tal under rottecknet så blir vi tvungna att ge upp här och säga att ekvationen saknar lösning. Egentligen, vilket kommer att visa sig i kommande kurser, är rötterna x 1 = + i och x = i. i används som ett substitut för 1. Men just nu är det en helt annan historia. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge
5 117 Ekvationen 0.x + 50x 7000 = 0 övergår till x + 50x = 0 när vi dividerar med 0.. Inte så lätt att direkt se rötterna även om de troligtvis är heltal, så vi använder formeln: x = 15 ± 15 ( 35000) x 1 = 350 x = 100 Eftersom det inte går att producera ett negativt antal fjädrar så måste svaret vara 100 stycken. 118 Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = x + 5x. Efter 1 minuter till exempel finns det N(1) = = Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många Detta ger oss ekvationen: x + 5x = x + x = 00 x + 14x 100 = 0 x = 7 ± x 1 = 5.1 x = 19.1 Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5.1 minuter. 119 a) För att kunna lösa ekvationen x (x + 1) 64(x + 1) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x = 1? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x 1 = 1. Dividerar vi nu båda sidor med (x + 1) återstår x 64 = 0 eller x = 64. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre d) Ekvationen 3x 5 = x 1 ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i ekvationen: 3x 5 = x 1 ( 3x 5 ) = (x 1) 3x 5 = x + 1 x x 5x + 6 = 0 x 1 = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet ovan. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x 1 = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 = 1. Detta gäller även för x = 3 som ger = 3 1. I figur 3visar vi grafen d) Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande en rot kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge
6 Figur 3: s s = ( s s ) = 0 (s + 13)(7 s) = 4 s + 6s 7 = 0 s 1 = 3 8 = (s + 13)(7 s) 64 = (s + 13)(7 s) 64 = 7s s s s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s 1 = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s 1 = = 4 = s = 9 ( 9) ( 9) = 4 Alltså är det bara s 1 = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f 1 (s) = s s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: Figur 4: Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge
7 Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s s ) och f4 (s) = 4, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi Figur 5: En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen a) Vi ger oss nu på en annan svettig historia. (4x + 1) ( ) x = 4x + 1 x (4x + 1) = x 4x x 4x x (4x + 1) = (4x + 1) ( ) x 4x x = x(4x + 1) + (4x + 1) x = 4x + x + (16x x) x = 4x + x + 3x x 0 = 35x + 17x + Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge
8 x + 17x 35 + = 0 35 (17 x = 17 ) 70 ± x = ± x = ± 4900 x = ± 3 70 x 1 = 0 70 = 7 x = = 1 5 En lämplig faktor att multiplicera båda sidorna av ekvationen är (4x + 1). När denna faktor fått verka på båda sidorna finns inte längre någon nämnare kvar. När vi utvecklat parenteserna får vi en andragradsekvation b) För att faktorisera andragradsfunktionen g(x) = x 5x + 6 måste vi lösa andragradsekvationen x 5x + 6 = 0. Vi är nu en viss vana vid att snabbt se att rötterna måste vara x 1 = och x = 3. Vi kan nu skriva andragradsekvationen som två faktorer (x )(x 3) = 0). Vilket leder till svaret g(x) = (x )(x 3) 1154 b) En liknande uppgift, f(t) = 4t 4t 1 ska faktoriseras och ekvationen 4t 4t 1 = 0 ska lösas. Vi väljer här att använda den mer allmänna formeln: a = 4, b = 4 och c = 1 ger ax + bx + c = 0, x = b ± b 4ac a x = 4 ± 4 4 ( 4) 1 ( 4) Vi får här en dubbelrot x 1, = 1/. Ekvationen kan skrivas Utvecklar vi dessa parenteser får vi ( t 1 ) = 0 t t som inte överensstämmer med den ursprungliga funktionen. Men det kommer den att göra om vi multiplicerar uttrycket ovan med ( 4). ( 4)(t t ) = 4t + 4t 1 ( Vi kan nu skriva funktionen faktoriserad som 4 t 1 ) Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge
9 Figur 6: 1157 b) Från boken får vi denna graf. I uppgiften gäller det att finna funktionen. Vi måste slå fast att det handlar om en andragradsfunktion f(x) = ax + bx + c Om vi betraktar funktionens nollställen x = och x = 6 och inte tar hänsyn till någon den tredje punkten (0, 18) finns det oändligt många funktioner av andra graden som har dessa nollställen. Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge
10 Figur 7: Här ser vi tre av dem: f 1 (x) = x 4x 1, f (x) = 3x 1x 36, f 3 (x) = 3x / 6x 18. En av dem är vi på jakt efter. Det visar sig att vi kan bryta ut olika konstanter i alla uttrycken. f 1 (x) = x 4x 1, f (x) = 3(x 4x 1), f 3 (x) = 3/(x 4x 1). Använder vi nu nollställena från figuren kan vi skriva funktionen f(x) = a(x + )(x 6), där a är en konstant sådan att funktionen går genom punkten (0, 18). f(0) = a ( 6) = 1a. I figuren ser vi att f(0) = 18, alltså 1a = 18, a = 3/. Det är alltså f 3 (x), som är svaret a) Figuren i boken visar en tredjegradsfunktion, f(x) = a(x + )(x 3)(x 8) kan vi skriva den. a kommer nu att bestämmas av den fjärde punkten (0,4). f(0) = 4. Från vår ansats får vi f(0) = a ( 3) ( 8) = 48a. Detta ger 4 = 48a eller a = 1/. Nu kan vi skriva funktionen på faktoriserad form (x + )(x 3)(x 8) f(x) = 1159 Nollställena till funktionen p(x) = x (a+b)x+ab. Vi ska lösa ekvationen x (a+b)x+ab = 0 med avseende på x. x (a + b)x + ab = 0 x = a + b (a + b) ± ab 4 x = a + b a + b + ab 4ab ± 4 x = a + b a + b ab ± 4 x = a + b ± (a b) a + b ± (a b) x = x 1 = b x = a Detta är ett bevis på det knep vi tidigare använt: p = x 1 x och q = x 1 x i ekvationen x + px + q = 0. Håkan Strömberg 10 KTH Syd Haninge
Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merAlgebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs mer1.1 Polynomfunktion s.7-15
1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs mer10 Derivator och tillämpningar 1
10 Derivator och tillämpningar 1 10.1 Dagens Teori Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Övning 10.1
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merNpMa2a ht Max 0/0/3
14. Max 0/0/3 Godtagbar ansats, t.ex. sätter ut lämpliga beteckningar och tecknar någon ekvation som krävs för bestämning av a +1 A PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( a = 12 ) +1 A PL
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merRäta linjens ekvation & Ekvationssystem
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merBedömningsanvisningar
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merAvsnitt 4, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3
Läs merLösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.
Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja
Läs mer