f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Transkript

1 Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten, eller folkmängden för de två tidpunkterna f(t 1 ) och f(t ) och bilda den genomsnittliga förändingshastigheten genom f(t ) f(t 1 ) = y y 1 = y t t 1 t t 1 x Figur 1: Om funktionen har ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringshastigheten ganska lite. I figuren har vi: för punkterna ( 4, 0) och (3.5, 51.6) y x = ( 4) = = Men för punkterna ( 4, 0) och (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5. y x = ( 4) = 0 7 = 0 Ganska stor skillnad eller hur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringshastigheten Förändringskvoten = y x = förändingen över ett intervall intervallets längd Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 1 När Adam startar sin resa, kl 8 : 3 stod bilens vägmätare på km. När han var framme, kl 10 : 3 visade mätaren km. Beräkna Adams genomsnittliga hastighet i km/tim. Med hjälp av formeln v = s t kan vi bestämma den genomsnittliga hastigheten genom v = = 75 Svar: 75 km/tim OBS! Vi kan under denna färd inte säga någonting om den högsta eller lägsta hastighet Adam hållit under sin resa. Grafen visar den vinst v i tusentals kronor en affär har haft under tiden t Figur : veckor. Bestäm förändringen v i tusentals kronor från vecka 1 till vecka 5. Vi läser från grafen v(t) ut v(1) = 3 och v(5) = 4 vilket ger s = 4 3 = 1 Svar: Förändringen är 1000 kr. 3 För en funktion f(x) vet man att f(10) = 115 och f(15) = 0. a Bestäm ändringen i x, det vill säga x. b Bestäm ändringen i y, det vill säga y. c Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten Ändringen i x-led x = = 5. Ändringen i y-led, y = = 105. Den genomsnittliga förändringshastigheten blir då x y x = y = = 1 Håkan Strömberg KTH Syd

3 4 För funktionen y = f(x) vet man att f(10) = 3 och f(61) = 118. Beräkna och tolka den genomsnittliga förändingshastigheten y/ x om x mäts i år och y i kilogram. Givet f(10) = 3 och f(61) = 118. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (10, 3) och (61, 118) ligger på grafen och vi kan nu skriva y x = f(61) f(10) = Svar: Den genomsnittliga viktökningen är 1.69 kg/år 5 Stockholms folkmängd: 1.69 År Folkmängd År Folkmängd År Folkmängd Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten per år för folkmängden Från 1900 till 000 Under 1980-talet Under vilken period har förändringshastigheten varit som störst? Vi plottar punkterna i ett diagram Figur 3: a) Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1900 till 000 beräknar vi genom y = = x Stockholms folkmängd steg under denna period med i genomsnitt 4371 människor/år. b) Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt: y x = = Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Stockholms folkmängd steg under 90-talet med i genomsnitt 7590 människor/år. c) För att besvara denna fråga korrekt kan man bli tvungen att utföra 17 16/ = 136 beräkningar. När vi gjort det vet vi att stadens folkmängd steg som fortast under 1940-talet y x = = Stockholms folkmängd har stigit som mest under 40-talet med i genomsnitt 1540 människor/år. 6 I tabellen nedan ser du har många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön Skatt a Hur många procent i skatt betalar den som har en en månadslön på kr? b Samma fråga för den som tjänar kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den behålla som har månadslönen och får 100 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten och a) Den som tjänar betalar 7080 i skatt = 36.3% b) Den som tjänar betalar 7137 i skatt = 36.6% 1 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns här rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå. c) = 148 att jämföra med = 191. Det blir alltså = 43 kr över Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar och får lönen höjd till = = 57% Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 7 Beloppet sätts in på banken till 5% ränta år 000. Beräkna den genomsnittliga tillväxtshastigheten mellan åren 00 och 006. År 00 har kapitalet funnits på banken i år. Kapitalet har då stigit till = 1105 År 006 har kapitalet funnits på banken i 6 år. Kapitalet har då stigit till = Mellan åren 00 och 006 har den genomsnittliga tillväxthastigheten varit = 376 = Kostnaden K(x) för att producera x armbandsur ges av formeln Beräkna och tolka a K då x ändras från 00 till 300 K(x) = x( x) b K/ x då x ändras från 00 till 300 c K/ x då x ändras från 00 till 01 d K/ x då x ändras från 300 till 301 a) K(00) = ( ) = 6000 K(300) = ( ) = 3000 K = = 6000 b) K = = 60 x Kostnaden för att producera ett ur är i intervallet kr. c) K = = x Svar: Den 01:a klockan kostar 50.0 kr att producera. d) K = = x Svar: Märkligt nog blir det dyrare att producera den 301:a klockan än den 01:a, kr Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 9 En boll släpps från toppen av ett torn. Den sträcka bollen fallit efter t sekunder beräknas genom s(t) = 5t a Hur långt har bollen fallit efter 3 sekunder? b Hur långt tid tar det innan bollen fallit 15 meter. c Om tornet är 180 meter högt. Hur lång tid tar det då för bollen att nå marken? d Vilken medelhastighet har bollen haft från det den släpptes tills den nådde marken? e Vilken medelhastighet har bollen haft från det den fallit 180 meter till den når marken? f Försök uppskatta bollens hastighet precis då den når marken. Lösningar: a) s(3) = 5 3 = 45 meter b) Lösningen till ekvationen Svar: 5 sekunder c) Svar: 6 sekunder d) Svar: 30 m/s e) 15 = 5t t = 5 t = = 5t t = 36 t = 6 s t = = 30 s t = = 55 Svar: 55 m/s f) Vi kan bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179 meter. 179 = 5t t = t vilket ger s t = = 59.9 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 På samma sätt kan vi bestämma efter hur lång tid bollen fallit meter 179 = 5t t = t vilket ger s = t = Svar: Det verkar som hastigheten närmar sig 60 m/s ju mindre intervall vi väljer. Att detta antagande är korrekt kommer vi att kunna visa innan veckan är slut. 1 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y = f(x) = x 3 först i intervallet [3...6] och sedan i intervallet [ ]. Är det en tillfällighet att Y/ x är den samma för dessa två intervall? Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är då intervallet är [0...10] y = f(x) = x 3 Den genomsnittliga förändingshastigheten är y = 10 i intervallet [...3]. x f() = 35. Bestäm f(3). 4 Den sträcka s meter en kropp rör sig beror av tiden t sekunder enligt s(t) = 0t 5t. Bestäm medelhastigeten i intervallet från 0 till 1 sekund. 5 En cirkels area A beror på cirkelns radie r. Beräkna ändringskvoten då r ökar från 5.0 till 5. A r 1 y x y x = ( 6 3) ( 3 3) 6 3 = ( 10 3) ( ( 1) 3) 10 ( 1) = = = Nej det är ingen tillfällighet. Funktionen är en rät linje och då är förändingshastigheten lika med linjens k-värde. = Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 3 Vi får ekvationen 4 som har lösningen 5. Svar: f(3) = 5 s(1) s(0) = 1 0 Svar: Medelhastigheten är 15 m/s y x = = y 3 = 10 5 Vi använder formeln A(r) = πr och får (0 5) 0 1 = 15 A r = π(5.) π(5.0) Räkna bokens uppgifter: 105, 107, 110, 11, 114, 116, 117, a) Vi läser från grafen s(t) ut s(0.5) = 15 och s(3.5) = 40 vilket ger s = = Givet f(8) = 1 och f(11) = 4. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (8, 1) och (11, 4) ligger på grafen och vi kan nu skriva y x = f(11) f(8) 11 8 = = 4 Den genomsnittliga temperaturökningen är 4 C/h 110 Vi plottar punkterna i ett diagram Figur 4: Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1950 till 000 beräknar vi genom y = x = = Sveriges befolkning stiger med i genomsnitt människor/år. Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt. Vi försöker först med y x = = 61 0 = människor/år. Men se det stämmer inte, när vi jämför med svaret. OK, då testar vi detta: y x människor/år stämmer bättre. = = = a) x = = 300. En löneförhöjning på 60 kr. 11 b) Från tabellen får vi y(17000) = 5080 och y(16740) = 4980 och därmed y = = c) Marginalskatten får vi nu genom y/ x = 100/ % 114 b) Givet N(t) = t + 15t. Hur många fler bakterier kommer det att finnas i kulturen vid tiden t = i jämförelse med t = 1.5? Vi beräknar för detta N = N() N(1.5) = Tillväxthastigheten kan nu bestämmas genom N t = = I denna uppgift är funktionen K(x) = 5000+x( x) central. Kostnaden för att producera x enheter bestäms med hjälp av K(x). Vad kommer då att hända med kostnaderna när vi höjer antalet producerade enheter från 100 till 10? K = K(10) K(100) = = 40. När antalet producerade produkter ökas från 100 till 10 så ökar alltså kostnaden med 40 kr. K K(10) K(100) = = = 40 x = 1 Produktionskostnaderna för de sista 0 enheterna blir 1 kr/st. 117 V(t) = t + 8t. Här ser vi grafen. Givetvis finns det 0000 liter vatten i tanken vid t = 0. Att ta reda på när tanken är tom är samma sak som att ta reda på t då V(t) = 0. Detta är samma sak som att lösa andragradsekvationen t + 8t = 0, som har rötterna t 1, = 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter, vilket vi kan utläsa från grafen. För att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten under tiden t = 18 till t = tecknar vi V t = V() V(18) 18 = = 480 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Figur 5: Det rinner alltså ut 480 liter/minut i medeltal under den aktuella tiden. Vid tiden t = 0 är utströmningshastigheten som störst. Då t = 50 droppar det bara ur tanken. Det är tangentens lutning som anger den momentana hastigheten. 119 Nu är det funktionen v(t) = 13.3t 0.44t som gäller. Hastigheten för en viss bil under de 15 första sekunderna. v(0) = 0, bilen står stilla vid tiden t = 0. v(5) = 55.5 m/s, bilen har accelererat till 55.5 m/s efter 5 sekunder. v(6) v(4) = 8.9 Hastigheten har ökat från m/s till m/s på sekunder. Medelaccelerationen har under denna tid varit 8.9 m/s Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) och (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom k = ( 1) = 5 4 Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? Figur 6: Vi har en intuitiv känsla av att en tangent är en linje som snuddar vid kurvan. Den har bara en punkt gemensam med kurvan, till skillnaden från sekanten som har två. Här ska vi närma oss en lösning på problemet genom att dra ett antal sekanter. Vi utgår från samma funktion som ovan f(x) = x 3 + Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Figur 7: och vill veta riktningskoefficienten till tangenten i punkten (1, 7 ). Vi bestämmer 3 successivt riktningskoefficienten till ett antal sekanter och fyller i denna tabell x 1 x f(x 1 ) f(x ) k h När nu x kryper närmare x 1 så måste ju motsvarande sekanten får en riktningskoefficient som mer och mer liknar tangentens. Så om vi får gissa tangentens k-värde är ingen dålig gissning. k = 3 Om vi istället för x inför x 1 + h, där h kommer att anta värdena enligt tabellen ovan och kan skriva ett mycket viktigt uttryck för att bestämma sekantens riktningskoefficient f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) k = = x + h x h I vårt försök har vi låtit h bli mindre och mindre. Vi har låtit h gå mot 0. Mer om detta i nästa föreläsning. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 1 Bestäm lutningen för tangenten till kurvan y = f(x) = x 3 + i punkten (1, 7 3 ). Vi ska nu använda formeln från föregående sida: k = f(x + h) f(x) x + h x = Vi utvecklar uttrycket och får f(x + h) f(x) h = ) (x+h) (x h k = (x + h) x 3 h = x + xh + h x 3 h = xh + h 3 h = xh + h h(x + h) = = x + h 3h 3h 3 När vi nu låter h bli mindre och mindre, varför inte rent av h = 0 får vi k = x. Nu var det tangenten till punkten (1, 7 ) som var intressant. x = insatt i vårt resultat ger k = 1 3 = 3 Något vi tidigare gissat. Svar: Tangenten i punkten (1, 7) har k-värdet =. 3 3 Bestäm ekvationen till tangenten i förra problemet. Vi utgår från y = kx+m och har redan k. Återstår att bestämma m. Eftersom linjen (tangenten) går genom punkten (1, 7 ) får vi 3 som ger 7 3 = m m = = 5 3 Svar: Tangentens ekvation är y = 3 x Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 3 Den sträcka s(t) meter som en kropp rör sig på t sekunder beräknas enligt s(t) = 10t t. Beräkna a) s(4) b) s(4 + h) s(4 + h) s(4) c) h d) Vad blir värdet av uttrycket när h blir mycket litet och vad har du då räknat ut? a) s(4) = = 4 b) s(4+h) = 10(4+h) (4+h) = 40+10h 16 8h h = 4+h h c) 4 + h h 4 h h h( h) = = = h h h h d) När h är riktigt litet eller h = 0 blir uttrycket ovan. Jag har då tagit reda på att hastigheten efter 4 sekunder är. 4 Beräkna diffrenskvoten då f(x) = 3x x, x = 1 och h = 0. Vi vet att differenskvoten skrivs f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) h Vi får då 3(1 + 0.) (1 + 0.) (3 1 1 ) = Vad har jag beräknat? k-värdet för den sekant som går genom punkterna (1.,.16) och (1, ). Dessa två punkter ligger ju på kurvan eller hur? 5 Fyll i tabellen nedan då f(x) = x + 1, x = 5 och h varierar: h f(x + h) f(x) h Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 Vi har att sätta in olika h i formeln h (5 + h) + 1 (5 + 1) h f(x + h) f(x) h Vad har vi beräknat? När h blir mindre och mindre närmar sig differenskvoten k-värdet av tangenten till kurvan i punkten (1, ) 6 Vilket värde närmar sig följande differenskvot då h närmar sig 0, då s(x) = 10x + 4x s(10 + h) s(10) h Vi ställer upp differenskvoten f(x + h) f(x) h Utvecklar vi detta uttryck får vi = 10(10 + h) + 4(10 + h) ( ) h h + 4( h + h ) ( ) h = h h + 4h 500 h 90h + 4h h(90 + 4h) = = h h h 7 Normalen till en kurva i en given punkt på kurvan är en linje som går genom punkten och är vinkelrät mot tangenten. Vi har funktionen f(x) = x + 1 och vet att punkten (1, ) ligger på kurvan och att tangenten till kurvan i denna punkt har k-värdet. Bestäm ekvationen till normalen i denna punkt Först bestämmer vi ekvationen för tangenten och utgår från y = kx + m. Vi vet att k = och att en punkt på linjen är (1, ). Detta ger oss m genom ekvationen. = 1 + m = Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Tangentens ekvation blir y = x Alltså m = 0. För normalens ekvation utgår vi åter från y = kx + m. Denna gång vet vi att k = 1 och att punkten (1, ) också ligger på normalen. Vi kan nu bestämma m genom ekvationen = m m = 5 Svar: Normalens ekvation y = x + 5. Vi avslutar med grafen Figur 8: 1 Låt f(x) = 4x + x. Bestäm a) f(1) b) f(1 + h) c) f(a) d) f(a + h) Funktionen är f(x) = x. Gissa tangentens lutning i (0, 0). 3 Bestäm först nollställena till funktionen f(x) = x + x. Gissa därefter k-värdet till tangenten i det största av funktionens nollställen. 4 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten hos funktionen f(x) = x + x i intervallet [, ] 5 Den vägsträcka, s meter, som en kropp rätlinjigt rört sig på tiden t sekunder bestäms av följande formel. Beräkna medelhastigheten i tidsintervallet från t 1 = 1 till t = 15 s(t) = t Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 1 a) f(1) = = 4 + = 6 b) f(1 + h) = 4(1 + h) + (1 + h) = 4(1 + h + h ) + + h = c) f(a) = 4a + a d) 4 + 8h + 4h + + h = 4h + 10h + 6 f(a + h) = 4(a + h) + (a + h) = 4(a + ah + h ) + a + h = 4a + 8ah + 4h + a + h En inte allt för vågad gissning är k = 0. I nästa föreläsning kommer vi att visa detta. Grafen ger oss ytterligare känsla för att gissningen är korrekt Figur 9: 3 Först får vi funktionens nollställen genom att lösa ekvationen x + x = 0 1 x = 1 ± x = 1 ± 3 x 1 = x = 1 Vi ska nu alltså bestämma k-värdet till tangenten i punkten (1, 0). Vi tecknar differnskvoten f(x + h) f(x) f(1 + h) f(1) = = h h f(1 + h) f(1) h = (1 + h) + (1 + h) (1 + 1 ) h 1 + h + h h 3h + h h(3 + h) = = = 3 + h h h h När h närmar sig 0 närmar sig sekantens k-värde 3 som också är tangentens k-värde. = Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 4 Vi ställer upp följande uttryck f() f( ) ( ) = + (( ) + ( ) 4 = 4 + (4 ) 4 = 1 Svar: Den genomsnittliga förändingshastigheten är 1 5 Vi behöver s(1) = och s(15) = Nu kan vi ställa upp följande uttryck s(15) s(1) 15 1 = Svar: medelhastigheten är.41 m/s Räkna bokens uppgifter: 11, 14, 15, 16, 18, 19, 13, Fyra lutningar ska bestämmas, med hjälp av fem punkter som vi läser ut ur diagrammet. k AB = y x = y y 1 x x 1 = = 1 k BC = y x = y 3 y x 3 x = = 1 k CD = y x = y 4 y 3 x 4 x 3 = = 3 4 k DE = y x = y 5 y 4 x 5 x 4 = = 3 14 b) 15 a) f(x) x y x = f(6) f(4) 6 4 = y(3) y(1) 3 1 = 3 1 = 3 16 = ( ) 16 Som Du vet beräknas k-värdet med hjälp av formeln = 16 k = y x = y y 1 x x 1 Punkten A = (1, ) kommer att vara densamma hela tiden. Punkten B kommer att starta i (, 5) och sedan närma sig A. Vi ska nu se hur k-värdet då Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 ändras k = y x = f() 1 = 5 1 = 3 k = y x = f(1.5) = 3.5 = k = y x = f(1.1) =.1 = k = y x = f(1.01) = =.01 Vi har all anledning att tro att k-värdet kommer att närma sig i takt med att x-koordinaten hos B närmar sig. 18 Funktionen f(x) = x och (, 4) är given. Eftersom vi ännu inte kan derivera måste vi bestämma tangents k-värde numeriskt. k = y x = f( ) f(.00001) (.00001) = f( ) f(.00001) = Det är inte svårt att gissa att tangentens k-värde är 4. Tangentens ekvation ges förstås på formen y = 4x + m. Eftersom (, 4) är en punkt på linjen kan vi beräkna m genom 4 = 4 ( ) + m, m = 4. Tangentens ekvation är y = 4x 4 19 b) Vi använder samma teknik som i förra uppgiften bestämmer tangentens k-värde numeriskt. Funktionen är f(x) = 6x x och punkten på kurvan (4, 8). k = f(x) f(4.0001) f(4) = = =.000 x Vi gissar nu att k t =. Linjens ekvation y = x + m kan bestämmas genom att sätta in den punkt vi känner (4, 8). 8 = 4 + m ger oss m = 16 och linjens ekvation y = x Då funktionen är f(x) = x 3 får vi ändringskvoten f(a + h) f(a) h h + 4ah h = = (a + h) 3 (a 3) h h(h + a) h = (h + a) = a + h + 4ah 3 a + 3 h = 136 En linje som går genom punkten (1, 1) och har k-värdet k = 4 har ett m-värde 1 = m, m = 3. Detta leder till sekantens ekvation y = 4x 3 Vi ser att sekanten skär kurvan på två ställen och vi är på jakt efter den andra skärningspunkten. Vi får ett ekvationssystem { y = x y = 4x 3 Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 Figur 10: y är uttryckt på två sätt, vilket leder till andragradsekvationen x = 4x 3, med rötterna x 1 = 1 (har vi redan) och x = 3. När x = 3 är y = 9. Punkten vi söker är då (3, 9) Håkan Strömberg 0 KTH Syd

21 Nu har vi kretsat kring och förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi har uttrycket 8 + h och låter h gå mot noll innebär det att uttrycket närmar sig ett gränsvärde, 8. Verkar självklart. För att uttrycka detta skriver man lim 8 + h = 8 h 0 Vi uttalar detta: Gränsvärdet för 8 + h, då h går mot 0, är 8. De flesta gränsvärden vi kommer att syssla den närmaste tiden är självklara. Trots det ska vi lära oss att använda lim (limes), när vi uttrycker gränsvärden. Att alla gränsvärden inte är triviala inser vi då vi till exempel ser h lim h 0 Sätter vi in h = 0 får vi 0 och vad är det? Genom att successivt sätta in mindre 0 och mindre h, som vi har övat på alldeles nyligen till exempel h = får vi Med ett ännu mindre h = får vi h Ingen större ändring. Det är tydligt att gränsvärdet är ungefär eller kanske. Hur som helst är det bara en gissning. 1 6 Ett annat gränsvärde är x x 1 lim x 3 x + 3 Skulle vi få för oss att sätta in x = 3 direkt får vi återigen 0. Men den här gången 0 kan vi faktorisera täljaren och få (x 4)(x + 3)) lim = lim x 3 x + 3 x 4 = 7 x 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

22 Hur som helst är dessa två exempel klar överkurs vad gäller gränsvärden i denna kurs. Jag vill bara visa att gränsvärden inte alltid är triviala. Med denna korta introduktion till gränsvärden kan vi övergår till att definiera begreppet derivata. Det gränsvärde som differenskvoten f(a + h) f(a) h har, då h 0 kallas för derivatan av funktionen y = f(x) i punkten x = a och skrivs f (a) (uttalas f prim a). Nu kan vi skriva detta med lim på följande sätt f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h 1 Bestäm med hjälp av derivatans definition f (3) då f(x) = x Vi ställer upp följande uttryck f f(3 + h) f(3) (3 + h) 3 (3) = lim = lim = h 0 h h 0 h 9 + 6h + h 9 lim h 0 h Svar: f (3) = 6 = lim h 0 h(6 + h) h = lim h 0 (6 + h) = 6 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (5) då f(x) = 3x x Återigen samma typ av uttryck f f(5 + h) f(5) (3(5 + h) (5 + h) ) (3 5 5 ) (5) = lim = lim h 0 h h 0 h (15 + 3h (5 + 10h + h )) (15 5) lim = h 0 h (15 + 3h 5 10h h ) + 10 lim = h 0 h 7h h h( 7 h) lim = lim = lim( 7 h) = 7 h 0 h h 0 h h 0 Svar: f (5) = 7 Det kan kännas mödosamt att varje gång man ska derivera utnyttja derivatans definition, vilket ofta leder till ganska komplicerade beräkningar. Som tur är finns det deriveringsregler, som vi snart kommer att lära oss. Samtidigt är det mer än troligt att ett problem där man är tvingad att använda derivatans definition att dyka upp på KS och/eller tentamen. = Håkan Strömberg KTH Syd

23 3 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) = x Vi har denna gång inte bestämt oss för något speciellt värde på x. Återigen tecknar vi uttrycket f f(x + h) f(x) x + h x (x) = lim = lim h 0 h h 0 h h = lim h 0 h = 1 Resultat f (x) = 1. Det blev inte ens något h över! Vad står f(x) = x för? Hur ska vi tolka resultatet? 4 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) = x Man behöver inte som i tidigare exempel skriva om hela uttrycket med lim och allt utan kan till att börja med förenkla den uppställa differenskvoten f(x + h) f(x) h = (x + h) x h = x + xh + h x h = h(x + h) h = x+h Nu har vi förenklat uttrycket och själva limesövergången blir som oftast trivial. Vi skriver lim(x + h) = h 0 Svar : f (x) = x 5 Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) = x 3 Diffrenskvoten blir f(x + h) f(x) h = (x + h)3 x 3 h (x + h)(x + h) x 3 = (x + h)(x + xh + h ) x 3 = h h x 3 + 3x h + 3xh + h 3 x 3 = h(3x + 3xh + h ) = 3x + 3xh + h h h Javisst, jobbiga räkningar. Gränsvärdesövergången ger denna gång Svar: f (x) = 3x lim h 0 (3x + 3xh + h ) = 3x 6 Nu blir det ännu värre! Bestäm genom att utnyttja derivatans definition f (x) då f(x) = x 4 Diffrenskvoten blir f(x + h) f(x) h = (x + h)4 x 4 h Räkningarna är ju inte så intressanta så vi hoppar till slutet = 4x 3 h + 6x h + 4xh 3 + h 4 h = 4x 3 + 6x h + 4xh + h 3 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

24 Gränsvärdet tecknar vi nu Svar: f (x) = 4x 3 lim h 0 (4x3 + 6x h + 4xh + h 3 ) = 4x 3 7 Vågar man nu en gissning. Bestäm f (x) då f(x) = x 5 En kvalificerad gissning är f (x) = 5x 4. Vad kan man då säga om f (x) då f(x) = x n (där n är ett heltal 1). Förstås är f (x) = n x n 1 1 Bestäm med hjälp av derivatans definition f (1) då f(x) = x Bestäm med hjälp av derivatans definition f () då f(x) = x 5 3 Bestäm med hjälp av derivatans definition f (x) då f(x) = 3x Bestäm med hjälp av derivatans definition f (x) då f(x) = (x + 1) 1 Ställ först upp differenskvoten f(1 + h) f(1) h Nu kan vi skriva Svar : f (1) = = (1 + h) 1 h Ställ först upp differenskvoten Nu kan vi skriva Svar : f () = 4 f( + h) f() h 4 + 4h + h h 3 Ställ först upp differenskvoten f(x + h) f(x) h = 1 + h + h 1 h lim( + h) = h 0 = = ( + h) 5 ( 5) h = h(4 + h) h lim(4 + h) = 4 h 0 = = 4 + h (3(x + h) + 4) (3x + 4) h h( + h) h = = = + h 3x + 3h + 4 3x 4 = 3h h h = 3 Vi behöver ingen gränsövergång eftersom inget h finns kvar. Svar : f (x) = 3, som ju också är linjens k-värde Håkan Strömberg 4 KTH Syd

25 4 Ställ först upp differenskvoten f(x + h) f(x) h = (x + h + 1) (x + 1) ) h = x + xh + x + h + h + 1 (x + x + 1) h x + xh + x + h + h + 1 x x 1) h xh + h + h) = h Nu kan vi skriva Svar : f (x) = x + h(x + h + ) h lim(x + + h) = x + h 0 = = = x + + h Räkna bokens uppgifter: 0, 04b, 08d, 11a, 1, 15a 0 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) lim h 0 h (3 + h) 3 lim h 0 h h + 6h = lim h 0 h då f(x) = x = lim h h = 6 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten i punkten (3, 9). Eller helt enkelt kurvans lutning i denna punkt. Till sist ska vi komma fram till uttrycket: Funktionen f(x) = x har derivatan f (3) = b) Här får vi för första gången ett uttryck där vi inte kan förkorta bort h i nämnaren: (8 + h) 1/3 8 1/3 lim h 0 h Då h 0 går bråket mot 0. Denna division är inte utan vidare definierad, så 0 vi får ta till numeriska och grafiska metoder än så länge. Det finns anledning att tro att funktionen i fråga är f(x) = 3 x och att vi är intresserade av lutningen i punkten (8, ). Visst kan vi uppskatta tangentens lutning genom figur 11, även om det känns osäkert. Tänk på att skalan inte är densamma på x- och y-axeln. Kanske är k 0.1? Håkan Strömberg 5 KTH Syd

26 Figur 11: Bättre kommer det att gå om vi räknar ut k = (8 + h)1/3 8 1/3 h för olika värden på h. Vi börjar till exempel med h = 3 och låter h successivt närma sig 0, men förstås aldrig nå riktigt fram dit. En tabell visar h k h k Av denna tabell att döma tror vi oss förstå att gränsvärdet är , vilket också överensstämmer med det exakta värdet 1/1. Hur får man nu detta, jo genom att derivera funktionen f(x) och ur detta bestämma f (8) f(x) = x 1 3 har derivatan f (x) = x 3 3 som ger f (8) = 1 1 Detta sagt till dem som mins. Vi återkommer till detta senare och konstaterar att vi inte matematiskt klarar av alla gränsvärden. 08 d) Nu åter till en uppgift vars teknik vi behärskar. f(x) = x + 1 och vi ska beräkna f(3 + h) f(3) lim h 0 h Problemet är bara aningen svårare (?) än 0. Punkten på kurvan i vilken vi ska bestämma lutningen är (3, 10). Vi skriver nu (3 + h) + 1 (3 + 1) h + 6h lim = lim h 0 h h 0 h = lim h h = 6 11 a) Bestäm f (4) där f(x) = 5x + 3. Vilken typ av funktion är f(x)? Jo förstås en rät linje. k-värdet till linjen är 5 det vet vi från annat håll. Lutningen är densamma var på kurvan vi befinner oss. Även om vi direkt såg detta ska vi utföra beräkningarna med den teknik vi använder i detta kapitel. f(4 + h) f(4) 5(4 + h) + 3 ( )) 5h lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

27 Nu har vi bestämt att f (4) = 5. Men vad händer om vi istället beräknar f (x)? f(x + h) f(x) lim h 0 h 5(x + h) + 3 (5 x + 3)) 5h = lim = lim h 0 h h 0 h = 5 Det blir ingen skillnad oavsett vilket värde vi väljer på x så är f (x) = 5 1 Vi får reda på att f( + h) f() = 3h + 14h. Detta betyder inte att vi kan säga hur f(x) ser ut. Det är inte heller det som efterfrågas så vi släpper den frågan. Vi ska istället bestämma f( + h) f() 3h + 14h lim = lim h 0 h h 0 ( + h) = lim 3h + 14 = 14 h 0 15 a) f(x + h) f(x) lim h 0 h = lim h 0 ( + h) 3 8) h Detta uttryck är ju inte så snällt vi måste förenkla ( + h) 3 8 = ( + h)(4 + h + 4h) = 8 + h + 8h + 4h + h 3 + 4h 8 = h 3 + 6h + 1h = h(h + 6h + 1) och återgår till vår gränsvärdesberäkning f(x + h) f(x) h(h + 6h + 1) lim = lim = h 0 h h 0 h lim h 0 h + 6h + 1 = 1 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

28 Vi har lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med hjälp av derivatans definition. Vi har funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler, för att derivera de flesta funktioner. Dessa regler finns dessutom i formelsamlingen. Vi kommer nu under tre föreläsningar att lära oss regler för att derivera polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Det är dessa funktionstyper du måste kunna derivera i denna kurs. I nästa kurs kommer du att lära dig derivera trigonometriska funktioner (sin x, cos x, tan x). Vi bestämde i förra föreläsningen Från detta slöt vi oss till att f(x) = x f (x) = 1 f(x) = x f (x) = x f(x) = x 3 f (x) = 3x f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 Regel I: f(x) = x n f (x) = n x n 1 Åtminstone när heltalet n 1. Vi ser nu detta som en deriveringsregel. Vilken derivata har då f(x) = 3x? Vi tillfogar alltså en koefficient. Vi visar derivatan med dess definition: f (x) = f(x + h) f(x) h = 3(x + h) 3x h 3x + 6xh + 3h 3x = h Vi låter h gå mot 0 = 3(x + xh + h ) 3x h h(6x + 3h) h lim(6x + h) = 6x h 0 = 6x + h Vi visste från tidigare att f(x) = x har derivatan f (x) = x. Nu kan vi se att f(x) = 3x har derivatan f (x) = 3 x = 6x. Vi har en ny regel: Regel II: f(x) = k x n f (x) = k nx n 1 = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

29 Att funktionen f(x) = 7 har derivatan f (x) = 0 ser vi genom derivatans definition f (x) = f(x + h) f(x) h = 7 7 h = 0 Vi behöver inte ens ta till gränsvärde för att inse detta. Regel III: f(x) = k f (x) = 0 Den fjärde regeln vi behöver är Regel IV: Ett polynom får deriveras termvis. Du vet ju att två termer skills åt av ett + eller. Nu är vi redo att derivera att polynom, vilket som helst med hjälp av de fyra reglerna vi slagit fast ovan. Ett exempel Vi har funktionen f(x) = 3x 7 4x 3 + x 100 och kan snabbt fastställa dess derivata till f (x) = 3 7x 6 4 3x + x = 1x 6 + 1x + x Vi har deriverat var och en av de fyra termerna i polynomet var och en för sig efter de regler vi känner till 1 Bestäm f (x) till f(x) = 4x 4 + 3x 3 + x + x + 1 Bestäm f (3) då Först bestämmer vi derivatan Sedan bestämmer vi f (x) = 16x 3 + 9x + 4x + 1 f(x) = 3x 4 + x f (x) = 1x 3 + f (3) = = = 36 3 Finns det flera funktioner var derivata är f (x) = 3x + x Håkan Strömberg 9 KTH Syd

30 Om vi deriverar baklänges (integrerar) får vi f(x) = x 3 + x Är detta det enda svaret? När man inser att både och g(x) = x 3 + x + 1 h(x) = x 3 + x förstår man att det finns oändligt många polynom som har denna derivata. 4 Om vi startar med funktionen f(x) = 3x 3 + x + x så kan man derivera den och få f (x). Om man sedan i sin tur deriverar f (x) får man en funktion man kallar f (x). Hur länge kan man derivera f(x) innan resultatet blir 0? Alla högre derivator är förstås 0. 5 Bestäm f (x) = 0 då f (x) = 9x + x + 1 f (x) = 18x + f (x) = 18 f IV (x) = 0 f(x) = x3 3 x 6x Vi bestämmer först derivatan f (x) = 0 då Vi har att lösa en andragradsekvation f (x) = x x 6 x x 6 = 0 x x 6 = 0 1 x = 1 ± x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = Derivatan har två nollställen x = 3 och x =. Vad innebär det att f (x) = 0? Vi tar en titt på graferna till f(x) och f (x). Håkan Strömberg 30 KTH Syd

31 Figur 1: Vilken graf är vilken? 6 Bestäm a i f(x) så att f (3) = 14 f(x) = 3x + ax + 3 Vi deriverar och håller i minnet att a är en konstant. f (x) = 14 då som ger a = 4. 7 Beräkna f (0) då f (x) = 6x + a a = 14 f(x) = ax 3 + bx + cx + d där a, b, c, d är konstanter Dels gäller det att skilja på f (x) = 0 och f (0). Vi deriverar: f(0) ger då 8 Derivera f (x) = 3ax + bx + c f(0) = 3 a 0 + b 0 + c = c f(x) = (x + 1) 3 Vi kan inte klara denna uppgift utan att utveckla (x + 1) 3 f(x) = (x + 1) 3 = x 3 + 3x + 3x + 1 (Du kommer väl ihåg Pascals triangel?). Nu kan vi derivera Som kan ju skrivas som f (x) = 3x + 6x + 3 f (x) = 3(x + x + 1) = 3(x + 1) Jus den här gången hade vi kunnat använda samma regler som att derivera g(x) = x 3, men det funkar långt ifrån alltid. Håkan Strömberg 31 KTH Syd

32 1 Derivera f(x) = x 3 4x + 13x Bestäm f (x) = 0 då f(x) = x 8x Bestäm f (1) då f(x) = 3x + x Beräkna värdet på x för vilket f (x) = då f(x) = 8x x 5 En cirkels area är en funktion A(r) där r cirkelns radie. Bestäm A (r) 1 Derivatan blir Första deriverar vi f (x) = 3x 8x + 13 f (x) = x 8 Sedan sätter vi f (x) = 0 och får ekvationen som har roten x = 4 Svar: f (x) = 0 då x = 4 3 Först deriverar vi Sedan bestämmer vi Svar: f (1) = 8 4 Vi deriverar f (x) = leder till ekvationen Med roten x = 3 Svar: x = 3 x 8 = 0 f (x) = 6x + f (1) = = 8 f (x) = 8 x 8 x = Håkan Strömberg 3 KTH Syd

33 5 Funktionen är A(r) = πr Då måste A (r) = πr som också är formeln för cirkelns omkrets! Räkna bokens uppgifter: 303d, 307b, 311, d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x + 5x 3 ger derivatan f (x) = 8x + 15x 307 b) TB: Lite lite svårare. När jag deriverat ska jag ta reda på f (3) Funktionen är f(x) = + 3x + 4x 5x 3 som har derivatan f (x) = 3 + 8x 15x. f (3) = = 108 KTH: Det går som tåget 311 b) TB: Den här gången ska jag ta reda på derivatans nollställen. Jag ska lösa ekvationen f (x) = 0. Det blir väl en andragradsekvation eftersom f(x) = x x + 96x + 34 är av tredje graden. 313 f(x) = x x + 96x + 34 f (x) = 6x + 60x + 96 f (x) = 0 då 6x + 60x + 96 = 0 x + 10x + 16 = 0 x 1 = 8 x = Vi kan väl visa graferna eller hur? Stämmer bra TB: Nu ska jag försöka gå bakvägen på något sätt. Jag har alltså redan f (x) = 3x + x och vill ha tag i f(x). Det måste väl bli någonting liknande f(x) = x 3 + x. Det stämmer. KTH: Du ska hitta två funktioner som har den här derivatan? TB: Va! Det kan det väl inte finnas? Aha, du menar att till exempel f (x) = x 3 + x + 13 också har derivatan f (x) = 3x + x? Den konstanta termen kan vara vad som helst. Det finns alltså hur många som helst. Håkan Strömberg 33 KTH Syd

34 Figur 13: KTH: Det här kommer du att få lära dig mer om framöver. Det kallas att integrera till skillnad från att derivera Under denna rubrik kommer då och då att presenteras ett problem som bygger på logiskt tänkande och mer problemlösning än många av de matematiska problem vi kommer att lösa i denna kurs. Dela bröd och pengar Två luffare, A med 3 bröd och B med 5 bröd, hade just satt sig vid vägkanten för att äta, då en tredje luffare, C, kom förbi. C hade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8 kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A och B, om maten delats lika mellan de tre luffarna? Håkan Strömberg 34 KTH Syd

35 Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x 3 + x + 8 f (x) = 8x 3 3x + Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x x Gäller den regel vi lärt oss för heltalsexponenter? h(x) = x n h (x) = n x n 1 Svaret är ja! Det betyder att g (x) = 1 3 x 3 x 3 = x x 3 För den som kan sina potenslagar är den avslutande omskrivningen inte konstig. 1 Bestäm derivatan till f(x) = x Eftersom funktionen kan skrivas f(x) = x 1 förstår vi att derivatan blir Svar: Bestäm derivatan till f (x) = 1 x 1 = 1 med hjälp av derivatans definition 1 x x 1 f(x) = x = 1 x Håkan Strömberg 35 KTH Syd

36 Vi börjar med att ställa upp diffrenskvoten f(x + h) f(x) h = x + h x h = ( x + h x)( x + h + x) h( x + h + x) = Vi har förlängt med konjugatet. x + h x h( x + h + x) = h h( x + h + x) = 1 x + h + x Nu är det dags att låta h 0 Svar: 3 Derivera funktionen 1 lim = x + h + x h 0 1 x f(x) = 3 x + 4 x 3 Vi skriver först funktionen utan rottecken Nu är det dags att derivera Svar: f (x) = x f(x) = x 3 + x x x + x = 1 x = 3x 1 3 f (x) = 3 3 x x + 3 4x Då man inte vill ha rötter i nämnaren kan man ofta förlänga bråket med lämpligt uttryck och vips finns det bara rötter i täljaren. Fixa bort roten i nämnaren 3 3 Vi förlänger med 3 och får 5 Fixa bort rottecknen i nämnaren 3 = 3 3 = 3 3 = a + b a b = Håkan Strömberg 36 KTH Syd

37 Nu förlänger vi med konjugatet till uttrycket i nämnaren ( a + b)( a + b) ( a b)( a + b) ( a + b)( a + b) a b 6 En tangent till funktionen f(x) = x = a + ab + b a b har k-värdet k = 1. I vilken punkt tangerar tangenten funktionens kurva? Vi startar med att derivera funktionen f (x) = 1 x Genom att lösa ekvationen f (x) = 1 får vi svaret 1 x = 1 1 = x x = 1 Då f(1) = 1 är den eftersökta punkten (1, 1) Svar: (1, 1) Studera figuren: Figur 14: 7 Bestäm h ( 1 ) då h(x) = 1 x + 1 x Vi skriver om funktionen på en form som är enklare att derivera: Nu deriverar vi h(x) = x 1 + x h (x) = x x 3 = 1 x x 3 Håkan Strömberg 37 KTH Syd

38 Nu kan vi bestämma h( 1 ) Svar: h ( 1 ) = 0 h ( 1 ) = 1 = = 4 8 = Figur 15: Figur 16: Här ser du två grafer. Den ena visar derivatan av den andra. Vilken är vilken? Den övre är derivata till den undre. Hur kan man se det? De punkter på funktionens kurva som har tangenter som har k = 0 innebär att f (x) för dessa punkter ska vara 0, eller hur? 9 Bestäm grafiskt (se figur 17), det vill säga ungefär, följande värden f(0) f (.1) f() f ( 0.8) f(0) = 6 f (.1) = 0 f() = 4 f ( 0.8) = 0 10 Åter till figur 17. I vilka punkter A, B, C är f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0 A : f (x) > 0 C : f (x) < 0 B : f (x) = 0 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

39 Figur 17: Uppgift 9 och 10 1 Bestäm derivatan till f(x) = 1 x 4 + x Beräkna a) f(0) b) f(x) = 0 c) f (0), d) f (x) = 0 till funktionen 3 Beräkna derivatan till f(x) = x x 6 f(x) = x 1 x 4 Vilket är störst f (1) eller f () då f(x) = 3 x Håkan Strömberg 39 KTH Syd

40 5 I f(x) = x + x II g(x) = x 1 III h(x) = 1 x Figur 18: Para ihop funktionerna med rätt kurva. 1 Vi skriver om funktionen till f(x) = x 4 + x Nu är det enkelt att derivera f (x) = 4x 5 + x Tycker man inte om negativa exponenter kan man skriva om derivatan till Enklast att beräkna är f(0) f (x) = x 4 x 5 f(0) = = 6 För att bestämma f(x) = 0 måste vi lösa en ekvation, här en andragradsekvation: x x 6 = 0 1 x = 1 ± x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = För att bestämma f (0) måste vi derivera f(x): f (x) = x 1 Håkan Strömberg 40 KTH Syd

41 Detta ger f (0) = 0 1 = 1 Så över till sista delen f (x) = 0, som leder till den enkla ekvationen Svar: a) 6 b) x 1 = 3, x = c) 1 d) x = 1 3 Först skriver vi om funktionen x 1 = 0 x = 1 Nu är det lämpligt att derivera f(x) = x 1 x 1 f (x) = x 1 1 x 3 = 1 x 1 1 x 3 = 1 x + 1 x 3 = 1 x + 1 x x = Förklara för dig själv, sista steget, att x 3 = x x 4 Vi kan inte besvara denna fråga utan att derivera som är f (x) = 1 x 3 3 f(x) = x 1 3 = 1 3x 3 = x med eller utan hjälp av dosan ser vi att f (1) > f () 5 Svar: I) B, II) A, III) C Räkna bokens uppgifter: 30b, b) Håkan Strömberg 41 KTH Syd

42 TB: Jag vet att en tangent till en kurva har samma k-värde som derivatan till kurvans funktion i den punkten. Sedan vet jag att tangenten också går genom den aktuella punkten, (1, ). Så nu är det bara att sätta igång. f(x) = x + x 33 f(x) = x + x 1 f (x) = 1 + x 1 f (x) = x f (1) = 3 Tangentens k-värde är alltså k = 3/. Vi utgår från linjens funktion f(x) = k x + m och kan redan nu skriva den som f(x) = 3 x + m. Återstår att bestämma m med hjälp av punkten (1, ), = 3 1+m ger m = 1. Funktionen är nu bestämd f(x) = 3 x + 1 TB: Konstig uppgift. Vi har funktionen S(A) = 0 A Vi ska nu bestämma S (A) = 1 och tolka resultatet. S(A) = 0 A 0.33 S (A) = A 0.67 S (A) = 0 då A 0.67 = 1 A 0.67 = 1 A = ( Jag kan inte tolka det här resultatet! ) KTH: Om vi har en ö med arean 16.7 km, så kommer antalet arter att öka med 1 om öns area av någon anledning ökas med 1 km. Eller bättre uttryckt: Om vi går till en ö som är 1km större så kan vi förvänta oss att hitta 1 art mer på denna ö. TB: Om det inte finns någon ö över huvud taget, så finns det heller inga arter där, S(0) = 0, men då finns det väl fiskar istället. En ö på 1km har 0 arter. Jag förstår att antalet arter växer snabbare när man utökar en liten ö än en stor. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

43 Svar till: Dela bröd och pengar Luffarna åt 8/3 bröd var. Luffare A gav bort 3 8/3 = 1/3 bröd till C och luffare B gav bort 5 8/3 = 7/3 bröd till C. Alltså ska A ha 1 kr och B 7 kr. De fyra korten Det ligger fyra kort, med baksidan upp, i en rad på bordet, spaderkung, spaderdam, hjärterkung och hjärterdam. I vilken ordning ligger korten om vi vet att: det ligger en kung direkt till höger om en dam det ligger en dam direkt till höger om en kung det ligger en kung direkt till höger om en kung det ligger en spader direkt till höger om en spader det ligger en spader direkt till höger om en hjärter Håkan Strömberg 43 KTH Syd

44 Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för vare sig linjens lutning eller var den skär y-axeln. Dessutom finns enpunktformen: y y 1 = k(x x 1 ) där (x 1, y 1 ) är en känd punkt på linjen. Till sist har vi denna där a och b är konstanter vars betydelse vi återkommer till: y a + x b = 1 Alla dessa sätt att teckna en linjär funktion är förstås ekvivalenta. Ett bra tips är att föra över en given linjär funktion till den form som man är mest van vid. Under Lösta uppgifter tar vi upp några exempel. Derivatan av exponentialfunktionen. Vi minns att f(x) = 3 x är ett exempel på en exponentialfunktion. Kännetecknet är att x förekommer som exponent. Det är fritt fram för vilken positiv bas som helst. I exemplet har vi använt basen 3. Så här ser grafen ut: Figur 19: Gemensamt för alla exponentialfunktioner är att de växer snabbt då basen är > 1. Man talar om exponentiell tillväxt och menar då något som ökar snabbt. (Även Håkan Strömberg 44 KTH Syd

45 om detta inte alltid är helt korrekt. Jag menar att med basen 1.01, (1%), är ju tillväxten inte särskilt snabb). Vi förstår att denna funktion liksom andra vi studerat hittills har en tangent i varje punkt på kurvan. Med andra ord det borde finnas en derivata till f(x) = 3 x. Använder vi derivatans definition för att ta reda på den får vi f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 3 x+h 3 x h Vidare 3 x 3 h 3 x 3 x (3 h 1) lim = lim h 0 h h 0 h Eftersom 3 x inte är direkt inblandad när h 0, så kan vi skriva (om inte helt självklart) 3 x (3 h 1) lim h 0 h Sedan är det stopp! Det vi lärt oss om gränsvärden räcker inte för att knäcka detta. Vi ser att, när h = 0 får vi 0. Vi går till en bok för högre studier i matematik och 0 hittar (a h 1) lim h 0 h Använder vi detta resultat får vi = lna 3 x (3 h 1) lim = ln3 3 x h 0 h Det återstår nu endast ett problem. Vad står ln för? Vi kommer ihåg att lösningen till ekvationen 10 x = 3 skrivs x = lg3. Detta är en logaritmekvation där vi använder basen 10. Basen 10 är (åtminstone i Sverige) knuten till symbolen lg och det finns en knapp på dosan märkt log som motsvarar lg. Vilken bas man använder när man räknar med logaritmer är egentligen valfritt! Det känns naturligt att använda basen 10 eftersom vi använder oss av basen 10 när vi skriver våra tal. En annan bas är e. Talet e är en konstant precis som π och dessutom lika viktig i matematiken. Jag ska nu försöka förklara varifrån talet e kommer. Betrakta uttrycket ( lim ) x x x Det handlar alltså om ett gränsvärde där x Plottar vi funktionen ( f(x) = ) x x får vi följande graf, se 0. Vi kan gissa eller tro att kurvan närmar sig en gräns när x. Jag påstår att denna gräns är just talet e. Här har du talet e med de 00 första decimalerna: Håkan Strömberg 45 KTH Syd

46 Figur 0: Normalt brukar man komma ihåg att e.7. På dosan finns en knapp märkt e x. Slår vi e 1 får man fram talet e med några av de decimaler som ges ovan. Vi tänker nu använda e som bas när vi räknar med logaritmer och konstaterar att: lg är för 10, vad ln är för e. Sök upp knappen ln på din räknare. Det finns ju oändligt många tal, varför har man fastnat för talet e? Vi återkommer till det. Först ska vi lösa några enkla ekvationer. Förhoppningsvis kommer du ihåg hur man löser till exempel denna ekvation: lgx = 10 lg x = 10 x = 100 Om den ekvationen är OK för dig är inte denna svårare: lnx = e ln x = e x = e x Vi konstaterar at vår kattregel gäller även här (liksom för alla baser). så även för de andra logaritmlagarna. e ln = Detta är viktigt. Man kan nu skriva om vilket uttryck som helst a b till ett med basen e. Jag påstår att a b = e bln a För att förklara detta använder vi bara två logartimlagar: lna b = b lna Håkan Strömberg 46 KTH Syd

47 och så kattregeln. Alltså Så om vi har en funktion så kan vi skriva den som e bln a = e ln ab = a b f(x) = 3 x f(x) = e xln 3 eller hur? Bestämmer vi oss för att alltid skriva om en exponentialfunktion oavsett bas till en bas med e (vilket verkar enkelt) så får vi en fastare grund att stå på. Minns ni att vi för en halv timma sedan började med att försöka finna derivatan till f(x) = 3 x Vi kom fram till, genom derivatans definition och genom att låna ett gränsvärde från den högre matematiken, att f (x) = ln 3 3 x Man verkar inte kunna presentera derivatan till denna funktion utan att blanda in ln. Fakta: har derivatan f(x) = e x f (x) = e x Lätt att komma ihåg eller hur? Det är detta faktum som gör e så märkvärdigt. Att derivatans värde är lika med funktionens. där k är en konstant har derivatan f(x) = e kx f (x) = k e kx Lite svårare men fortfarande möjligt att memorera. Vad betyder detta? Ja att: f(x) = 3 x = e ln 3x = e xln 3 Vi deriverar sedan med hjälp av regeln ovan och får Detta uttryck kan ju skrivas om till f (x) = ln 3 e xln 3 f (x) = ln3 e xln 3 = ln 3 e ln 3x = ln 3 3 x Det var ju där vi började! Återstår att vänja sig vid att använda e och ln. Håkan Strömberg 47 KTH Syd

48 1 Översätt den linjära funktionen given på allmän form till k-form, där a och b är obestämda konstanter. Vi utgår alltså från ax + by + c = 0 och vill komma fram till y = k x + m. Det betyder att vi kommer att få k och m uttryckta i a och b. Vi ska alltså lösa ut y ur formeln ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c b y = a b x + c b Detta betyder att k = a b och m = c b. Normalt lär man sig inte detta utantill, utan är beredd att räkna fram det varje gång det behövs. Vi har den linjära funktionen y 5 + x 3 = 1 I vilka punkter skär denna linje koordinataxlarna? När funktionen skär x-axeln är y = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen x 3 = 1 som har lösningen x = 3. Linjen skär alltså x-axeln i (3, 0) När funktionen skär y-axeln är x = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen y = 1 som har lösningen y = 5. Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0, 5). Det finns tydligen ett klart samband mellan de två nämnarna i funktionen och de punkter i vilka linjen skär axlarna. 3 Vilket resultat, ungefär, bör man få då man beräknar detta uttryck med dosans hjälp: ( ) Ungefär.7169, ett tal ganska nära e, eller hur! Håkan Strömberg 48 KTH Syd

49 4 Lös ekvationen lnx + ln = ln10 lnx + ln = ln 10 ln x = ln 10 ln ln x = ln 10 ln x = ln 5 e ln x = e ln 5 x = 5 Förutom e ln = har vi använt ln ln = ln. Vi konstaterar att tekniken att lösa en ekvation med ln inte skiljer sig speciellt från det med lg. 5 Förenkla så långt möjligt 3 lnea lne 3 lnea lne a a a 3 = ln e 3 3 lne = a 3 a 3 = a 3 + a 3 = a Om lg10 = 1 så måste ju lne = 1. 6 Bestäm derivaten till f(x) = 10e x a 3 7 Bestäm derivatan till 8 Vilken funktion f (x) = 10e x f(x) = e 10x f (x) = 10e 10x a) f(x) = e 1 x b) f(x) = e 0 x c) f(x) = e 1 x hör ihop med vilken graf i figur 1 a) f(x) = e x b) f(x) = e x c) f(x) = e 0 När koefficienten är 0 är förstås funktionen konstant = 1. 9 Derivera funktionen f(x) = 4 x + 3 x Håkan Strömberg 49 KTH Syd

50 Figur 1: Vi skriver om funktionen enligt receptet ovan (även om man är ovan): Nu är det enkelt att derivera f(x) = e xln 4 + e xln 3 f (x) = ln4 e xln 4 + ln3 e xln 3 om man så vill kan man återställa baserna och få f (x) = ln 4 4 x + ln3 3 x Visserligen försvinner e, som vi är ovana vid just nu, men ln består. 10 Kurvan y = C e kx går genom punkten (0, 10). Lutningen i den punkten är 5. Bestäm talen C och k. Först och främst förstår vi att 10 = C e k 0 Vi har helt enkelt satt in x och y efter punkten (0, 10). Detta ger 10 = C e 0 eller C = 10. När vi har C = 10 kan vi skriva funktionen f(x) = 10 e kx Nu tar vi hand om den givna lutningen. För detta måste vi derivera funktionen ovan f (x) = k 10e kx Man har fått veta att f (0) = 3, eller hur (tänk efter). Detta ger f (0) = k 10e k 0 Eftersom f (0) = 5 får vi k 10e k 0 = 5 k 10e 0 = 5 k 10 = 5 k = 1 Till slut har vi kommit fram till funktionen: f(x) = 10e x Håkan Strömberg 50 KTH Syd