3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

Transkript

1 3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande Vi är på jakt efter ett mönster Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med jälp av derivatans definition f(x) = x g(x) = x 2 k(x) = x 3 m(x) = x 4 f (x) = lim x + x x + x = lim 1 = 1 g (x) = lim (x + ) 2 x 2 x + x k (x) = lim (x + ) 3 x 3 x + x m (x) = lim (x + ) 4 x 4 x + x (2x + ) = lim = 2x ( 2 + 3x + 3x 2 ) = lim = 3x 2 ( x + 6x 2 + 4x 3 ) = lim = 4x 3 Ser Du något mönster? Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler, för att derivera de flesta funktioner. Dessa regler finns dessutom i formelsamlingen. Vi kommer nu under tre föreläsningar att lära oss regler för att derivera polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

2 2 Deriveringsregler Det är dessa funktionstyper du måste kunna derivera i denna kurs. I nästa kurs kommer du att lära dig derivera trigonometriska funktioner (sin x, cos x, tan x). Vi ar alltså bestämt att Från detta slöt vi oss till att f(x) = x f (x) = 1 f(x) = x 2 f (x) = 2x f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 Regel I: f(x) = x n f (x) = n x n 1 Åtminstone när eltalet n 1. Vi ser nu detta som en deriveringsregel. Vilken derivata ar då f(x) = 3x 2? Vi tillfogar alltså en koefficient. Vi visar derivatan med dess definition: f (x) = Vi låter gå mot 0 f(x + ) f(x) = 3(x + )2 3x 3x 2 + 6x x 2 = = 3(x2 + 2x + 2 ) 3x 2 (6x + 3) lim (6x + ) = 6x = 6x + Vi visste från tidigare att f(x) = x 2 ar derivatan f (x) = 2x. Nu kan vi se att f(x) = 3x 2 ar derivatan f (x) = 3 2x = 6x. Vi ar en ny regel: Regel II: f(x) = k x n f (x) = k nx n 1 Att funktionen f(x) = 7 ar derivatan f (x) = 0 ser vi genom derivatans definition f (x) = f(x + ) f(x) Vi beöver inte ens ta till gränsvärde för att inse detta. Den fjärde regeln vi beöver är = 7 7 = 0 Regel III: f(x) = k f (x) = 0 Regel IV: Du vet ju att två termer skils åt av ett + eller. Ett polynom får deriveras termvis. Nu är vi redo att derivera att polynom, vilket som elst med jälp av de fyra reglerna vi slagit fast ovan. Ett exempel Vi ar funktionen oc kan snabbt fastställa dess derivata till f(x) = 3x 7 4x 3 + x f (x) = 3 7x 6 4 3x 2 + 2x = 21x x 2 + 2x Vi ar deriverat var oc en av de fyra termerna i polynomet var oc en för sig efter de regler vi känner till =

3 3.2 Lösta problem Lösta problem Övning 3.1 (Ej med) Beräkna med din räknare f (4) om f(x) = 3x 4 350x f(x) = x x c) f(x) = x Jag ar ingen räknare som klarar denna typ av beräkningar. Istället skriver jag ett litet BASIC-program! 10 =10 20 x=4 30 FOR steg=1 TO 5 40 =/10 50 d=(3*(x+)^4-350*(x+)+129-(3*x^4-350*x+129))/ 60 PRINT," ",d 70 NEXT steg 80 END Ganska enkelt att förstå? Utskriften blir Det exakta värdet är 418 Nästa uppgift väljer jag att lösa med Matematica, ett program som klarar allt det vi beöver kunna i denna kurs. f[x_] := x/(x^2 + 1) f [4] Först definierarjag funktionen. Direkt efter det ber jag Matematica att bestämm f (4) oc får det exakta svaret

4 4 Deriveringsregler c) Den sista uppgiften löser vi med ett C-program, som blir ganska likt BASIC-programmet till sin struktur. # i n c l u d e < s t d i o. > # i n c l u d e <mat. > i n t main ( void ) { f l o a t =10, x =4,d ; i n t s t e g ; f o r ( s t e g =1; steg <=5; s t e g + + ) { = / 1 0 ; d = ( 6. 5 exp ( ( x+ ) log (10)) 6.5 exp ( x log ( 1 0 ) ) ) / ; p r i n t f ( " %. 5 f %.6 f \n ",, d ) ; } } Den sista raden i tabellen som skrivs ut Det exakta värdet är f (4) = 559 ln Övning 3.2 (Ej med) En lammstek svalnar enligt formeln y(x) = x där y är temperaturen i C efter x minuter. Beräkna oc tolka y (45). Eftersom vi ännu inte vet ar man deriverar f(x) = a x är vi elt utlämnade till räknedosor oc datorer y (45) ( ) ( ) Temperaturen sjunker med cirka 0.42 C/minut Övning 3.3 (Ej med) Undersök med din räknare oc anteckna derivatan för y = x 2 då x är 10, 5, 5 oc 10. Finns det något samband mellan x-värde oc derivata? x f (x) Sambandet är 2x = f (x), men det visste vi ju redan. Övning 3.4 (Ej med) Sant eller falskt? Undersök med din räknare! Tangenten till kurvan y = 1 x i den punkt där x = 1 ar lutningen 1 Grafen till y = x 3 + x ar positiv derivata överallt

5 3.2 Lösta problem 5 Vi kan inte derivera y = 1 x ännu. Men vi kan beräkna ett ungefärligt värde y (x) Den är grafen ar vi redan sett oc gissat att derivatan alltid är positiv y (x) = (x + )3 + (x + ) (x 3 x) x + x Gränsvärdet ger = ( x + 3x 2 lim 3x x + 2 = 3x oc y (x) = 3x 2 + 1, som aldrig kan bli negativt = 3x x + 2 Övning 3.5 (3306). Derivera med deriveringsreglerna y = x 7 y = 6x 4 c) y = x 3 + x 8 d) y = 4x 2 + 5x 3 Första motionsrundan, som innebär att man skriver ner svaret direkt y = x 7 y = 7x 6 y = 6x 4 y = 24x 3 y = x 3 + x 8 y = 3x 2 + 8x 7 y = 4x 2 + 5x 3 y = 8x + 15x 2 Övning 3.6 (3307). Derivera med deriveringsreglerna f(x) = x f(x) = 5 c) f(x) = x + 3 d) f(x) = 3x 2 2x + 6 Andra motionsrundan f(x) = x f (x) = 1 f(x) = 5 f (x) = 0 f(x) = x + 3 f (x) = 1 f(x) = 3x 2 2x + 6 f (x) = 6x 2 Det går ju definitivt snabbare nu när man inte beöver använda sig av derivatans definition.

6 6 Deriveringsregler Övning 3.7 (Ej med) Derivera med deriveringsreglerna y = 5x 3 4x 2 + 8x + 9 y = 3 + x x 2 + 4x 3 x 4 En omgång till y = 5x 3 4x 2 + 8x + 9 y = 15x 2 8x + 8 y = 3 + x x 2 + 4x 3 x 4 y = 1 2x + 12x 2 4x 3 Övning 3.8 (Nästan 3314) Derivera med deriveringsreglerna y = x2 4 y = x2 2 + x c) y = 0.5x 4 + x d) y = x2 +2x 2 y = x2 4 y = x 2 y = x2 2 + x y = x + 1 y = 0.5x 4 + x y = 2x 3 + x 2 y = x2 +2x 2 y = x + 1 Övning 3.9 (Nästan 3309) Bestäm f (2) om f(x) = 3.5x 2 10x. som leder till f (x) = 7x 10 f (2) = 4 Övning 3.10 (Ej med) Antalet bakterier N(t) i en bakteriekultur ges av formeln N(t) = t 4 där t är tiden i timmar. Bestäm tillväxtastigeten då t = 5. Först deriverar vi funktionen N (t) = 8t 3 Sedan bestämmer vi N (5) = = 1000

7 3.2 Lösta problem 7 Övning 3.11 (Ej med) Bestäm x så att y x = 0 om y = 4.5x2 9x + 1 y = x 2x2 Just att bestämma när y 0 (x) = 0 kommer att bli ett ofta återkommande problem. y 0 (x) = 9x 9 Vi löser så ekvationen 9x 9 = 0 oc får x = 1. Just för detta värde på x är alltså derivatan = 0. Vad betyder det? Kolla grafen nedan Då y 0 (x) = 0 ar funktionen ett maximum, minimum eller en terrasspunkt. Vilket, ar vi ännu inte lärt oss att ta reda på, utan att beskåda grafen. Här är det alltså fråga om ett minimum. y 0 (x) = 8 4x y 0 (x) = 0 då 8 4x = 0, x = 2. Vilken typ av extrempunkt är det fråga om är? Vi ar att göra med en andragradsfunktion (parabel) med negativ x2 -term Vi vet ju då att funktionen ar ett maximum. Nu vet vi också att den maximala punkten ar koordinaterna (2, 21). Övning 3.12 (Ej med) Elin ska bestämma y 0 (3) där y = 5x2 + 4x Hon beräknar först y(3) till 57, deriverar sedan oc får resultatet 0. Vad gör on för

8 8 Deriveringsregler fel? Vad är det riktiga svaret? Det största felet är att on inte läser läxan! Det är svårt att veta vad som rör sig i uvudet på Elin. Så är skulle on a räknat oc y (3) = 34. y (x) = 10x + 4 Övning 3.13 (Ej med) Mia tränar simopp från 10-meterstornet. Vid ett opp kan ennes öjd över vattenytan y m beräknas med formeln där t är tiden i s. y = t 5t 2 Bestäm ennes astiget då t = 0.8. När vänder on oc ur ögt är on då? c) Ange astigeten då on slår i vattnet. Hastigeten bestäms med jälp av derivatan y (t) = 4 10t som ger y (0.8) = 4 m/s. Hastigeten uppåt är positiv oc nedåt är negativ. Om man inte bryr sig om riktningen är astigeten 4 m/s. Hon vänder när astigeten = 0 m/s. Ett värde vi får genom att lösa ekvationen y (t) = 0 eller då 4 10t = 0 som ger t = 0.4. Hon når ögsta öjden efter 0.4 sekunder. c) Först måste vi ta reda på när on når vattnet. Det gör on när öjden är = 0, det vill säga då y(t) = 0 eller t 5t 2 = 0. En andragradsekvation som ar rötterna t 1,2 = 1 ( 2 ± 3 ) 6 5 Två rötter x oc x Vad, slår on i vattnet två gånger? Kolla in grafen så förstår du Inga negativa tider förstås. Nu ska vi räkna ut med vilken astiget on slår i vattnet. y (1.87) = Mia ar astigeten 14.7 m/s då on når vattenytan.

9 3.2 Lösta problem 9 Övning 3.14 (Ej med) Derivera y = (2x 3) 2 y = 2 x 2 3 Vi kommer så småningom att kunna derivera denna funktion direkt. Men just nu känns det tryggast att utveckla parentesen innan vi deriverar. y(x) = 4x x Nu deriverar vi y (x) = 8x 12 Ett råd är kan vara att dela upp den sist termen innan vi deriverar Nu derivera vi y(x) = 2 x y (x) = 1 3 Konstant derivata, som väntat. y(x) beskriver ju en rät linje. Övning 3.15 (Ej med) Ge två egna exempel på funktioner som ar y = 3x 2 + 2x. Att starta med en funktion f(x) oc söka en funktion F(x) där F (x) = f(x), kallas att integrera. DEt får du lära dig mer om i slutet av D-kursen! Vad säger du om detta förslag? y(x) = x 3 + x ett annat är y(x) = x 3 + x Den konstanta termen kan ju a vilket värde som elst. Därför brukar man skriva 3x 2 + 2x dx = x 3 + x 2 + C Men detta är just nu överkurs. Övning 3.16 (Ej med) Visa med derivatans definition att f(x) = x 3, ar derivatan f (x) = 3x 2 Tydligen ett återfall, men vi ar inget val f (x) = lim (x + ) 3 x 3 x + x = lim x 3 + 3x 2 + 3x x 3 (3x 2 + 3x + 2 ) lim = lim 3x 2 + 3x + 2 = 3x 2 =

10 10 Deriveringsregler Övning 3.17 (Ej med) Visa med derivatans definition att om f(x) = k g(x), där k är en konstant, så är f (x) = k g (x). Vi startar med differenskvoten Eftersom f(x) = k g(x) kan vi skriva f (x) = lim f(x + ) f(x) f (x) = lim k g(x + ) k g(x) Vi bryter ut k oc får oc då måste Ingen rolig uppgift! f (x) = k lim g(x + ) g(x) f (x) = lim k g (x) Övning 3.18 (Ej med) Derivera y = x 3 y = 2 x c) y = 6 x d) y = x 4 4 x En ny omgång. Lite svårare eller? Det ela kan bli enklare om man skriver om funktionen innan man deriverar. y = x 3 y = 3x 4 y = 2 x y = 2x 1 y = 2x 2 y = 6 x y = 6x 1 2 y = 3x 1 2 y = 3 x y = x 4 4 x y = x 4 4x 1 2 y = 4x 3 2x 1 2 y = 4x 3 2 x Övning 3.19 (Ej med) f(x) = x 6 + x 3 4 f(x) = 3 4 x x 3 4 Börjar det bli tråkigt? f(x) = x 6 + x 3 4

11 3.2 Lösta problem 11 Vi kan derivera direkt, utan förenklingar f (x) = 6x x 1 4 f(x) = 3 4 x x 3 4 Även är bör vi kunna klara deriveringen utan omskrivning f (x) = x x 7 4 Övning 3.20 (Ej med) g(x) = 24x g(x) = 3 x 3 x g (x) = x = 9x Här väljer vi att skriva om funktionen lite grann innan vi deriverar g(x) = 3x 1 2 3x 1 2 Nu borde det gå lättare g (x) = 1 2 3x x 3 2 Sedan kan man städa lite efteråt g (x) = 3 2 x + 3 2x x Övning 3.21 (Ej med) Låt f(x) = x 2 5 oc beräkna f (2) med räknarens deriveringsfunktion med deriveringsreglerna Hoppar jag över f (x) = 2 5 x 3 5 f (x) =

12 12 Deriveringsregler Övning 3.22 (3334) Bestäm ekvationen för en tangent till y = x + 4 x i punkten (2, 4) y = x + x i punkten (1, 2) Vi vet alltså att y(2) = 4, även om vi kunnat räkna ut det själva. Först deriverar vi: y(x) = x + 4x 1 oc får y (x) = 1 4x 2 Tangentens lutning får vi genom y (2) = = 0 tangentens k-värde är alltså = 0. Tangentens ekvation måste då vara y = 4 Den är gången vet vi att y(1) = 2. Vi ar en punkt! Återstår då att ta reda på y (1). Vi deriverar y (x) = x som ger tangentens k-värde genom y (1) = 3 2 Vi tar reda på tangentens m-värde genom ekvationen 2 = m, m = 1 2. Tangentens ekvation blir y = 3 2 x Övning 3.23 (3335) Kroppsytans area y m 2 os en person som ar längden 180 cm oc vikten m kg kan beräknas med formeln y = 0.3lm Beräkna oc tolka y (75). Fantasifull uppgift eller ur? Vi deriverar den givna funktionen oc beräknar y (75). Då får vi reda på med vilken astiget, mätt i m 2 /kg som kroppsytans area växer vid vikten 75 kg. y (m) = m = m Nu kan vi beräkna y (75) Om man går upp 1 kg i vikt, från 75 till 76 så ökar kroppsytan med 1.2 dm 2. Övning 3.24 (3336) Mellan planeternas omloppstider T år oc deras avstånd x jordbaneradier till solen finns ett enkelt samband: T = x 1.5. Vilken omloppstid ar Venus på avståndet jordbaneradier från solen? Beräkna oc tolka T (0.723).

13 3.2 Lösta problem 13 T(0.723) = år T (x) = 1.5x 0.5 = 3 x 2 T (0.723) = 1.28 som anger att omloppstiden ökar med 1.28 år/jorbaneradier Övning 3.25 (Ej med) En forskare ar funnit att antalet växtarter S på Galapagosöarna kan uppskattas med formeln S = 20A 0.33, där A km 2 är öns area. Lös ekvationen S (A) = 1 oc tolka resultatet. Vi deriverar S (A) = A 0.67 När är S (A) = 1, jo då 1 = A Hur löser vi den ekvationen? Först skriver vi om den lite A 0.67 = Med datorn får jag A Antalet arter ökar med 1 art/km 2 då arean är km 2 Övning 3.26 (Ej med) Visa genom att utgå från derivatans definition att om så är f(x) = 1 x 2 f (x) = 2 x 3 Först testar jag med Matematica Limit[(1/(x+)^2-1/x^2)/,->0] oc jag får det väntade svaret 2 x 3 f (x) = lim 1 (x+) 2 1 x 2 x + x = lim 2x 2 x 2 (x + ) 2 = lim 2x x 2 (x + ) 2 = 2x x 2 x 2 = 2 x 3