Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18

Transkript

1 Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/ Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x -termer för sig. Multiplikation av uttryck: 4(x + y ) = 4x + 4 y (x + )( x + 3) = x + 3x + x + 6 ( = x + 5x + 6 ) Bryta ut: 5x + 3x = 3x( 5x +) (motsatsen till att multiplicera in) Kvadreringsregel : (x + 3) = x + 6x + 9 allmänt: (a + b) = a + ab + b Kvadreringsregel : (x 3) = x 6x + 9 allmänt: (a b) = a ab + b Konjugatregeln: (x + 3)(x 3) = x 9 allmänt: (a + b)(a b) = a b Det finns tre sätt att faktorisera: se s.3 i boken. Bryta ut. Någon av kvadreringsreglerna baklänges 3. Konjugatregeln baklänges kombinationer av dessa kan förekomma, t.ex. + eller +3 Andragradsekvationer En andragradsekvation kan se ut på flera sätt: typ x = 5 Lösningsmetod: Kvadratrotsmetoden: Ta roten ur. Kom ihåg att det finns både ett positivt och ett negativt svar. x = ± 5 Svar: x = ±5 typ x + x = 0 Lösningsmetod: Nollproduktsmetoden: Bryt ut största möjliga faktor (i detta fallet ett x) x( x + ) = 0 Vi har då en produkt av två tal: x och parantesen x + ( ). Antingen är det första talet noll (vilket ger att x = 0 ) eller så är det andra talet (parantesen) noll: alltså x + = 0 vilket ger att x =

2 typ 3 x 6x + 5 = 0 Alla sådana här ekvationer löses med lösningsformeln. För att denna ska få användas gäller två regler:. Det måste vara lika med noll (till vänster eller till höger i ekv.). Det får inte stå någon siffra eller minus framför x Om ekvationen skrivs på formen: x + px + q = 0, så ser lösningsformeln ut så här: x = p ± p q I vårt ex. är p = 6 och q = 5: x = 6 ± 6 5 = 3 ± 9 5 x = 3 ± 4 x = 3 ± Svar: x = 3+ = 5 x = 3 = Denna formel kan användas till ALLA andragradsekvationer bara man följer de två reglerna ovan först. Så här ser lösningsformeln ut om man skriver den med ord: x = halva talet framför x ± detta tal + ensamma siffran med ombytt tecken med ombytt tecken I exemplet blir detta: x = 3 ± 3 5 ( x 6x + 5 = 0 ) x = 3 ± 9 5 x = 3 ± 4 x = 3 ± Svar: x = 3+ = 5 x = 3 = Välj den lösningsmetod av typ 3 som du tyckte var enklast att förstå! I båda fallen handlar det ju bara om att lära sig en metod som ger de rätta svaren vi löser ju egentligen inte ekvationen med någon algebraisk metod av typen flytta siffror som vi gjort tidigare med vanliga ekvationer. Olika antal lösningar En andragradsekvation har som mest två lösningar. Den kan även ha en enda lösning eller ingen lösning alls. Om p q blir positiv får man två lösningar. Om den blir noll får vi en lösning. Om den blir negativ saknas lösningar på ekvationen. Roten kallas diskriminant.

3 Andragradsfunktioner Allmän formel för andragradsfunktioner: Om a > 0 är kurvan positiv och glad y = ax + bx + c...om a < 0 är kurvan negativ och ledsen Alla andragradsfunktioner är symmetriska kring en symmetrilinje. Detta betyder att alla punkter som finns på vänster sida om symmetrilinjen, också har en motsvarighet på höger sida om linjen. Dessa punkter kallas spegelpunkter. Nollställe är de x-värden där kurvan skär x-axeln. Nollställena är också spegelpunkter till varandra förstås. Alla andragradsfunktioner har en vändpunkt, kallas även extrempunkt. Om kurvan är positiv och glad (som på bilden) har den en minimipunkt. Om kurvan är negativ och ledsen har den en maximipunkt. -0 nollställen y spegelpunkter symmetrilinje vändpunkt (minimipunkt) x Symmetrilinjen går alltid genom vändpunkten! För att beräkna vändpunktens y-koordinat sätter man in symmetrilinjens x-värde i andragradsfunktionens formel: y = ax + bx + c För att beräkna nollställena löser man andragradsekvationen som uppstår när man sätter y = 0, d.v.s. lös ekvationen: ax + bx + c = 0

4 Räta linjens ekvation y En rät linje kan i de flesta fall skrivas på formen y = kx + m, där: k är linjens lutning (riktningskoefficient) m är linjens skärningspunkt med y-axeln. k beräknas ur en trappa : k = Δy Δx eller allmänt från två givna punkter (x,y ) och (x,y ): k = Δy Δx = y y x x Följande gäller för en rät linje: Δx = Δy = k = Δy Δx = = 0,5 x En vågrät linje har k = 0 En linje som lutar uppåt från vänster till höger, har k > 0. En linje, som lutar nedåt från vänster till höger, har k < 0. En lodrät linje saknar k-värde och måste skrivas som x = a, där a är linjens skärning med x-axeln. Om man vet en linjes k-värde, samt en punkt (x, y), kan man beräkna linjens ekvation genom att sätta in värdena i y = kx + m och bestämma m-värdet. Om man vet två punkter på en linje, beräknar man först k-värdet. Sedan sätter man in k samt x- och y-koordinaterna från en av punkterna i y = kx + m och bestämma m-värdet. Parallella linjer har samma k-värde. Vinkelräta linjer har k-värden, vars produkt tillsammans blir, d.v.s. k k = Räta linjen har även en allmän formel, som gäller för alla linjer: ax + by + c = 0, där a, b och c kan vara vilka tal som helst. Praktiska tillämpningar med räta linjer har den lilla skillnaden att man får enheter på koordinataxlarna och därmed på både k-värdet och m-värdet.

5 Linjära ekvationssystem Ett ekvationssystem kan tolkas grafiskt som två linjer som skär varandra i ett koordinatsystem. Att lösa ett ekvationssystem, innebär därför att finna linjernas skärningspunkt y = 0,5x I grafen visas ekvationssystemet y = x + 5 x = 4 Lösningen på detta system är: y = y = x + 5 y y = 0,5x ( 4, ) x Detta sätt att lösa ekvationssystem (att rita upp linjerna) kallas grafisk lösning. Det är viktigt att inse att man endast får en ungefärlig lösning. För exakt svar måste man utföra en algebraisk lösning: Detta kan göras på två sätt: I. Substitutionsmetoden II. Additionsmetoden y = 0,5x y = x ,5x y = x + y = 5 0,5x = x + 5,5x = 6 0,5x + x = 5 + x = 4,5x = 6 x = 4 x + y = y = 5 y = x + 5 = 4 +5 = y = x = 4 x = 4 Svar: Svar: y = y = Det kan också hända att man inte får någon lösning på ett ekvationssystem. I så fall skär aldrig linjerna varandra, d.v.s. de är parallella. Man kan också få oändligt många lösningar i så fall ligger linjerna ovanpå varandra.

6 Kap.5 - Statistik Spridningsmått:. Variationsbredd: största värdet minsta värdet. Kvartilavstånd: övre kvartil nedre kvartil Lådagram: 3. Standardavvikelse: σ = s = ( x x ) n (totalundersökning) ( x x ) (stickprov) n På räknaren lägger man in alla mätvärdena i lista L (STAT, :Edit) Välj STAT è CALC : -Var Stats (List: L, Calculate) Miniräknaren ger nu medelvärde, median, kvartiler, standardavvikelser Normalfördelning: En undersökning där mätvärdena är normalfördelade följer kurvan nedan: där medelvärdet betecknas µ och standardavvikelsen σ. Korrelation Hur väl mätvärdena överensstämmer med t.ex. ett rätlinjigt samband se bilder i boken längs ned på s.80. Korrelationen kan vara starkt/svagt positiv/negativ eller så saknas korrelation. Regressionsanalys Anpassning av den bästa räta linjen till mätpunkter från t.ex. en laboration. Räknaren kan ge dig en formel för denna räta linje. Gå in i listorna. STAT :Edit. Skriv in x-värdena i L och y-värdena i L Tryck på Y=. Aktivera Plot genom att gå upp och trycka enter så den blir svart. Välj STAT è CALC 4: Linreg(ax+b) Kolla att x-list är L och y-list är L. Gå ner till Calculate. Räknaren ger den bästa ekvationen för linjen kring dina mätpunkter. a = lutningen k b = m-värdet